数值分析第五章幻灯片.ppt
数值分析课件第五章第1页，共33页，编辑于2022年，星期六复化梯形复化梯形公式公式复化梯形复化梯形公式的几何意义公式的几何意义小梯形小梯形面积面积之和之和近似近似第2页，共33页，编辑于2022年，星期六复化梯形复化梯形公式的余项公式的余项设设由由介值介值定理定理余项估计式余项估计式第3页，共33页，编辑于2022年，星期六复化梯形复化梯形公式的余项公式的余项设设设设，则，则复化梯形复化梯形公式是公式是收敛收敛的，误差阶是的，误差阶是 ，可以通过，可以通过 求出求出 。若用若用复化梯形复化梯形公式计算公式计算 ,要求要求误差不超误差不超过过 ,利用利用余项公式余项公式估计，至少用多少个求积节点。估计，至少用多少个求积节点。问题：问题：第4页，共33页，编辑于2022年，星期六复化梯形复化梯形公式的收敛性公式的收敛性其中定积分与其中定积分与区间区间分法分法和和 的的取法取法无关无关设设复化梯形复化梯形公式是稳定的公式是稳定的第5页，共33页，编辑于2022年，星期六二、二、复化复化Simpson公式：公式：/*/*Compound Simpon Formula*/分点分点在区间在区间 上采用上采用Simpson 公式公式其中其中将积分区间将积分区间 n等分等分:第6页，共33页，编辑于2022年，星期六复化复化Simpson公式公式复化复化Simpson公式的几何意义公式的几何意义小抛物小抛物面积面积之和之和近似近似第7页，共33页，编辑于2022年，星期六复化复化Simpson公式的余项公式的余项设设由由介值介值定理定理余项估计式余项估计式第8页，共33页，编辑于2022年，星期六复化复化Simpson公式的余项公式的余项设设设设，则，则复化复化Simpson公式是公式是收敛收敛的，误差阶是的，误差阶是 ，可以通过，可以通过 求出求出 。问题：问题：用用复化复化SimpsonSimpson公式计算公式计算 ,要求要求误差不超误差不超过过 ,利用利用余项公式余项公式估计，至少用多少个求积节点。估计，至少用多少个求积节点。第9页，共33页，编辑于2022年，星期六课后习题课后习题复化复化Simpson公式的收敛性公式的收敛性类似地可以得到类似地可以得到复化复化Cotes公式公式第10页，共33页，编辑于2022年，星期六例例2 2：选取选取5 5个等距节点，个等距节点，分别利用复化分别利用复化梯形梯形公式、公式、复化复化Simpson公式公式计算积分计算积分 的近似值，要的近似值，要求小数点后保留求小数点后保留4 4位位。解：解：将区间将区间0,10,14 4等分等分，计算各节点的函数值为计算各节点的函数值为：令令 0 0.25 0.50.751 00.06150.11760.16440.2第11页，共33页，编辑于2022年，星期六复化复化梯形梯形公式公式(n=4,h=0.25)复化复化Simpson公式公式(n=2,h=0.5)第12页，共33页，编辑于2022年，星期六例例3 3：分别利用复化分别利用复化梯形梯形公式、公式、复化复化Simpson公式公式计算计算积分积分 的近似值，要求按复化的近似值，要求按复化Simpson公公式计算时误差不超过式计算时误差不超过 。解：解：首先来确定首先来确定步长步长复化复化Simpson公式的余项：公式的余项：其中其中补充定义：在补充定义：在 处处,第13页，共33页，编辑于2022年，星期六本题本题 的求法：的求法：由由归纳法归纳法知知第14页，共33页，编辑于2022年，星期六解不等式得解不等式得将区间将区间 8等分，分别采用复化等分，分别采用复化Simpson、梯形、梯形公式公式 0 1/8 1/4 3/8 10.9973980.9896880.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9588510.9361560.9088580.8771930.841471第15页，共33页，编辑于2022年，星期六复化复化梯形梯形公式公式(n=8)复化复化Simpson公式公式(n=4)第16页，共33页，编辑于2022年，星期六复化复化Simpson公式的算法公式的算法 1.输入积分区间a,ba,b,等分数n n;2.令 h=(b-a)/2nh=(b-a)/2n;3.令 Y1=f(a)+f(b)Y1=f(a)+f(b),Y2=0,Y3=0;4.对 i=1,2,.2n-1 令 x=a+ihx=a+ih;如果 i 为偶数偶数，则 Y3=Y3+f(x)Y3=Y3+f(x);如果 i 为奇数奇数，则 Y2=Y2+f(x)Y2=Y2+f(x);5.令 S=h(Y1+4Y2+2Y3)/3S=h(Y1+4Y2+2Y3)/3.Y1:端点的值Y2:半点值Y3:内部整节点值第17页，共33页，编辑于2022年，星期六（1）使用使用复化复化梯形梯形公式、公式、Simpson公式，首先要确定步长公式，首先要确定步长 ；（2）而步长要根据而步长要根据余项余项确定，这就涉及到确定，这就涉及到高阶导数高阶导数的估计；的估计；（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；（4）计算机上实现起来不方便，通常采用计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法事后估计法”。三、三、积分步长的积分步长的自动自动选取：选取：注意注意事项：事项：基本基本思想思想：将积分区间将积分区间逐次分半逐次分半 终止终止法则：法则：前后两次前后两次近似值的误差小于近似值的误差小于已知精度已知精度第18页，共33页，编辑于2022年，星期六 具体具体过程过程（以（以复化复化梯形梯形公式为例公式为例）1、首先将区间、首先将区间 n等分：等分：2、再将区间、再将区间 2n等分，即步长减半：等分，即步长减半：第19页，共33页，编辑于2022年，星期六上述条件上述条件满足满足，程序终止；否则，继续，程序终止；否则，继续分半分半计算。计算。3、终止终止条件：条件：由由复化复化梯形梯形公式的余项知公式的余项知变化不大变化不大时时由此得到由此得到近似近似关系式关系式误差控制条件误差控制条件第20页，共33页，编辑于2022年，星期六收敛收敛速度慢速度慢 对于对于复化复化Simpson公式、公式、Cotes公式可以类似得到公式可以类似得到不足不足 对于对于复化梯形复化梯形公式公式第21页，共33页，编辑于2022年，星期六 例例4 4：用复化用复化梯形梯形公式和步长逐次减半法计算公式和步长逐次减半法计算要求误差不超过要求误差不超过 解：利用公式解：利用公式第22页，共33页，编辑于2022年，星期六5.4 Romberg积分法积分法/*/*Romberg Integration Method*/Romberg积分思想积分思想由上节分析知，用由上节分析知，用复化复化梯形梯形公式计算出的公式计算出的 的近似的近似值值 的的误差误差大约为：大约为：令令由复化由复化梯形梯形公式知公式知第23页，共33页，编辑于2022年，星期六第24页，共33页，编辑于2022年，星期六梯形梯形加速加速公式：公式：利用利用复化复化梯形梯形公式前后两次积分近似值公式前后两次积分近似值 和和 ，按按照上式作出的照上式作出的线性组合线性组合得到了具有得到了具有更高精度更高精度的的积分值。积分值。上述公式说明：上述公式说明：Romberg积分公式正是由此思想产生积分公式正是由此思想产生第25页，共33页，编辑于2022年，星期六Romberg 值序列值序列Simpson加速加速公式：公式：Cotes加速加速公式：公式：类似于梯形类似于梯形加速加速公式的处理方法，得到：公式的处理方法，得到：第26页，共33页，编辑于2022年，星期六所以有：所以有：第27页，共33页，编辑于2022年，星期六通过上述通过上述3个积分值序列求积分近似值的方法，个积分值序列求积分近似值的方法，称之为称之为Romberg积分法。积分法。4个积分值序列：个积分值序列：梯形值序列梯形值序列Simpson值序列值序列Romberg值序列值序列Cotes值序列值序列第28页，共33页，编辑于2022年，星期六Romberg积分法的一般公式积分法的一般公式其中其中第29页，共33页，编辑于2022年，星期六Romberg积分表积分表第30页，共33页，编辑于2022年，星期六例例5 5：利用利用Romberg 积分法式积分法式计算积分计算积分要求精确到小数点后面要求精确到小数点后面8位。位。解：解：根据根据Romberg 积分法计算得积分法计算得第31页，共33页，编辑于2022年，星期六具体结果见下表具体结果见下表第32页，共33页，编辑于2022年，星期六第33页，共33页，编辑于2022年，星期六
