中学数学冲刺九年级初三之三轮中考总复习函数及其图像.doc

函数及其图像 爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义 第2讲 函数及其图象 第一部分 一次函数 【知识整理】 知识点 1一次函数与正比例函数的概念 重点：掌握一次函数与正比例函数的概念 难点：熟练判断一次函数与正比例函数 知识点 2一次函数的图象和性质 重点：掌握一次函数与正比例函数图像和性质 难点：运用一次函数与正比例函数图像和性质解决问题 知识点 3一次函数与正比例函数的关系来源:Z&xx&k.Com 重点：掌握一次函数与正比例函数的关系 难点：正确区分一次函数与正比例函数 知识点 4待定系数法确定一次函数解析式 重点：待定系数法确定一次函数解析式 难点：确定一次函数解析式 知识点 5用函数的观点看方程（组）与不等式 重点：理解一次函数与方程（组）与不等式的联系 难点：用函数观点解决方程（组）与不等式 例近海处有一疑船只 B 正向公海方向行驶，我边防局接到情报后速派出快艇 A 追赶，图中 l1，l2 分 别表示 A 艇和 B 船相对于海岸的距离 y（海里）与追赶时间 x（min）之间的一次函数的关系，根据图 像， （1）分别求出 l1，l2 的函数关系式； （2）当 B 船逃到离海岸 12 海里的公海时，A 艇将无法对其进 行检查，问 A 艇能否在 B 船逃入公海前将其拦截（A，B 速度均 保持不变） 第 1页 【最新考题】 中考要求及命题趋势 1一次函数的图像及性质 2确定关系式 3一次函数与面积 4一次函数方案问题 5一次函数图表信息 一次函数的概念、图象和性质是中考的必考内容，一次函数的应用是中考的热点内容.中考对这部 分内容的要求是结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次 函数的图象， 根据图象与表达式探索并理解其性质； 根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解； 用一次函数解决实际问题. 利用一次函数解决实际问题，题型多样化，填空、选择、解答、综合题都 有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力 例 1 （广西钦州）一次函数的图象过点（0，2） ，且函数 y 的值随自变量 x 的增大而增大，请写出一 个符合条件的函数解析式： 例 2 已知直线 l1 : y = k1x + b1 经过点 1，）（1，）它和 x 轴、轴分别交于 B 和 A； （ 6 和 2 ， y直线 l2 : y = k2 x + b2 经过点（2，4）和（0，3） 和 x 轴、y 轴的交点分别是 D 和 C。 ，它 （1）求直线 l1 和 l2 的解析式； （2）求四边形 ABCD 的面积； （3）设直线 l1 与 l2 交于点 P，求PBC 的面积。 例 3 （衡阳市）在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回， 第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为 t（h） ，两组离乙地的距离分别为 S1（km）和 S2 (km)，图中的折线分别表示 S1、S2 与 t 之间的函数关系 （1）甲、乙两地之间的距离为_km，乙、丙两地之间的距离为_km； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段 AB 所表示的 S2 与 t 间的函数关系式，并 写出自变量 t 的取值范围 S(km) 8· 6· 4· B2· 0A2 t(h) 第 2页 【过关测试】 一、选择题 1若一次函数 y = kx + b 的图象经过第一象限，且与 y 轴负半轴相交，那（ ）A k > 0 ， b > 0 B k > 0 ， b < 0 C k < 0 ， b > 0 D k < 0 ， b < 0 2如图，一次函数图象经过点 A，且与正比例函数 y = -x 的图象交于点 B， y = -x 则该一次函数的表达式为（ ）A y = -x + 2 B y = x + 2 BC y = x - 2 D y = -x - 2 yA2 3.一次函数 y = kx + b 与 y = x + a 的图象如图，则下列结论 12 k < 0 ； a > 0 ；当 x < 3 时， y1 < y2 中， y-1 O x正确的个数是（ A0 C2 ）B1 D3 k2 O3y2 = x + a xy1 = kx + b 4已知 k10k2，则函数 yk1x 和 y yyOxOAB二、填空题 xx的图象大致是（ yOCx）yODx1如图，点 D 的纵坐标等于_；点 A 的横坐标是方程_的解； 大于点 B 的横坐标是不等式_的解集；点 C 的坐标是方程组_的 解；小于点 C 的横坐标是不等式_的解集. 三、解答题 AyDoCy=k1x+b1 Bx1如图，已知一次函数 ykxb 的图像与反比例函数 y - 8 的图象交于 xA、B 两点，且点 A 的横坐标与点 B 的纵坐标都是-2。 AyCy=kx+b 求： 1）一次函数的解析式； （2）AOB 的面积。 第 3页 OBx第二部分 反比例函数 【知识整理】 知识点 1反比例函数的概念 重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 例 1如图，函数 y k 与 y-kx+1（k ¹ 0）在同一坐标系内的图像大致为（ x）练 习 1 已 知 点 A （ x1, y1 ） B （ x2 , y2 ）是反 比 例 函 数 y = k （ k > 0 ） 图 象 上 的 两 点 ， 、x若 x1 < 0 < y2 ，则有（ ）A y1 < 0 < y2 B y2 < 0 < y1 C y1 < y2 < 0 D y2 < y1 < 0 2矩形面积为 4，它的长 y 与宽 x 之间的函数关 系用图象大致可表示为（ ）知识点 2反比例函数的图象及性质 重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用 知识点 3反比例函数解析式的确定 重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式 知识点 4用反比例函数解决实际问题 知识 点 5反比例函数综合 第 4页 例 1如下左图，矩形 AOCB 的两边 OC，OA 分别位于 x 轴，y 轴上，点 B 的坐标为（ 20 ，5） D ，3是 AB 边上的一点，将ADO 沿直线 OD 翻折，使 A 点恰好落在对角线 OB 上的点 E 处，若点 E 在一 反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_ 例 2 两个反比例函数 y= 1k 和 y= 1 在第一象限内的图像如上右图所示，点 P 在 y= k 的图像上，PCx xxx1k轴于点 C，交 y= 的图像于点 A，PDy 轴于点 D，交 y= 的图像于点 B，当点 P 在 y= 的图像 xxx上运动时，以下结论： ODB 与OCA 的面积相等； 四边形 PAOB 的面积不会发生变化； PA 与 PB 始终相等； 当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点 其中一定正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分） 【最新考题】 中考要求及命题趋势 1反比例函数的基本题 2反比例函数的图象 3反比例函数图象的面积与 k 问题 4利用图象，比较大小 5反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系 综观近几年年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的 数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方 面，在考查学生的 基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。 函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，"学生的数学学习内容应当是现实的， 有意义的，富有挑战性的。" 例 1 （浙江台州）反比例函数 y = - 6 图象上一个点的坐标是 。x 第 5页 例 2 （湖北省十堰市）根据物理学家波义耳 1662 年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体 的压强 p(pa)与它的体积 v(m3)的乘积是一个常数 k，即 pvk(k 为常数，k0)，下列图象能正确反映 p 与 v 之间函数关系的是（ ）ppppOvOvOvOvABCDD 例 3已知反比例函数 y = k (k < 0) 的图像上有两点 A（ x1, y1 ） B（ x2 , y2 ） ，且 x1 < x2 ，则 y1 - y2 的 x值是（ ）A正数 B负数 C非正数 D不能确定 例 4 08 山东潍坊）设 P 是函数 P = 4 在第一象限的图像上任意一点，点 P 关于原点的对称点为 P ， （x过 P 作 PA 平行于 y 轴，过 P 作 PA 平行于 x 轴，PA 与 PA 交于 A 点，则 PAP 的 面积（ ）来源:学科网 ZXXK A等于 2 B等于 4 C等于 8 D随 P 点的变化而变化 例 5 08 泰安市）已知三点 P1 (x1, y1) ，P2 (x2 , y2 ) ，P3 (1, -2) 都在反比例函数 y = k 的图象上，若 x1 < 0 ， （xx2 > 0 ，则下列式子正确的是（ ）A y1 < y2 < 0 B y1 < 0 < y2 C y1 > y2 > 0 D y1 > 0 > y2 例 6 （扬州）如图，二次函数 y = 1 x2 + ( m + 1)x + m （m < 4）的图象与 x 轴相交于点 A、B 两点 44（1）求点 A、B 的坐标（可用含字母 m 的代数式表示） ；（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数 y = 9 的图象相交于点 C，且BAC 的余弦值为 ，求 4x5这个二次函数的解析式 yCABO x 第 6页 【过关测试】 一、选择题 2 -2 1若反比例函数 y = (2m - 1)x m 的图像在第二、四象限，则 m 的值是（ ）A1 或 1 B小于 1 的任意实数 C1 D不能确定 22在同一直角坐标平面内，如果直线 y = k1x 与双曲线 y = （）来源:Zxxk.Com k2 没有交点，那么 k 和 k 的关系一定是 12xA k1 <0， k2 >0 B k1 >0， k2 <0 C k1 、 k2 同号 D k1 、 k2 异号 二、填空题 1已知 y 是 x 的反比例函数，当 x =3 时， y =4，则当 x =2 时 y =_； 2对于函数 y = 2 ，当 x > 2 时，y 的取值范围是_ < y < _；当 x £ 2 时 x且 x ¹ 0 时，y 的取值范围是 y _1，或 y _。 三、解答题 1如图，一次函数 y = kx + b 的图象与反比例函数 y = m 的图象相交于 A、B 两点 x（1）根据图象，分别写出 A、B 的坐标； （2）求出两函数解析式； （3）根据图象回答：当 x 为何值时，一次函数的函数值大于反比 例函数的函数值 2如图，已知点 A（4，m） B（1，n）在反比例函数 y = 8 的图象上，直线 AB 与 x 轴交于点 C， ，x（1）求 n 值 y（2）如果点 D 在 x 轴上，且 DADC，求点 D 的坐标. A-1 OC4 xB 第 7页 第三部分 二次函数 一、数学知识及要求层次 1、 二次函数的意义 了解 2、 二次函数表达式 掌握 3、 二次函数图象及其性质 灵活应用 二次函数 4、 根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴 灵活应用 5、用二次函数及其图象解决简单的实际问题 灵活应用 二次函数与一元 6、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解 灵活应用 二次方程 二、近年二次函数考题及分值分布情况 知识模块 考察知识点 分值 题型 命题预计 二次函数 二次函数表达式、顶点坐标、开口方 2-3 分 选择、 继续考察二次函数的图形与基 图像与 向、最值、对成型等 填空 本性质、 利用待定系数法求解二 性质 5-8 分 解答题 次函数解析式； 二次函数图像的平移、二次函数、二 可能会更注重二次函数与方程、 次方程、不等式等综合运用 不等式、图形的相似、圆等知识 点的综合考查 二次函数 二次函数解决简单实际问题、二次函 10 分 解答题 可能仍重视对二次函数的建模 的应用 数与几何、三角函数的综合应用 应用、 二次函数中的动态问题与 存在性问题探索性研究 纵观近两年调考，样卷及中考试卷，可以发现中考中二次函数的题型有如下一些特点： 1综合性强，初中阶段所有的知识点几乎都可以与二次函数联系起来，特别是与一元二次方程，几 何图形、实际问题的联系更紧密些。 2分值较重，而且二次函数的分值逐年加大。 3覆盖面广。二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。 【知识整理】 知识点 1二次函数的解析式三种形式 一般式 y=ax2 +bx+c(a ¹ 0) 顶点式 y = a(x - h)2 + k y = a(x + b )2 + 4ac - b 22a 4a 交点式 y = a(x - x1)(x - x2 ) 知识点 2二次函数图像与性质及画法 勾画草图关键点：开口方向 对称轴 顶点 与 x 轴交点 与 y 轴交点 图像平移步骤 （1）配方 y = a(x - h)2 + k ，确定顶点（h，k） 第 8页 （2）对 x 轴 左加右减；对 y 轴上加下减 二次函数的对称性 二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为 x1，x2 其对应的纵坐标相等那么对称轴 x = x1 + x2 2根据图像判断 a、b、c 的符号 （1）a 开口方向 （2）b 对称轴与 a 左同右异 （3）c 抛物线与 y 轴交点的纵坐标 二次函数与一元二次方程的关系 知识点 3二次函数的应用 如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等 【典型例题】 题型 1二次函数的概念 例 1 （基础）二次函数 y = -3x2 - 6x + 5 的图像的顶点坐标是（ A -1，8） （B.（1，8） C（-1，2） ）D（1，-4） 例 2 （拓展，武汉市中考题·12）下列命题中正确的是_ 若 b24ac0，则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3 若 b24ac=0，则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。 当 c=5 时，不论 b 为何值，抛物线 y=ax2+bx+c 一定过 y 轴上一定点。 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有唯一公共点，则方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根。 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点 A、B，与 y 轴交于 c 点，c=4，SABC=6，则抛物线解析式 为 y=x25x+4。 若抛物线 y=ax2+bx+c（a ¹ 0）的顶点在 x 轴下方，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实 数根。 若抛物线 y=ax2+bx+c（a ¹ 0）经过原点，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 必有一根为 0。 若 ab+c=2，则抛物线 y=ax2+bx+c（a ¹ 0）必过一定点。 若 b23ac，则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴一定没有交点。 若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则函数 y=cx2+bx+a 的图象与 x 轴必有两个交 点。 若 b=0，则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。 题型 2二次函数的性质 ，知此抛物 线的对称轴为直线 x=1，此时 x1 = -1, x2 = 2 时，对应的 y1 与 y2 的大小关系是（ ）例 3若二次函数 y = ax2 + bx - 4 的图像开口向上，与 x 轴的交点为（4，0）（-2，0） Ay1 < y2 By1 = y2 Cy1 > y2 D不确定 题型 3二次函数的图像 第 9页 题型 4二次函数图像性质（共存问题、符号问题） 例 4 （湖北省荆门市）函数 y=ax1 与 y=ax2bx1（a ¹ 0）的图象可能是（ yyyy1111xooxoxoA B C D 例 5已知二次函数 yax 2 +bx+c 的图象如图则下列 5 个代数式： ac，a+b+c，4a2b+c， 2a+b，2ab 中，其值大于 0 的个数为（ ）A2 B3 C4 D5 题型 5二次函数的平移 题型 6二次函数应用销售利润类问题 ）x例 6某商品的进价每件为 50 元，现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 70 件，市场调查反映： 如果每件的售价每涨 10 元（售价每件不能高于 140 元） ，那么每星期少卖 5 件，设每件涨价 x 元（x 为 10 的正整数倍） ，每周销售量为 y 件。 （1）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围。 （2）如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？ 题型 7二次函数与几何图形综合(面积、动点) 例 7已知二次函数 y = ax2 + bx + c （ a ¹ 0 ）的图象经过点 A（1，0） B（2，0） C（0，-2） 线 ，直 x = m （ m > 2 ）与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的解析式； （2）在直线 x = m （ m > 2 ）上有一点 E（点 E 在第四象限） 得 E、D、B 为顶点的三角形与以 A、 ，使 O、C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示） ；y（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在， 请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积； 若不存在，请说明理由 Ox 第 10 页 【过关测试】 一、选择题 1 （上海市）抛物线 y = 2(x + m)2 + n （m、n 是常数）的顶点坐标是（ A m，n） （B -m，n） （C m，-n） （）D -m，-n） （2已知二次函数 y = ax + bx + c （ a ¹ 0 ）的图象如图所示，则下列结论： 2ac > 0 ； 方程 ax + bx + c = 0 的两根之和大于 0； 2y 随 x 的增大而增大； a - b + c < 0 ， 其中正确的个数（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 3 （ 烟 台 市 ） 二 次 函 数 y = ax2 + bx + c 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 一 次 函 数 y = bx + b - 4 ac 与 反 比 例 函 数 y = a + b + c 在 同 一 坐 标 系 内 的 图 象 大 致 为 2xyOy1x（）yOA xyOB xyOC xyOD x-1 O1 x二、填空题 1 （淄博市）请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 过点（3，1） ；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小；当自变量的值为 2 时，函数值小于 2 2 （包头）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则 这两个正方形面积之和的最小值是 cm2 3 （兰州）二次函数 y = 2 x2 的图象如图 12 所示，点 A0 位于坐标原点，点 3A1 ， A2 ， A3 ，¼， A2008 在 y 轴的正半轴上，点 B1 ， B2 ， B3 ，¼， B2008 在 二 次 函 数 y = 2 x2 位 于 第 一 象 限 的 图 象 上 ， 若 A0B1A1 ， A1B2 A2 ， 3 A2B3 A3 ，¼， A2007B2008 A2008 都为等边三角形，则 A2007B2008 A2008 的边 长_ 第 11 页 三、解答题 1 （仙桃）如图，已知抛物线 yx2bxc 经过矩形 ABCD 的两个顶点 A、B，AB 平行于 x 轴，对角 线 BD 与抛物线交于点 P，点 A 的坐标为（0，2） AB4 ，（1）求抛物线的解析式； （2）若 SAPO 3 ，求矩形 ABCD 的面积 2 第 12 页