合同线性化与线性化合同26217.docx

合同线性化与线性化合同张巍(东北财经大学 大连 116025)The Linnearizzationn of CContraacts aand Liinear ContrractsZhang WWei(Dongbeei Univeersityy of FFinancce andd Econnomicss, Daalian 1160225)摘要：本文讨论论了不对称信信息下委托代代理关系中合合同的线性化化与线性化的的合同。我们们的出发点是是代理人之间间的能力差异异，由此诱发发了同时存在在的逆向选择择和道德风险险问题，为处处理这一问题题我们得到一一个产出呈凹凹性的支付合合同，并对其其线性化，考考虑到这一参参数线性合同同系的不稳定定性，我们最最终以无参数数的线性合同同来替代，从从而更为接近近现实中使用用的合同。关键词：线性合合同，委托代代理，逆向选选择，道德风风险Abstracct：Thee papeer disscussees thee lineearizaation of coontraccts annd linnear ccontraacts iin priincipaal-ageent reelatioonshipps undder assymmettric iinformmationn. Ourr starrting pointt is tthe diiffereence oof cappabiliity beetweenn agennts; thereefore adverrse seelectiion annd morral haazard coexiist. TTo hanndle ssuch aa probblem, we geet a pparameeterizzed paaymentt conttract concaave onn outpput, llinearrize iit, annd in view of itts insstabillity ssubstiitute it wiith noon-parrameteerizedd lineear coontraccts, wwhich is moore appproxiimate to reealisttic coontraccts.Key Worrds: LLinearr Conttractss, priincipaal-ageent, AAdversse Sellectioon, Mooral HHazardd中图分类号：CC936JEL分类类号：M52合同线性化与线线性化合同0、引言在委托代理理论论中，由于委委托人与代理理人具有不同同的目标函数数，在信息不不对称的情况况下，处于信信息劣势的委委托人无法对对代理人进行行有效的监督督，代理人追追求自身效用用最大化的行行为就会偏离离甚至损害委委托人利益，从从而产生了道道德风险与逆逆向选择问题题。解决此问问题的关键在在于委托人必必须给与代理理人适当有效效的激励，那那么补偿的形形式是怎样的的？以往的委委托代理文献献1-6表明，在在具有特定的的分布函数与与符合严格的的约束条件下下，最优的补补偿合同是线线性的，换句句话说，通常常意义下的最最优合同应该该是非线性的的。然而事实实上恰恰是线线性的补偿合合同得到了大大量的应用，原原因可能来自自下面两个方方面：首先复复杂的激励方方案是难以实实现的，制订订这一方案必必须考虑众多多与代理人私私人信息相关关的因素，而而实行中代理理人却可能以以合谋等种种种手段来放松松委托人的约约束条件，使使得期望的最最优配置难以以实现；其次次，信息结构构或技术条件件的即使是微微小的变化都都将使得这种种激励方案很很难保持最优优，或者说不不具有稳健性性（Robuustnesss）。这些些原因激发了了在线性合同同方面大量的的研究。Holmstrrom与Milgrrom1 (19887)是讨论论线性合同的的经典文献，它它假定委托人人风险中性，代代理人具有常常数绝对风险险规避系数（CCARA）和和负指数效用用函数，那么么当随机误差差服从正态分分布，最优的的合同关系就就是线性的，这这样使得比较较静态分析变变得十分简单单，因此也受受到了广泛的的关注，但是是这一模型仅仅仅考虑了道道德风险问题题。Scatttle和Sung(11993)2 ,(1997)3对其进进一步的完善善，前者得出出了应用一阶阶方法的充分分必要条件，后后者指出了假假设不满足时时最优解将不不再具有马尔尔可夫性质。DDiamonnd4(19987)讨论论了当代理人人努力水平相相对产出水平平缩减时，如如果代理人的的控制空间是是满秩的（无无法以套利等等模式获取相相关收益），最最优合同就收收敛为线性的的。Lafffont和Tirolle5(19986)讨论论了另一个极极端，当委托托人能够对项项目信息充分分了解并能够够投资于成本本缩减，他会会为代理人提提供一个与成成本呈线性的的激励合同。Levy和Vukina6 (2002)关注于代理人的能力差异，指出如果不存在交易成本，委托人会向代理人提供一系列基于个人的线性合同，最终合同的线性程度取决于对代理人能力差别的鉴别成本。国内这一方面研究比较少见，罗大伟7等在二阶多项式及二点分布条件下，以合同的曲率来判断其凸凹性，但合同形式的假设过于苛刻。洪剑峭8以数值模拟的方式来比选预算报酬方案与线性报酬方案，其更加关注于成本而非激励。我们的研究起点接近于Levy和Vukina，承认能力差别导向一个线性合同系，但我们考虑到同时存在的逆向选择和道德风险问题，更加关注与此情形下的激励特性与可操作性。本文余下部分的结构为：第2部分介绍完全信息下的基准模型，第3部分在非对称信息下对合同线性化，第4部分给出两种可行的线性合同，第5部分给出了一个数值例子，第6部分是本文的总结。1、基准模型我们由一个简简单的完全信信息模型开始始，这一基准准模型来自LLaffonnt和Marrtimorrt9(20002)。考考虑一个风险险中性的委托托人，委托代代理人生产单单位的产出，从从中获得的效效用为，为代理人生生产单位产出出得到的转移移支付，。代理人存存在能力差异异，体现在不不同的边际成成本，其累积积分布函数为为，分布密度度，风险中性性代理人的效效用函数为。在完全信息情情况下，没有有了隐藏信息息和隐藏行动动，事前（eex antte）与事后后（ex ppost）毫毫无区别，也也就没有必要要考虑时序问问题。委托人人可以充分监监测代理人的的努力程度，因因此不必考虑虑激励相容约约束（IC），只只需满足参与与约束（PCC），那么委委托人的规划划式为（1）（2）容易验证，最优优配置下参与与约束（PCC）是紧的，那那么我们可以以将其代入（11）式，求得得一阶条件（3）二阶条件有假设设可知，故充充分必要条件件成立。我们们可以将一阶阶条件（FOOC）对求导导， 即这意味着最优合合同具有单调调性质，能力力越高，产量量越高。由参参与约束我们们得到代理人人获得的转移移支付为，将将其对求导可可得，它的符符号是不确定定的，这意味味者代理人收收入并未呈现现出单调性质质，举个例子子，当（即），每个个代理人的收收入都是一样样的，从成本本角度而言这这是公平的，能能力高的人单单位成本低，就就应该多生产产，但从效率率角度而言这这不符合多劳劳多得原则，完完全信息造成成了静态下的的棘轮效应（ratchet effect） 简单的理解为，如果信息不对称，那么代理人必将减少产出以使委托人认为其能力较低，从而获取租金，因为产量越高，委托人认为其成本越低，对其标准越高，而完全信息单期下就实现了这一效应。2、合同线性化化在不对称信息情情况下，委托托人面临代理理人逆向选择择与道德风险险问题，简单单的说，前者者使得某种类类型的代理人人有动机冒充充其他类型的的代理人，通通过选择其他他合同以获利利；后者影响响代理人在选选定的合同执执行过程中是是否偷懒。我我们考虑此时时的合同时序序这里A和P代表表代理人（AAgent）和和委托人（PPrinciipal）。逆向选择发发生在，道德德风险发生在在。为避免其其发生，必须须加入一些假假设和条件。假设：类型的的分布函数满满足单调风险险率性质（mmonotoone haazard rate propeerty），即。这一假设条件件很容易为通通常的分布函函数所满足，如如均匀分布，正正态分布，伽伽玛分布或贝贝塔分布等，只只需对某些参参数加以适当当的限制。这时我们必须加加入代理人的的激励相容约约束，得到新新的规划式（44）（5） （6）这里为类型为的的代理人报告告类型为所能能获得的收益益，根据显示示原理存在一一个直接的显显示机制。为为了使代理人人真实报告其其类型，应该该有也就是说，当代代理人报告真实类型型时效用最大大。根据包络络定理可以得得到（7）为保证我们取得得的是最大值值，二阶条件件要求，这一一条件将在下下面得到满足足。由（7）我我们可以求出出代理人的效效用函数（8）注意（6）和（88）式不是等等价的，（88）式只能保保证代理人报报告真实类型型，（6）式式同时保证了了代理人按委委托人期望提提供产出，我我们将在命题题1中对这后后一性质进行行处理。由（88）式可知效效用是能力的的递增函数，那那么参与约束束（5）可变变为，可验证证最终这一约约束是紧的。这这样我们将简简化后的（55），（8）代代入（4），得得到无约束的的规划问题。 （9）对上式求导我们们可以得到次次优产出的一一阶条件：（10）由于假设其满足足单调风险率率性质，（110）式对求求导可得到，这这就表明次优优合同同样具具有单调性质质，能力越高高，产量越高高，同时也满满足了（7）式式的二阶条件件。注意到当当，即最高能能力代理人类类型时，（110）式与（33）式是等价价的，也即产产出是无扭曲曲的，这就是是通常所说的的“角点无扭曲曲原理”。此时我们可以以得出代理人人获得的转移移支付（11）其中第一部分是是成本补偿，第第二部分是信信息租金，第第三部分是保保留效用。此此时的转移支支付体现了一一些有趣的性性质，将其对对求导可得到到，说明转移支支付具有单调调性质，能力力越高，支付付越高。对求求一，二阶导导数可得，这意味着着转移支付对对产出具有凹凹性，这一结结果与Poppova和Haubrrich110（19998）的实实证结论是一一致的，那么么一个直观的的想法就是用用一组切线逼逼近转移支付付曲线来实现现合同的线性性化，有如下下命题。命题1.如下的的线性合同诱诱导代理人报报告真实类型型并实现了次次优的产出。(12)这里，。证明：见附录这样一个线性合合同同时解决决了逆向选择择与道德风险险问题，但是是必须注意到到这个线性合合同是发生在在事后的，具具体而言是发发生在，也就就是说，针对对委托人确立立的对，代理理人选择实现现以获取相应应的，而（112）只是对对这一非线性性合同的线性性逼近方式。实实际上，由于于转移支付的的凹性，给定定产出不变，选选择其他代理理人的线性合合同是绝对占占优的，但是是产出暴露了了代理人的类类型，使得他他只能选择真真实类型的合合同。因此，可可以看出，这这种线性合同同是事后不稳稳定的，如果果产出的受到到随机扰动的的影响，那么么代理人必将将从中获得风风险租金。3、线性化合同同毫无疑问，以以为参数的一一组线性合同同对次优配置置有良好的拟拟合性质，但但是，正如我我们前面所说说，这样的合合同是复杂且且不稳健的。我我们的思路是是用无参数的的线性合同来来实现（111）式的转移移支付，直观观的，有以下下两种选择：l 激励强度平衡（III）保持代理人的激激励强度不变变，对参数在在可行域上积积分，容易得得到这里，。l 期望支付平衡（EEP）另一个思路来自自最小平方法法，求残差的的最小平方（133）由概率论的基本本知识 详见一般的概率论教材，如性质3.1.4，概率论与数理统计，中山大学数学系编著，高教社：北京，1988，pp194，当且且仅当（114）这也是我们将其其称为期望支支付平衡的原原因。（144）式左边为为，右边第一一项变化如下下那么可得到这里，。根据前面的假假设和论证，显显然是小于00的，那么可可见，。进一步我我们有如下命命题。命题2.期望支支付平衡要比比激励强度平平衡付出更少少的期望转移移支付。证明：见附录我们可以在图形形上表示出合合同线性化和和线性化合同同，如下首先，是一个凹凹性合同，上上面的两条切切线是（122）定义的线线性化合同，从从图形上更容容易看出其事事后的不稳定定性，同样的的产出在其他他合同下带来来的收益更高高；其次，是我们设定定的无参数的的线性合同，两两者斜率与截截距的差异由由，可知，考虑虑到代理人的的效用曲线与与合同曲线（直直线）相交以以确立其效用用，比更高的激励励强度使得高高能力代理人人获得更高的的效用；最后后， 的交点是是容易求出的的，4、一个数值例例子为了更清晰的的理解上述线线性合同的含含义，以下的的数值例子是是有帮助的。委托人：，满满足，代理人：服从从在上的均匀分布布，即，易得，令。由一阶条件式式（10），可得得，代入的上下下限，得，这这满足。考虑分别为114，15，116三种情形形，简单计算算得到，注意到，当代理理人隐瞒真实实类型，按其其他类型的代代理人的合同同生产，其效效用低于选择择自身类型合合同：比如类类型，当选择择获得信息租租金350，选选择获得信息息租金3488，选择获得得信息租金3348，因此此代理人倾向向于选择自身身类型合同，而而一旦选定，产产量变动带来来的收益变动动会被成本变变动抵消，那那么代理人就就倾向于按委委托人要求生生产产出，这这里即；另一一方面，事后后的不稳定性性体现在，代代理人在选择择自身类型合合同按委托人人要求生产产产出时，其效效用低于选择择其他类型合合同生产同样样产出，比如如类型，当选择获得得信息租金3350，选择择获得信息租租金352，选选择获得信息息租金3522，即产出的的变动影响了了合同选择的的稳定性。无参数的线性性合同计算结结果如下：为了防止不生产产或过度生产产，加上的限限制是必要的的。显而易见见，只对高于于平均类型的的代理人产生生激励作用，并并且其激励水水平相对较低低，低于平均均类型的代理理人会倾向于于生产，而则对除了了最低能力之之外的其他代代理人全部具具有激励作用用，这在实践践中有着重要要意义：对业业绩要求较高高的职业倾向向于采用，而而合同则有利利于人才的选选拔。5、结论本文讨论了不不对称信息下下委托代理关关系中合同的的线性化与线线性化的合同同。我们的出出发点是代理理人之间的能能力差异，由由此诱发了同同时存在的逆逆向选择和道道德风险问题题，为处理这这一问题我们们得到一个产产出呈凹性的的支付合同，并并对其线性化化，考虑到这这一参数线性性合同系的不不稳定性，我我们最终以无无参数的线性性合同来替代代，从而更为为接近现实中中使用的合同同。值得注意的是是，最终实现现的无参数的的线性合同丧丧失的灵活性性使得对于代代理人的逆向向选择问题再再次呈现，对对此我们的解解释是：我们们制订的无参参数的线性合合同具有次优优配置下参数数的整体特性性，这一点上上要远远强于于其他方式；当参数分布布的方差不大大时，均值占占据了分布的的绝大部分信信息，此时的的无参数的线线性合同也向向次优配置逼逼近，极端情情况下，三者重合为为一条直线。附录命题1的证明：对这一问题题的证明实际际上是将代理理人报告真实实类型后按委委托人期望提提供产出这一一性质添加进进来，注意到到，委托人确确立的合同是是针对的对，代理人人可能虚报类类型选择其他他合同，也可可能选定合同同后变动产出出，那么代理理人所面临的的规划是(A.1)其一阶条件为(A.2)(A.3)当且时，这些条条件得到满足足，注意这里里的，是由委委托人确定的的次优产出。由由于取最大值的二阶阶条件得到满满足。证毕命题2的证明：分别求出两两者的期望支支付。 （AA.4） （AA.5）可见（A.5）式式仅比（A.4）式多个个，而根据第第三部分的论论证，因此前前者要比后者者付出更多的的期望转移支支付。证毕参考文献1Holmmstromm. 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