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第七章 系统函数第1页，本讲稿共85页7.1 系统函数与系统特性主要内容：主要内容：一、系统的零点与极点一、系统的零点与极点二、系统函数与时域响应二、系统函数与时域响应三、系统函数与频域响应三、系统函数与频域响应第2页，本讲稿共85页一、系统的零点与极点一、系统的零点与极点LTILTI系统的系统函数是复变量系统的系统函数是复变量s s或或z z的有理分式的有理分式,它是它是s s或或z z的有理多项式的有理多项式B(B()与与A(A()之比。之比。对于连续系统对于连续系统第3页，本讲稿共85页对于离散系统对于离散系统A(A()=0)=0的根的根p p1 1，p p2 2，p pn n称为系统函数称为系统函数H(H()的的极点；极点；B(B()=0)=0的根的根 1 1，2 2，m m称为系称为系统函数统函数H H（）的零点的零点极点极点p pi i和零点和零点i i的值可能是实数、虚数或复数。的值可能是实数、虚数或复数。由于由于A(A()和和 B(B()的系数都是实数，所以零、极点若为虚数或复的系数都是实数，所以零、极点若为虚数或复数，则必共轭成对。数，则必共轭成对。第4页，本讲稿共85页例例1、已知系统函数如下所示，请求出系统的零、已知系统函数如下所示，请求出系统的零、极点，并画出其分布图极点，并画出其分布图解：零点：2；极点：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j将零点、极点画在复平面上得到零、极点分布图（2）j j-j-1-2极点用“”表示；零点用“o”表示。本题：由本题：由H(s)得到零极点图得到零极点图第5页，本讲稿共85页例例2、已知H(s)的零、极点分布图如下图所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表达式。j j2-j2-1解：极点p1-1j2;p2=-1-j2 零点0所以根据初值定理，有本题：由零极点图得到本题：由零极点图得到H(s)第6页，本讲稿共85页二、系统函数二、系统函数H()与时域响应与时域响应h()冲激响应或单位序列响应的函数形式由冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。的极点确定。下面讨论下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。所讨论系统均为因果系统。1连续因果系统连续因果系统H(s)按其极点在按其极点在s平面上的位置可分为平面上的位置可分为:在左半开平面、在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。虚轴和右半开平面三类。（1）在左半平面）在左半平面(a)若系统函数有若系统函数有负实单极点负实单极点p=(0)，则，则A(s)中有因子中有因子(s+)，其所对应的响应函数为，其所对应的响应函数为Ke-t(t)第7页，本讲稿共85页(b)若有若有一对共轭复极点一对共轭复极点p12=-j，则，则A(s)中有因子中有因子(s+)2+2-Ke-tcos(t+)(t)(c)若有若有r重极点重极点，则则A(s)中有因子中有因子(s+)r或或(s+)2+2r，其响应为，其响应为Kitie-t(t)或或Kitie-tcos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)以上三种情况：当以上三种情况：当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。暂态分量。暂态分量。（2）在虚轴上）在虚轴上(a)单极点单极点p=0或或p12=j，则响应为则响应为K(t)或或Kcos(t+)(t)-稳态分量稳态分量(b)r重极点重极点，相应，相应A(s)中有中有sr或或(s2+2)r，其响应函数为，其响应函数为Kiti(t)或或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)递增函数递增函数第8页，本讲稿共85页（3）在右半开平面在右半开平面：均为均为递增函数递增函数。综合结论综合结论：LTI连续因果系统的连续因果系统的h(t)的函数形式由的函数形式由H(s)的极点确定。的极点确定。H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。的响应函数都是递增的。即当即当t时，响应均趋于时，响应均趋于。第9页，本讲稿共85页2离散因果系统离散因果系统H(z)按其极点在按其极点在z平面上的位置可分为平面上的位置可分为:在在单位圆内单位圆内、在、在单位圆上单位圆上和在和在单位圆外单位圆外三类。三类。根据根据z与与s的对应关系，有的对应关系，有结论结论：H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k时，响应均趋于时，响应均趋于0。H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。响应。H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当响应序列都是递增的。即当k时，响应均趋于时，响应均趋于。第10页，本讲稿共85页系统函数的收敛域与其极点的关系：系统函数的收敛域与其极点的关系：根据收敛域的定义，H(.)收敛域不能含收敛域不能含H(.)的极点。的极点。例3、某离散系统函数为（1）若系统为因果系统，求单位序列响应h(k)；（2）若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k)；（3）若系统为双边序列，求单位序列响应h(k)；解解：（1）因为系统为因果系统，所以收敛域为|Z|3;所以第11页，本讲稿共85页（2）因为系统为反因果系统，所以收敛域为|Z|1/2;所以（3）因为系统为双边序列，所以收敛域为1/2|Z|0第14页，本讲稿共85页结论结论：1 1）LTILTI连续系统的自由响应（书连续系统的自由响应（书P 42 P 42）、冲击响应的函数形式）、冲击响应的函数形式由由H(s)H(s)的极点确定。的极点确定。2 2）H(s)H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的，在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的，当当t-t-时，对应的响应函数趋近于零。极点全部在左半平时，对应的响应函数趋近于零。极点全部在左半平面的系统是面的系统是稳定的系统稳定的系统（见（见7.27.2）。）。3 3）H(s)H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变化。化。4 4）H(s)H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或在右半开平面上的在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或在右半开平面上的极点，其所对应的响应函数都随极点，其所对应的响应函数都随t t的增长而增大，当的增长而增大，当t t趋于无限时，趋于无限时，它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。见书P237第15页，本讲稿共85页2、离散系统、离散系统离散系统的系统函数离散系统的系统函数H(z)H(z)的极点，按其在的极点，按其在z z平面的位置可分为：平面的位置可分为：在单位圆内、单位圆上和单位圆外三类。在单位圆内、单位圆上和单位圆外三类。S S域与域与Z Z域的关系域的关系T为取样周期S表示为直角坐标形式Z表示为坐极标形式可见，可见，S平面的左半平面(0)对应Z平面的圆内(|Z|=时，对应的响应序列趋近于零。极点全部在时，对应的响应序列趋近于零。极点全部在单位圆单位圆内的系统是稳定的系统。内的系统是稳定的系统。3)、H(z)H(z)在单位圆上的一阶极点对应的响应序列的幅度不随在单位圆上的一阶极点对应的响应序列的幅度不随时间变化。时间变化。4)、H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点或在单位圆外的极点，其所对应的响应序列都随k的增长而增大，当k趋于无限时，它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。第19页，本讲稿共85页三、系统函数与频域响应三、系统函数与频域响应 在在s s平面上，任意复数（常数或变数）都可以用有平面上，任意复数（常数或变数）都可以用有向线段表示向线段表示j j i pi jj oAiBj零、极点矢量图零、极点矢量图1、连续系统、连续系统要求系统函数的极点都在左半开平面要求系统函数的极点都在左半开平面第20页，本讲稿共85页对于任意极点对于任意极点 p pi i和零点和零点j j 令令式中式中Ai、Bj分别是差矢量（分别是差矢量（j-pi)和（和（j-j）的模，的模，i、j是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：第21页，本讲稿共85页相频响应：相频响应：式中幅频响应：式中幅频响应：提示：提示：把频率把频率 从从0（或（或-）变化到）变化到+,根据各矢量模根据各矢量模和幅角的变化，就可大致画出幅频响应和相频响应曲和幅角的变化，就可大致画出幅频响应和相频响应曲线。线。第22页，本讲稿共85页例例1、某线性系统的系统函数的零、极点如图所示,已知H(0)=1。(1)求该系统的冲激响应和阶跃响应(2)若该系统的零状态响应为求其激励求其激励(3)大致画出系统的幅频特性和相频特性 j -1-2-3 0第23页，本讲稿共85页解解:(1)根据零极点图，得根据零极点图，得因为H(0)=1K=6（2）第24页，本讲稿共85页(3)因为极点均在左半开平面，所以因为极点均在左半开平面，所以根据上式可分别画出其幅频曲线和相频曲线 j -1-2-3 0A1A221第25页，本讲稿共85页幅频曲线相频曲线第26页，本讲稿共85页全通函数：全通函数：如果系统的幅频响应如果系统的幅频响应|H H(jj)对所有的对所有的均为均为常数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通常数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。函数。以二阶系统为例说明。以二阶系统为例说明。如有二阶系统，其系统函数在左平面有如有二阶系统，其系统函数在左平面有 一对共轭极点：一对共轭极点：p p1,21,2=j j，令，令s s1 1=p p1 1，s s2 2=p p2 2，它在右半平面上，它在右半平面上有一对共轭零点有一对共轭零点 1 1=j=sj=s1 1，2 2=j=s j=s2 2，那么系统函数的零点和极点对于，那么系统函数的零点和极点对于jj轴是镜像对称的。轴是镜像对称的。其系统函数可写为：其系统函数可写为：第27页，本讲稿共85页其频率特性为：其频率特性为：对所有的对所有的有有A A1 1=B=B1 1，A A2 2=B=B2 2，所以幅频特性，所以幅频特性相频特性：相频特性：上述幅频响应为常数的系统，对所有频率的正弦信号都一律平上述幅频响应为常数的系统，对所有频率的正弦信号都一律平等地传输，因而被称为全通系统，其系统函数称为全通函数。等地传输，因而被称为全通系统，其系统函数称为全通函数。无失真传输？无失真传输？第28页，本讲稿共85页11jjoA1B1s2-s1-s222s1A2B221H|j|H|j|()()如下图所示：如下图所示：最小相移函数最小相移函数:右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。最小相移函数。全通函数全通函数:若系统的幅频响应若系统的幅频响应|H(j)|为常数，则称为为常数，则称为全通系统全通系统，其相应的其相应的H(s)称为称为全通函数全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。的系统函数即为全通函数。第29页，本讲稿共85页2、离散因果系统的频率响应、离散因果系统的频率响应若H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位圆上也收敛，频率响应为：式中式中 Ts,为原来信号的角频率，为原来信号的角频率，Ts为取样周期为取样周期系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的系统函系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的系统函数数第30页，本讲稿共85页例7.1-2 某离散因果系统的系统函数求其频率响应。求其频率响应。解：解：由H(z)的表达式可知，其极点在p=1/3处，故收敛域包括单位圆，系统的频率响应（=Ts）第31页，本讲稿共85页其幅频响应为相频响应为响应曲线？响应曲线？第32页，本讲稿共85页一、系统的因果性一、系统的因果性 因果系统因果系统指的是，系统的零状态响应指的是，系统的零状态响应y yzszs()不出现于激不出现于激励励f f()之前的系统。即对于任意的之前的系统。即对于任意的f(.)=0,t(f(.)=0,t(或或k)0,k)0,如果系统的零状态响应都有如果系统的零状态响应都有y yzszs(.)=0,t(.)=0,t(或或k)0k)0;00;0=0?7.2 7.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第33页，本讲稿共85页离散因果系统的充分和必要条件是：离散因果系统的充分和必要条件是：或者，系统函数或者，系统函数H H(z z)的收敛域为的收敛域为即其收敛域为半径等于0的圆外区域，或者说H(z)的极点都在收敛圆|z|=0内部第34页，本讲稿共85页二、系统的稳定性二、系统的稳定性一个系统（连续的或离散的），如果对任意的有界输入，一个系统（连续的或离散的），如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳定的系统，定的系统，简称为稳定系统。简称为稳定系统。也就是说，设也就是说，设M Mf f，M My y为正常数，为正常数，如果系统对于所有的激励如果系统对于所有的激励其零状态响应其零状态响应则称则称该系统是稳定的该系统是稳定的。连续系统是稳定系统的连续系统是稳定系统的充分充分和必要条件：和必要条件：连续因果系统第35页，本讲稿共85页离散系统是稳定系统的充分和必要条件离散系统是稳定系统的充分和必要条件：离散因果系离散因果系统统 若若H(z)H(z)的收敛域的收敛域包括单位圆包括单位圆，则系统是稳定的；，则系统是稳定的；对于既是稳定的又是因果的连续系统，其系统函对于既是稳定的又是因果的连续系统，其系统函数数 H H(s s)的极点都在的极点都在s s平面的平面的左半开平面左半开平面；其逆也成；其逆也成立。立。若存在虚轴上的一阶极点，按上面的定义是不稳定的，若存在虚轴上的一阶极点，按上面的定义是不稳定的，但有时但有时也称为边界稳定系统。也称为边界稳定系统。对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数 H H(z z)的极点都在的极点都在z z平面的单位圆内；平面的单位圆内；其逆也成立。其逆也成立。第36页，本讲稿共85页例1、如图所示的反馈因果因果系统，问当k满足什么条件时，系统是稳定的，其中子系统的系统函数为F(s)G(s)KY(s)X(s)解：解：设加法器的输出信号为X(s),有第37页，本讲稿共85页H(s)的极点为为使极点在左半平面，必须为使极点在左半平面，必须 K2系统不稳定（2）若系统是稳定的，0.5|z|2;所以问，该系统是因果系统吗？若问，该系统是因果系统吗？若|z|0.5，系统稳定吗？，系统稳定吗？第39页，本讲稿共85页例3、下图为离散因果系统因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围。F(z)Z1Y(z)2 a解：解：设加法器输出信号为X(z),有为使系统稳定为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位圆内，即有即有|a|0当当k1/4时，为复极点，时，为复极点，为使极点在单位圆内，必须满足|p1,2|1,可得k1;所以当0k0，不难得出，不难得出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：为霍尔维兹多项式的条件为：a10，a00例例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：罗斯阵列：212218028.502第第1列元素符号改变列元素符号改变2次，因此，有次，因此，有2个根位于右半平面。个根位于右半平面。注意：注意：在排罗斯阵列时，在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为如第一列的某个元素为0或某一行元素全为或某一行元素全为0，这，这时可断言：该多项式不时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。是霍尔维兹多项式。第45页，本讲稿共85页例例2已知某因果系统函数已知某因果系统函数为使系统稳定，为使系统稳定，k应满足什么条件？应满足什么条件？解解列罗斯阵列列罗斯阵列1331+k(8-k)/31+k所以，所以，1k0(2)(-1)nA(-1)0(3)an|a0|cn-1|c0|dn-2|d0|r2|r0|奇数行，其第奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例特例：对二阶系统。：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得易得A(1)0A(-1)0a2|a0|第48页，本讲稿共85页例例A(z)=4z4-4z3+2z-1解解4-402-1-120-4415-140440-1415209-2105641，154，20956所以系统稳定。所以系统稳定。(-1)4A(-1)=50排朱里列表排朱里列表A(1)=10第49页，本讲稿共85页7.3 7.3 信号流图信号流图主要内容主要内容信号流图信号流图梅森公式梅森公式第50页，本讲稿共85页信号流图信号流图是用有向的线段和点描述线性方程组变量间因果关系的一种图。信号流图信号流图用来描述系统较较方框图更为简便；而且通过梅森公式梅森公式将系统函数与相应的信号流图联系起来，不仅有利于系统分析，而且也便于系统模拟。一一.信号流图信号流图第51页，本讲稿共85页Y(z)H(s)F(s)Y(s)H(s)F(s)Y(s)H(z)F(z)H(z)F(z)Y(z)方框图方框图信号流图信号流图一般而言，信号流图是一种一般而言，信号流图是一种赋权赋权的有向图。它的有向图。它由连接在结点间的有向支路构成。它的一些术由连接在结点间的有向支路构成。它的一些术语定义如下：语定义如下：第52页，本讲稿共85页2、源点：、源点：仅有出支路的结点称为源点源点。汇点：汇点：仅有入支路的结点称为汇点汇点。信号流图基本术语信号流图基本术语1、结点和支路、结点和支路 信号流图中的每个结点对应于一个变量或信号，连接两结点间的有向线段称为支路支路，每条支路的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）。3 3、通路通路 从任一任一结点出发沿着箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点到达另一结点的路径路径称为通路通路。通路通路包含有：包含有：开通路、闭通路或回路（或环路）、不接触回路、自回路（自环）等。第53页，本讲稿共85页前向通路前向通路：从源点到汇点的开通路。闭通路或回路（或环路）闭通路或回路（或环路）:通路的起点就是通路的终点（与其余节点相遇不多于一次）不接触回路不接触回路:相互没有公共节点的回路。自回路（自环）自回路（自环）:只有一个节点和一条支路的回路。开通路开通路:如果通路与任一节点相遇不多于一次；第54页，本讲稿共85页 d x5 x4 x3 x2 x1 1 a b c g f e前向通路前向通路：x1x2 x3 x4 x5;x1x2 x3 x5回路回路:x2 x3 x2;x2 x3 x4 x2;x4 x4不接触回路：不接触回路：x2 x3 x2与x4 x4自回路：自回路：x4 x4通路通路(开通路或回路开通路或回路)中各支路增益的乘积称为中各支路增益的乘积称为通路增益（或通路增益（或回路增益）回路增益）第55页，本讲稿共85页流图化简的规则流图化简的规则（2）两条增益分别为）两条增益分别为a和和b的支路相并联，可以合的支路相并联，可以合并为一条增益为（并为一条增益为（a+b）的支路。）的支路。（1）两条增益分别为）两条增益分别为a和和b的支路相串联，可以合并为一条增的支路相串联，可以合并为一条增益为益为ab的支路，同时消去中间的结点。的支路，同时消去中间的结点。第56页，本讲稿共85页（3 3）一条）一条x x1 1 x x2 2 x x3 3的通路，如果的通路，如果x x1 1 x x2 2支路的增益为支路的增益为 a a，x x2 2 x x3 3的增益为的增益为c c，在，在x x2 2处有增益为处有增益为b b的自环，则可以化简的自环，则可以化简为增益为为增益为ac/(1-b)ac/(1-b)的支路，同时削去结点的支路，同时削去结点x x2 2。第57页，本讲稿共85页（1 1）将串联支路合并从而减少结点；）将串联支路合并从而减少结点；（2 2）将并联支路合并从而减少支路；）将并联支路合并从而减少支路；信号流图化简步骤信号流图化简步骤（3 3）消除自环。）消除自环。反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化为只反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化为只有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系统函有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系统函数。数。第58页，本讲稿共85页例例7.3-1 7.3-1 求图下图所示信号流图的系统函数求图下图所示信号流图的系统函数解解 根据串联支路合并规则，将图根据串联支路合并规则，将图(a)(a)中回路中回路x x1 1 x x2 2 x x1 1和和x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x1 1化简为自环，如图化简为自环，如图b b所所例例7.3-17.3-1第59页，本讲稿共85页示，将示，将x x1 1到到Y(s)Y(s)之间各串联、并联支路合并，得图（之间各串联、并联支路合并，得图（c c）。并利）。并利用并联支路合并规则，将用并联支路合并规则，将x x1 1处两个自环合并，然后消除自处两个自环合并，然后消除自环，得图（环，得图（d d）。于是得到系统函数）。于是得到系统函数这正是二阶微分方程这正是二阶微分方程的系统函数。的系统函数。第60页，本讲稿共85页二、梅森公式二、梅森公式梅森公式为梅森公式为式中：式中：称为信号流图的特征行列式，其中称为信号流图的特征行列式，其中是所有是所有不同回路不同回路的增益之和；的增益之和；是所有两两不接触回路的增益乘积和是所有两两不接触回路的增益乘积和是所有三个都互不接触回路的增益乘积之是所有三个都互不接触回路的增益乘积之和。和。第61页，本讲稿共85页 i表示由源点到汇点的第第i条前向通路条前向通路的标号；Pi是由源点到汇点的第i条前向通路的增益；i是第i条前向通路特征行列式的余因子，它是与与第i条前向通路不相接触不相接触的子图的子图的特征行列式。第62页，本讲稿共85页例7.3-2求右图信号流图的系统函数。例例 7.3-2 7.3-2解解 为了求出特征行列式，先求出有关参数。上图共有4个回路，各回路的增益为 x1x2 x1回路，L1=G1H1 x2 x3 x2回路，L2=G2H2 x3 x4 x3回路，L3=G3H3 x1 x4 x3 x2 x1回路，L4=G1G2G3H4它只有一对两两互不接触的回路x1 x2 x1与x x3 3 x x4 4 x x3 3，第63页，本讲稿共85页其回路增益乘积为其回路增益乘积为没有三个以上的互不接触的回路。所以得没有三个以上的互不接触的回路。所以得再求其它参数。图中有两条前向通路，对于前向通路再求其它参数。图中有两条前向通路，对于前向通路F F x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x4 4 Y Y ,其增益为其增益为由于各回路都与该通路有接触，故由于各回路都与该通路有接触，故1 1=1=1对于前向通路对于前向通路F F x x1 1 x x4 4 Y Y ，其增益为，其增益为第64页，本讲稿共85页最后，按式（最后，按式（7.3-87.3-8）得）得不与不与P P2 2接触的回路有接触的回路有x x2 2 x x3 3 x x2 2，所以，所以第65页，本讲稿共85页7.4 7.4 系统模拟系统模拟主要内容主要内容直接实现直接实现级联实现级联实现并联实现并联实现为了对信号为了对信号(连续或离散的信号连续或离散的信号)进行处理（如滤波），进行处理（如滤波），就必就必须构造出合适的实际结构（硬件实现结构或软件须构造出合适的实际结构（硬件实现结构或软件运算结构）。运算结构）。第66页，本讲稿共85页对于同一系统函数，对于同一系统函数，通过不同的运算，可以得到通过不同的运算，可以得到多种形式的实现方案，常用的有直接形式、级联多种形式的实现方案，常用的有直接形式、级联和并联形式等。和并联形式等。一、直接实现一、直接实现将上式分子、分母除以将上式分子、分母除以s2,上式可写为上式可写为设二阶系统的系统函数设二阶系统的系统函数第67页，本讲稿共85页根据梅森公式根据梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式，括号内表示有两个互相接触的回路，其增益分别为-a1s-1和-a0s-2。H(s)的分子表示三条前向通路，其增益其增益分别为b2、b1s-1和b0s-2，并且不与各前向通路相接触的子图特征行列式i（i=1,2,3)均等于1，也就是说，信号流图中的两个回路都与各前向回路相接触，这样就以得到(a)信号流图，其对应的s域框图如图(b)。第68页，本讲稿共85页还可以得到如下的信号流图和框图。以上的分析方法可以推广到高阶的情形。见书以上的分析方法可以推广到高阶的情形。见书P348P348例 7.4-1 某连续系统的系统函数用直接形式模拟系统。第69页，本讲稿共85页解解 将H(s)改写为根据梅森公式，可画出上式的信号流图如图（a)信号流图的转置信号流图的转置第70页，本讲稿共85页二、级联和并联实现二、级联和并联实现 级联形式级联形式是将系统函数H(z)(或H(s)分解分解为几个简单的系统函数的乘积，即其框图形式如下图所示，其中每一个子系统Hi(z)可以用直接形式实现。第71页，本讲稿共85页并联实现并联实现并联形式是将并联形式是将H(z)或或H(s)分解为几个较简单的子系统分解为几个较简单的子系统之和，即之和，即其框图形式如图所示，其中各子系统可用直接形式实现。其框图形式如图所示，其中各子系统可用直接形式实现。通常各子系统选用一阶函通常各子系统选用一阶函数和二阶函数，分别数和二阶函数，分别称为称为一阶节、二阶节。一阶节、二阶节。第72页，本讲稿共85页其函数形式分别为其函数形式分别为一阶和二阶子系统的信号流图和相应的框图如图所示一阶和二阶子系统的信号流图和相应的框图如图所示第73页，本讲稿共85页解解:（1）级联实现）级联实现首先将首先将H(s)的分子、分母多项式分解为一次因式与二次因式的分子、分母多项式分解为一次因式与二次因式的乘积。于是的乘积。于是例例7.4-3某连续系统的系统函数某连续系统的系统函数分别用级联和并联形式模拟系统。分别用级联和并联形式模拟系统。第74页，本讲稿共85页将上式分解为一阶节与二阶节的极联，令将上式分解为一阶节与二阶节的极联，令上式中一阶节和二阶节的信号流图如下图所示上式中一阶节和二阶节的信号流图如下图所示第75页，本讲稿共85页（2）并联实现）并联实现将系统函数展开为部分分式将系统函数展开为部分分式（a)a)、(b)(b)分别表示一阶节和二阶节，二者级联后，如图分别表示一阶节和二阶节，二者级联后，如图（c)c)所示，其相应的方框图如下图所示。所示，其相应的方框图如下图所示。第76页，本讲稿共85页式中式中于是系统函数可写为于是系统函数可写为第77页，本讲稿共85页令令画出画出H1(s)和和H2(s)的信号流图，将二者并联即得的信号流图，将二者并联即得H(s)的信的信号流图如图（号流图如图（a)所示，相应框图如图（所示，相应框图如图（b)所示所示求系统函数？求系统函数？第78页，本讲稿共85页例例7.4-4描述离散的差分方程为描述离散的差分方程为分别用级联和并联形式模拟系统分别用级联和并联形式模拟系统(1)级联实现级联实现将将H(z)的分子和分母分解为因式，得的分子和分母分解为因式，得解：解：第79页，本讲稿共85页按上式，可得到子系统的信号流图如下图所示，将二者将二者级联后，级联后，就得到系统的信号流图。z-1 1 -0.25 1 z-1 -1 z-1 1 0.5 2 z-1 1 0.5 2 z-1 1 -0.25 1 z-1 -1第80页，本讲稿共85页系统框图如下图所示 z10.520.25 z1 z11-1-第81页，本讲稿共85页本章小结本章小结一、系统函数与系统特性（零，极点）一、系统函数与系统特性（零，极点）二、系统的因果性与稳定性（系统函数二、系统的因果性与稳定性（系统函数极点）极点）三、信号流图、系统函数、梅森公式三、信号流图、系统函数、梅森公式四、系统模拟，由系统函数得到框图或四、系统模拟，由系统函数得到框图或信号流图，即求出系统结构。信号流图，即求出系统结构。第82页，本讲稿共85页作业评讲作业评讲1.10 计算下列各式解：第83页，本讲稿共85页1.23设系统的初始状态为x(0),激励为f(.)，各系统的全响应为y(.)与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。解：不满足可分解性，故系统是非线性的。解：满足可分解性第84页，本讲稿共85页系统不满足零输入线性，所以系统是非线性的；因为第85页，本讲稿共85页