中学数学冲刺九年级初三之圆与相似三角形考点精解垂径定理.doc

垂径定理 爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义 垂径定理 一、知识要点 垂径定理及推论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具 有其它三个：垂直于弦，过圆心，平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.（当 以、为题设时，"弦"不能是直径.） 二、典型例题 1、利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系 例 1.（重庆市）如图，O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，EOD40°,则DCF 等于（ ）A.80° B. 50° C. 40° D. 20° 2、利用垂径垂直平分弦，证相有关线段相等 例2.如图，AB为O的直径，CD为弦，过C、D分别作CNCD、DMCD，分别交AB于N、M，请 问图中的AN与BM是否相等，说明理由 变式一： 变式二： 第 1页 例3. （南京市）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G、B、F、E， GB8cm，AG1cm， DE2cm，则EF cm . 变式一：圆内两条互相平行的弦 AB、CD，其中 AB=16cm，CD=12cm，圆的半径为 10，求 AB、CD 间的距离. 变式二：如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于 E，若 AE2cm，BE6cm，CEA30o，求： 1） （CD 的长； 2） DH - CG . （变式三： 如图，半径为 2 的圆内有两条互相垂直的弦 AB 和 CD，它们的交点 E 到圆心 O 的距离等于 1，则 AB 2 + CD 2 （ ）A28 B26 C18 D35 第 2页 变式四： 如图，在O 中，AB、AC 是互相垂直的两条弦，AB8cm，AC6cm，那么O 的半径 OA 的长（ ）A4 cm B5 cm C6 cm D8 cm 3、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理解题 例 4.（长春市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面 的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面 （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的 半径 例 5.有一座圆弧形拱桥，桥下水面 AB 宽 7.2m，拱顶 CD 高出水面 2.4m.现有一艘宽 EF 为 3m，船舱 顶部为长方形并高出水面 2m 的船要经过这里，此船能顺利通过这座桥吗? CDAEFB 第 3页 三、强化训练 1、在半径为 5cm 的O 中，有一点 P 满足 OP3 cm，则过 P 的整数弦有 条. 2、如图，O 中弦 ABCD 于 E，AE2，EB6，ED3，则O 的半径为 .3、等腰ABC 中，ABAC，A120o，BC10cm，则ABC 的外接圆半径为 4、圆内一弦与直径相交成 30 的角，且分直径为 1cm 和 5cm 两段，则此弦长为 o.5、如图，RtABC 中，C90 ，AC3，BC4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB、BC 分别 o交于点 D、E，求 AB、AD 的长. 6、如图，O 的半径为 10cm，G 是直径 AB 上一点，弦 CD 经过点 G，CD16cm，AECD 于 E， BFCD 于 F，求 AEBF 的值. 7、如图，AB、AC 为O 的两条弦，D、E 分别为 AB 、 AC 中点，求证： AM=AN. DMAONEBC 第 4页 四、中考试题满分解答欣赏（试题选自各省市中考试题及模拟试题的解答题部分，属综合题型， 可能包含目前未学过的内容） 2009 北京中考 20已知：如图，在ABC 中，ABAC，AE 是角平分线，BM 平分ABC 交 AE 于点 M，经过 B、 M 两点的O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 恰为O 的直径 （1）求证：AE 与O 相切； （2）当 BC4， cos C = 1 时，求O 的半径 3满分解答： （1）证明：连结 OM，则 OMOB 12 BM 平分ABC， 13 23 OMBC AMOAEB 在ABC 中 ABAC，AE 是角平分线， AEBC AEB90°AMO90°OMAE AE 与O 相切 （2）解：在ABC 中，ABAC，AE 是角平分线， BE = 1 BC ，ABCC 21BC4， cos C = ，BE2， cos ABC = 133在ABE 中，AEB90°， AB = =6 cos ABC 设O 的半径为 r，则 AO6r BE OM AO OMBC，AOM ABE = r = 6 - r 解得 r = 3 BE AB 262 第 5页 O 的半径为 3 2 第 6页