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数学建模中的初等模型第1页，共28页，编辑于2022年，星期六实例一实例一 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表会议共），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103,63,34,问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21第2页，共28页，编辑于2022年，星期六“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的绝对不公平度的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平程的不公平程度已大大降低度已大大降低!虽二者的绝对虽二者的绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5第3页，共28页，编辑于2022年，星期六公平分配方案应使公平分配方案应使 rA,rB 尽量小尽量小不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对，即对A不公平不公平 对对A的相对不公平度的相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2)问题问题1：设：设A,B已分别有已分别有n1,n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B？“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2，定义，定义第4页，共28页，编辑于2022年，星期六1）若）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B第5页，共28页，编辑于2022年，星期六当当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给该席给ArA,rB的定义的定义该席给该席给A否则否则,该席给该席给B 定义定义该席给该席给Q值较大的一方值较大的一方推广到推广到m方分方分配席位配席位该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法计算，第6页，共28页，编辑于2022年，星期六三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲系：甲系：p1=103,n1=10乙系：乙系：p2=63,n2=6丙系：丙系：p3=34,n3=3用用Q值方法分配第值方法分配第20席和第席和第21席席第第20席席第第21席席同上同上Q3最大，第最大，第21席给丙系席给丙系甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席Q值方法分值方法分配结果配结果公平吗？公平吗？Q1最大，第最大，第20席给甲系席给甲系第7页，共28页，编辑于2022年，星期六进一步的讨论进一步的讨论Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例”方法更公平吗？方法更公平吗？席位分配的理想化准则席位分配的理想化准则已知已知:m方人数分别为方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数为记总人数为 P=p1+p2+pm,待分配的总席位为待分配的总席位为N。设理想情况下设理想情况下m方分配的席位分别为方分配的席位分别为n1,n2,nm(自然自然应有应有n1+n2+nm=N)，记记qi=Npi/P,i=1,2,m,ni 应是应是 N和和 p1,pm 的函数，即的函数，即ni=ni(N,p1,pm)若若qi 均为整数，显然应均为整数，显然应 ni=qi 第8页，共28页，编辑于2022年，星期六 qi=Npi/P不全为整数时，不全为整数时，ni 应满足的准则：应满足的准则：记记 qi=floor(qi)向向 qi方向取整；方向取整；qi+=ceil(qi)向向 qi方向取整方向取整.1)qi ni qi+(i=1,2,m),2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)(i=1,2,m)即即ni 必取必取qi,qi+之一之一即当总席位增加时，即当总席位增加时，ni不应减少不应减少“比例加惯例比例加惯例”方法满足方法满足 1），但不满足），但不满足 2）Q值方法满足值方法满足 2）,但不满足但不满足 1）。令人遗憾！令人遗憾！能不能找到一个分配方法既满足能不能找到一个分配方法既满足1 1）又满足）又满足2 2）呢？）呢？第9页，共28页，编辑于2022年，星期六2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失璃窗相比，减少多少热量损失假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系数热传导系数实例二实例二 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效第10页，共28页，编辑于2022年，星期六dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气的热传导系数空气的热传导系数建模建模第11页，共28页，编辑于2022年，星期六记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=4 10-3 8 10-3,k2=2.5 10-4,k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量作的减少量作最保守的估计，最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模第12页，共28页，编辑于2022年，星期六hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4,则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数数 k2 2,而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大第13页，共28页，编辑于2022年，星期六2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t(分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b(米米)(米米)l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg)浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。种关系。问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n 基本不变基本不变第14页，共28页，编辑于2022年，星期六问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型第15页，共28页，编辑于2022年，星期六模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数),w0与与n成正比成正比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v,浸没面积浸没面积 s,浸没体积浸没体积 A,空艇重空艇重 w0,阻力阻力 f,浆手数浆手数 n,浆手功率浆手功率 p,浆手体重浆手体重 w,艇重艇重 W艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw)n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv第16页，共28页，编辑于2022年，星期六模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84最小二乘法最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/9 进行检验进行检验tn12487.216.886.325.84与模型巧合！与模型巧合！第17页，共28页，编辑于2022年，星期六模型三：动物身长和体重n问题提出n自然界动物四足兽 复杂n？四足动物的躯干长度与其体重的关系n模型假设n躯干：柱体，长 L，直径 d，面积 sn体重 f，最大下垂度 bldsb第18页，共28页，编辑于2022年，星期六模型构造n目标：f?ln粗糙模型：类比法n力学：弹性理论弹性梁n梁的最大弯曲动物身长比重动物身长比重ldsbn进化论：自然选择常数第19页，共28页，编辑于2022年，星期六评注:在前面的两个模型中都使用了比例法建模这种方法在一些不太精细的假设下,可以得出一些定性的结论,以后在问题要求不是很精确的时候可以想到利用这个方法。它最大的优点就是比较简单。类比法是建模中常用的一种方法，模型把动物的躯干类比为弹性梁就是类比法的一个应用。同学们以后在自己本学科中可以充分发挥自己的想象力和创造力，利用这种方法来解决一些实际问题。第20页，共28页，编辑于2022年，星期六2.7 核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。裁军协议。在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。平衡状态。当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。平衡状态会发生什么变化。估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。哪些因素影响。背背景景第21页，共28页，编辑于2022年，星期六以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小。核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略：认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；弹攻击己方的核导弹基地；乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。另一方的防御能力决定。模模型型假假设设第22页，共28页，编辑于2022年，星期六图图的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数枚导弹，甲方所需的最少导弹数当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值xyy00y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲安甲安全区全区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线第23页，共28页，编辑于2022年，星期六精细精细模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。基地未被摧毁的概率。sx个基地未摧毁，个基地未摧毁，yx个基地未攻击。个基地未攻击。xy甲方以甲方以 x攻击乙方攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个被攻击个被攻击2次，次，s2(xy)个未摧毁；个未摧毁；y(xy)=2y x个被攻击个被攻击1次，次，s(2y x)个未摧毁个未摧毁y0=s2(xy)+s(2y x)x=2yy0=s2yyx2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2第24页，共28页，编辑于2022年，星期六 a交换比交换比(甲乙导弹数量比甲乙导弹数量比)x=a y,精细模精细模型型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变平xy0y0 xy,y=y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,第25页，共28页，编辑于2022年，星期六 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。（其它因素不变）（其它因素不变）乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP第26页，共28页，编辑于2022年，星期六 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变大甲方残存率变大威慑值威慑值x 0和交换比不变和交换比不变x减小，甲安全线减小，甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少PP第27页，共28页，编辑于2022年，星期六 楼房背后靠墙跟楼房背后靠墙跟修了一排高修了一排高 2 2 米、米、宽宽 3 3米的玻璃花房。米的玻璃花房。现在需要在房后用现在需要在房后用 7 7米的梯子搭在墙上米的梯子搭在墙上打扫窗户，请问是打扫窗户，请问是否可行？否可行？(如图如图)梯子问题梯子问题第28页，共28页，编辑于2022年，星期六