统计学第5讲概率和概率分布幻灯片.ppt

统计学第5讲概率和概率分布第1页，共123页，编辑于2022年，星期二概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象的统研究和揭示随机现象的统计规律性的科学计规律性的科学 第2页，共123页，编辑于2022年，星期二概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象的统研究和揭示随机现象的统计规律性的科学计规律性的科学 第3页，共123页，编辑于2022年，星期二o自然界和社会发生的现象可分为两类：一类现象在一定条件下发生具有必然性，称为确定性现象。如向上抛一石子必然下落，异性电荷必相互吸引等等；另一类现象则在一定条件下发生具有不确定性，如用同一门炮向同一目标多次射击（或抛硬币），各次弹着点不尽相同，但这些弹着点却按照一定规律分布。这种在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性就是统计规律性。o这种在个别试验中呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象随机现象。o概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门科学。第4页，共123页，编辑于2022年，星期二5.1 基本概念基本概念5.1.1 随机试验、随机事件和样本空间随机试验、随机事件和样本空间5.1.2 随机事件的概率随机事件的概率5.1.3 概率的性质和运算法则概率的性质和运算法则5.1.4 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性5.1.5 全概公式与逆概公式全概公式与逆概公式第5页，共123页，编辑于2022年，星期二5.1.1随机试验、随机事件和样本空间随机试验、随机事件和样本空间一、随机一、随机试验试验(experiment)1.对一个或多个试验对象进行一次观察或测量的过程，称为一次试验。如：n掷一颗骰子，观察其出现的点数n从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果(纸牌的数字或花色)n掷一枚均匀硬币，观察其出现正面或反面的情况n从一批次品率为p的产品中随机抽出一个，观察其是正品还是次品第6页，共123页，编辑于2022年，星期二2.试验的特点n可以在相同的条件下重复进行n每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的n在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果一般把具有上面特点的试验称为随机试验。第7页，共123页，编辑于2022年，星期二二、随机事件(event)1.试验的结果称为事件。由于在随机试验中，某一结果可能出现也可能不出现，因此称为随机事件。如从一副扑克牌中随机机抽取一张，这是一次随机试验，抽得扑克牌的结果事先无法确定（是黑桃A还是红桃K）。这些结果就是随机事件。2.在概率中，随机事件通常用大写字母A，B，C，表示第8页，共123页，编辑于2022年，星期二1.简单事件简单事件：不能被分解成其他事件组合的基本事件n抛一枚均匀硬币，“出现正面”和“出现反面”2.必然事件必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示n掷一颗骰子出现的点数小于73.不可能事件：不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示n掷一颗骰子出现的点数大于7三、简单事件、必然事件、不可能事件三、简单事件、必然事件、不可能事件第9页，共123页，编辑于2022年，星期二四、样本空间与样本点1.样本空间样本空间n一个试验中所有结果（简单事件）的集合，是一个必然事件，用表示2.样本点样本点n样本空间中每一个特定的试验结果n用符号表示例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空间表示为：1,2,3,4,5,6n在投掷硬币的试验中，正面，反面n一场足球比赛，胜，平，输第10页，共123页，编辑于2022年，星期二5.1.2 事件的概率事件的概率1.概率是指随机事件发生的可能性大小的度量值。2.事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值，用以度量试验完成时事件A发生的可能性大小，记为P(A)3.客观概率（古典概率和统计概率）和主观概率第11页，共123页，编辑于2022年，星期二3.客观概率和主观概率（1）客观概率（古典概率和统计概率）古典概率：古典概率：古典概率具有如下两个特征：（1）试验的基本事件总数是有限的，即试验的样本空间包含有限多个样本点；（2）每个基本事件（样本点）出现的可能性相同。在古典概率中，事件A所包含的基本事件个数（m）与其样本空间中基本事件总数（n）的比值称为事件A的概率。记为：第12页，共123页，编辑于2022年，星期二o例1：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个，从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率有多大？o解：摸出任何一只球都形成一个基本事件，所以样本基本事件总数n=5。A表示摸出的是白球事件，则A由两个基本事件，即A=白球，白球，m=2第13页，共123页，编辑于2022年，星期二o例2：设有100件产品，其中有5件次品。现从这100件中任取2件，求抽到的两件均为合格品的概率是多少？抽到的两件均为次品品的概率是多少？第14页，共123页，编辑于2022年，星期二o统计概率：统计概率：若在相同条件下重复进行n次试验中，事件A发生了m次，若试验次数n很大时，事件A发生的频率m/n稳定地在某一常数P上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数的增加而缩小，则定义p为事件A发生的概率，记为：o统计概率实际上是历史上同类事物发生的稳定的频率。如通过大量观察，古今中外大量新生男性婴儿：女性婴儿=107：100。再比如某企业卖出5000台电脑就有40台返修，则该企业电脑返修的概率为0.8%。第15页，共123页，编辑于2022年，星期二例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右试验的次数试验的次数正面正面/试验次数试验次数1.001.000.000.000.250.250.500.500.750.750 0252550507575100100125125第16页，共123页，编辑于2022年，星期二3.主观概率o是观察者根据相关信息及个人经验、知识等对某一事件可能发生的可能性给出的一个主观判断。o主观概率有两个特点：一是主观概率大小依赖于观察者，对于同一事件，不同的人可能给出不同的概率；二是前人经验、自己知识及其对事件的分析都是作出判断的根据。o如每年年底，一些经济学家对来年GDP做出的个人判断和预测。乐观者认为可增长10%以上，悲观者则认为8%以下。又如股票的成交就是因为有人认为股票价格上升而买进，有人认为股票价格要下跌而卖出。第17页，共123页，编辑于2022年，星期二5.1.3 概率的性质和运算法则概率的性质和运算法则互斥事件及其概率 在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不能发生，则称事件A与事件B是互斥事件互斥事件,(没有公共样本点)A AB 互斥事件的文氏图互斥事件的文氏图第18页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例例】在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：A：600个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑 B：600个家庭中恰好有100个家庭拥有电脑 C：600个家庭中特定户张三家拥有电脑 说明下列各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由 (1)A与B (2)A与C (3)B与 C第19页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)解：解：(1)事件A与B是互斥事件。因为你观察 到恰好有265个家庭拥有电脑，就 不可能恰好有100个家庭拥有电脑 (2)事件A与C不是互斥事件。因为张三 也许正是这265个家庭之一，因而事 件与有可能同时发生 (3)事件B与C不是互斥事件。理由同(2)第20页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例】【例】同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有一枚 正面朝上的概率是多少？解解解解：用：用H H表示正面，表示正面，T T表示反面，下标表示反面，下标1 1和和2 2表示硬币表示硬币1 1 和硬币和硬币2 2。该项试验会有。该项试验会有4 4个互斥事件之一发生个互斥事件之一发生 (1)(1)两枚硬币都正面朝上，记为两枚硬币都正面朝上，记为H H1 1H H2 2 (2)1 (2)1号硬币正面朝上而号硬币正面朝上而2 2号硬币反面朝上，记为号硬币反面朝上，记为H H1 1T T2 2 (3)1 (3)1号硬币反面朝上而号硬币反面朝上而2 2号硬币正面朝上，记为号硬币正面朝上，记为T T1 1H H2 2 (4)(4)两枚硬币都是反面朝上，记为两枚硬币都是反面朝上，记为 T T1 1T T2 2第21页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)解解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个简单事件中每一事件发生的相对频数(概率)将近似等于1/4。因为仅当H1T2或T1H2发生时，才会恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件H1T2或T1H2又为互斥事件，两个事件中一个 事 件 发 生 或 者 另 一 个 事 件 发 生 的 概 率 便 是1/2(1/4+1/4)。因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概率等于H1T2或T1H2发生的概率，也就是两种事件中每个事件发生的概率之和 第22页，共123页，编辑于2022年，星期二互斥事件的加法规则(addition law)加法规则加法规则1.若两个事件A与B互斥，则事件A发生或事件B发生的概率等于这两个事件各自的概率之和，即 P(AB)=P(A)+P(B)2.事件A1，A2，An两两互斥，则有 P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)第23页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)解：解：解：解：掷一颗骰子出现的点数掷一颗骰子出现的点数(1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6)共有共有 6 6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 1/6 根据互斥事件的加法规则，得根据互斥事件的加法规则，得 【例】【例】【例】【例】抛掷一抛掷一颗颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率第24页，共123页，编辑于2022年，星期二概率的性质1.非负性n对任意事件A，有 P 02.规范性n一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即对于任意事件 A，有0 P 13.必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P()=1；P()=04.可加性n若A与B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)n推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有 P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)第25页，共123页，编辑于2022年，星期二事件的补及其概率事件的补事件的补 事件A不发生的事件，称为事件A的补事件(或称逆事件)，记为A。它是样本空间中所有不属于事件A的样本点的集合。事件A与其补事件是两个互斥事件（也称为不相容事件）A A A AP(A)=1-P(A)第26页，共123页，编辑于2022年，星期二o例：袋中装有白球1个，黑球4个，每次从中随机摸出1只球，并换入1只黑球。连续进行，问第三次摸到黑球的概率有多大？第27页，共123页，编辑于2022年，星期二广义加法公式 广义加法公式广义加法公式 对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)在互斥事件中，在互斥事件中，P P(AABB)=0P P(AABB)=)=P P(AA)+)+P P(BB)两个事件的并两个事件的并两个事件的交两个事件的交第28页，共123页，编辑于2022年，星期二广义加法公式(事件的并或和)事件A A或事件B发发生生的的事事件件，称称为为事事件件A与事件B B的并。它是由属于事件A或事件B的所有样本点的集合，记为AB或或A A+B BBA AB第29页，共123页，编辑于2022年，星期二广义加法公式(事件的交或积)A AB AB 事事件件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的的交交，它它是是由由属属于于事事件件A A也属于事件B的的所所有有公公共共样本点所组成的集合，记为样本点所组成的集合，记为B BA A 或或ABAB第30页，共123页，编辑于2022年，星期二广义加法公式(例题分析)解：解：设 A A=员工离职是因为对工资不满意 B B=员工离职是因为对工作不满意 依题意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15 P(AA+BB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55【例例例例】一一一一家家计计算算机机软软件件开开发发公公司司的的人人事事部部门门最最近近做做了了一一项项调调查查，发发现现在在最最近近两两年年内内离离职职的的公公司司员员工工中中有有40%40%是是因因为为对对工工资资不不满满意意，有有30%30%是是因因为为对对工工作作不不满满意意，有有15%15%是是因因为为他他们们对对工工资资和和工工作作都都不不满满意意。求求两两年年内内离离职职的的员员工工中中，离离职职原原因因是是因因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率第31页，共123页，编辑于2022年，星期二5.1.4 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性o前述概率问题在定义试验时没有附加任何特殊条件，称为无条件概率。o但有时经常遇到某个事件已经发生了，来求与之相关的另一个事件发生的概率，称为条件概率。o例如，一家饮料公司准备推出一种新的饮料，为估计新饮料的市场销售前景，公司先在几家超市试销，效果良好。那么公司有理由认为新饮料在整个市场销售有良好的销售效果。令A=新饮料在整个市场销售良好；B=新饮料试销情况良好。现在公司想要估计在新饮料试销情况良好的条件下，它在整个市场上销售良好的概率有多大？即在B事件发生的条件下，A事件发生的概率？这就是条件概率。第32页，共123页，编辑于2022年，星期二一.条件概率 在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，称为已知事件B时事件A的条件概率，记为P(A|B)P(B)P(AB)P(A|B)=事件事件B B及其及其概率概率P P(B B)事件事件 A AB B及其概及其概率率P P(A AB B)事件事件事件事件事件事件A A A AA A 事件事件事件事件事件事件B B B B B B一旦事件一旦事件一旦事件一旦事件B B B B发生发生发生发生第33页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)解：解：设 A A=顾客购买食品，B B=顾客购买其他商品 依题意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35【例例例例】一一家家超超市市所所作作的的一一项项调调查查表表明明，有有80%80%的的顾顾客客到到超超市市是是来来购购买买食食品品，60%60%的的人人是是来来购购买买其其他他商商品品，35%35%的的人人既既购购买买食食品品也也购购买买其其他他商商品品。求：求：(1)(1)已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率 (2)(2)已知某顾客购买其他的条件下，也购买食品的概率已知某顾客购买其他的条件下，也购买食品的概率第34页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例例】一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示 从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1)取出的一个为正品的概率 (2)取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3)取出一个为供应商甲的正品的概率 (4)已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率甲乙两个供应商提供的配件甲乙两个供应商提供的配件 正品数正品数次品数次品数合计合计供应商甲供应商甲 84690供应商乙供应商乙 1028110合计合计18614200第35页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)解：解：设 A=取出的一个为正品 B=取出的一个为供应商甲供应的配件 (1)(2)(3)(4)第36页，共123页，编辑于2022年，星期二二.乘法公式1.用来计算两事件交的概率2.以条件概率的定义为基础推倒3.设A，B为两个事件，若P(B)0，P(AB)=P(B)P(A|B)或P(A)0 P(AB)=P(A)P(B|A)上述公式就是概率的乘法公式。第37页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例例例例】一一家家报报纸纸的的发发行行部部已已知知在在某某社社区区有有75%75%的的住住户户订订阅阅了了该该报报纸纸的的日日报报，而而且且还还知知道道某某个个订订阅阅日日报报的的住住户户订订阅阅其其晚晚报报的的概概率率为为50%50%。求求某某住住户户既既订订阅阅日日报报又订阅晚报的概率又订阅晚报的概率 解：解：设 A=某住户订阅了日报 B=某个订阅了日报的住户订阅了晚报 依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.750.5=0.375第38页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例】【例】【例】【例】从一个装有从一个装有3 3个红球个红球2 2个白球的盒子里摸球个白球的盒子里摸球(摸出后球不放回摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率，求连续两次摸中红球的概率 解：解：解：解：设设 A A=第第2 2次摸到红球次摸到红球 B B=第第1 1次摸到红球次摸到红球 依题意有依题意有：P P(B B)=3/5=3/5；P P(A A|B B)=2/4)=2/4 P P(A AB B)=P P(B B)P P(A A|B B)=3/52/4=0.3)=3/52/4=0.3第39页，共123页，编辑于2022年，星期二三.独立事件与乘法公式1.若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)，则称事件A与B事件独立，或称独立事件 2.若两个事件相互独立，则这两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积，即 P(AB)=P(A)P(B)若事件A1,A2,An相互独立，则 P(A1,A2,An)=P(A1)P(A2)P(An)第40页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例例例例】一一个个旅旅游游经经景景点点的的管管理理员员根根据据以以往往的的经经验验得得知知，有有80%80%的的游游客客在在古古建建筑筑前前照照相相留留念念。求求接接下下来来的的两两个个游客都照相留念的概率游客都照相留念的概率 解：解：解：解：设设 A A=第一个游客照相留念第一个游客照相留念 B B=第二个游客照相留念第二个游客照相留念 两个游客都照相留念是两个事件的交。在没两个游客都照相留念是两个事件的交。在没 有其他信息的情况下，我们可以假定事件有其他信息的情况下，我们可以假定事件A A 和事件和事件B B是相互立的，所以有是相互立的，所以有 P P(A AB B)=P P(A A)P P(B B)=0.800.80=0.64)=0.800.80=0.64第41页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例例例例】假假定定我我们们是是从从两两个个同同样样装装有有3 3个个红红球球2 2个个白白球球的的盒盒子子摸摸球球。每每个个盒盒子子里里摸摸1 1个个。求求连连续续两两次次摸摸中中红红球球的的概率概率 解：解：解：解：设设 A A=从第一个盒子里摸到红球从第一个盒子里摸到红球 B B=从第二个盒子里摸到红球从第二个盒子里摸到红球 依题意有依题意有：P P(A A)=3/5=3/5；P P(B B)=3/5)=3/5 P P(A AB B)=P P(A A)P P(B B)=3/53/5=0.36)=3/53/5=0.36第42页，共123页，编辑于2022年，星期二例：已知10个灯泡中有3个次品。（1）现从中任取4个至少有2个次品的概率？（2）现从中任取4个，最多有一个次品的概率？（3）从中依次抽取2个灯泡，2个都是次品的概率？（4）如果将第一次抽出的灯泡放回，连续抽两次且两次都是次品的概率？第43页，共123页，编辑于2022年，星期二第44页，共123页，编辑于2022年，星期二5.1.5 全概公式与逆概公式全概公式与逆概公式 全概公式全概公式第45页，共123页，编辑于2022年，星期二o图中阴影区域代表事件A，事件A被一个完备事件组BBi i分割成多个事件，它们分别是事件A与完备事件BBi i的交A BBi i。B B B B2 2 2 2B B B B5 5 5 5B B B B4 4 4 4B B B B1 1 1 1B B B B3 3 3 3 完备事件组完备事件组完备事件组完备事件组第46页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例例】假设在n张彩票中只有一张中奖奖券，那么第二个人摸到奖券的概率是多少？解：解：解：解：设 A=第二个人摸到奖券，B=第一个人摸到奖券 依题意有：P(B)=1/n；P(B)=(n-1)/n P(A|B)=0 P(A|B)=1/n-1 第47页，共123页，编辑于2022年，星期二例.某企业有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品。各车间的产量分别占全厂总产量的20%、30%、50%。根据过去产品质量检验记录知道甲、乙、丙车间产品的次品率分别是4%、3%、2%，现从该厂产品中随机抽取一件为次品的概率是多少？第48页，共123页，编辑于2022年，星期二逆概公式 逆概公式逆概公式(贝叶斯公式贝叶斯公式)P(Bi)被称为事件Bi的先验概率，它是初始的、没有其他信息的概率；P(A|Bi)是事件Bi发生条件下事件A发生的概率，一般来自样本所提供的信息；P(Bi|A)被称为事件Bi的后验概率，它是获得有关事件A已经发生的信息之后修正得到的概率。因此，贝叶斯公式实际上就是利用先验概率和样本信息计算后验概率的一种计算方法。第49页，共123页，编辑于2022年，星期二第50页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例例例例】某某考考生生回回答答一一道道四四选选一一的的考考题题，假假设设他他知知道道正正确确答答案案的的概概率率为为1/21/2，而而他他不不知知道道正正确确答答案案时时猜猜对对的的概概率率应应该该为为1/41/4。考考试试结结束束后后发发现现他他答答对对了了，那那么么他他知知道道正正确确答答案案的的概概率率是是多大呢？多大呢？解：解：解：解：设设 A A=该考生答对了该考生答对了 ，B B=该考生知道正确答案该考生知道正确答案 依题意有依题意有：P P(B B)=1/2=1/2；P P(B B)=1-1/2=1/2)=1-1/2=1/2 P P(A A|B B)=1/4 )=1/4 P P(A A|B B)=1)=1第51页，共123页，编辑于2022年，星期二例.某企业有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品。各车间的产量分别占全厂总产量的20%、30%、50%。根据过去产品质量检验记录知道甲、乙、丙车间产品的次品率分别是4%、3%、2%，现从该厂产品中随机抽取一件产品为次品，该产品是乙车间生产的概率是多少？第52页，共123页，编辑于2022年，星期二5.2 离散型概率分布离散型概率分布 在商业及管理中，经常要研究一项试验结果的某些取值。如，抽取50个产品，观察其中的次品数量X；调查100个消费者，考察他们对饮料的偏好，并记录下喜欢某一特定品牌饮料的人数X，等等。这里X取哪些值以及X取某些值的概率是多少，事先都不知道。这就需要研究随机变量的取值及其概率分布。一旦知道了随机变量的概率分布模型，给定某一特定变量值就可以求出相应概率。第53页，共123页，编辑于2022年，星期二5.2 离散型概率分布离散型概率分布5.2.1 随机变量随机变量5.2.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布5.2.3 离散型随机变量的数学期望和方差离散型随机变量的数学期望和方差5.2.4 几种常用的离散型概率分布几种常用的离散型概率分布第54页，共123页，编辑于2022年，星期二5.2.1 随机变量随机变量1.一次试验的结果的数值性描述 如在10件同一类产品中，有2件次品。现任取2件，则这2件中的次品数就是一个随机变量，用 表示。随机机变量的取值是随机的，=0，1，2；第55页，共123页，编辑于2022年，星期二2.随机变量具有如下特征：第一，随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值；第二，随机变量取具体值的概率大小是确定的。3.一般用 X，Y，Z 来表示随机变量，具体取值用相应的小写xi,yi,zi表示。例如：投掷两枚硬币出现正面的数量X,具体的取值为x1=正面，x2=负面4.根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量第56页，共123页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量1.只能取有限个或可数个数数值的随机变量。2.所有取值都可以逐个列举出来 x1,x2，3.每个取值都有确定的概率p1,p2，4.离散型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽抽查查100个个产品产品一家餐馆营业一天一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售电脑公司一个月的销售销售一辆汽车销售一辆汽车取到次品的个数取到次品的个数顾顾客数客数销销售量售量顾顾客性客性别别0,1,2,1000,1,2,0,1,2,男性男性为为0,女性女性为为1第57页，共123页，编辑于2022年，星期二连续型随机变量1.可以取一个或多个区间中任何值的随机变量 2.即随机变量依照一定的概率规律在连续的数轴上取任一数值，它的取值不能逐个列举。3.连续型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽抽查查一批一批电电子元件子元件新建一座住宅楼新建一座住宅楼测量一个产品的测量一个产品的长长度度使用寿命使用寿命(小小时时)半年后工程完成的百分比半年后工程完成的百分比测测量量误误差差(cm)X 00 X 100X 0第58页，共123页，编辑于2022年，星期二5.2.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布1.列出离散型随机变量X的所有可能取值xi2.列出随机变量取这些值的概率P(X=xi)=pi3.通常用下面的表格来表示（这就是离散性随机变量的概率分布）X=xix1，x2，xnP(X=xi)=pip1，p2，pn4.4.P(X=xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数p pi i 0 0；第59页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例例】投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散型随机变量。写出掷一枚骰子出现点数的概率分布 X=xi123456P(X=xi)pi1/61/61/61/61/61/6概率分布概率分布第60页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例例】一一部部电电梯梯在在一一周周内内发发生生故故障障的的次次数数X及相应的概率如下表故障次数X=xi0123概率P(X=xi)pi0.100.250.35 一部电梯一周发生故障的次数及概率分布一部电梯一周发生故障的次数及概率分布 (1)(1)确定确定 的值的值 (2)(2)求正好发生两次故障的概率求正好发生两次故障的概率 (3)(3)求故障次数多于一次的概率求故障次数多于一次的概率 (4)(4)最多发生一次故障的概率最多发生一次故障的概率 （5 5）求最多发生两次故障的概率求最多发生两次故障的概率 第61页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)解：解：(1)由于0.10+0.25+0.35+=1 所以，=0.30 (2)P(X=2)=0.35 (3)P(X1)=0.35+0.30=0.65 (4)P(X2)=0.10+0.25=0.35 （5）P P(X X 2020，npnp5 5时，近似时，近似效果良好效果良好3.3.第81页，共123页，编辑于2022年，星期二(例题分析)【例例例例】计计计计算算算算机机机机硬硬硬硬件件件件公公公公司司司司制制制制造造造造某某某某种种种种特特特特殊殊殊殊型型型型号号号号的的的的微微微微型型型型芯芯芯芯片片片片，次次次次品品品品率率率率达达达达0.1%0.1%，各各各各芯芯芯芯片片片片成成成成为为为为次次次次品品品品相相相相互互互互独独独独立立立立，求求求求在在在在10001000只只只只产产产产品品品品中中中中至至至至少少少少有有有有2 2件件件件次次次次品品品品的概率是多少？以的概率是多少？以X X记产品的次品数，记产品的次品数，XBXB（1000,0.001)1000,0.001)。第82页，共123页，编辑于2022年，星期二超几何分布1.二项分布所适用的n重贝努利试验是要求每次试验是独立的，每次试验成功的概率是相等的，即理论上二项分布只适用于重复抽样。2.如果采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等，总体元素的数目N很小，或样本容量n相对于N来说较大时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布第83页，共123页，编辑于2022年，星期二超几何分布1.概率分布函数为第84页，共123页，编辑于2022年，星期二超几何分布(例题分析)【例例】假定有10支股票，其中有3支购买后可以获利，另外7支购买后将会亏损。如果你打算从10支股票中选择4支购买，但你并不知道哪3支是获利的，哪7支是亏损的。求：(1)有3支能获利的股票都被你选中的概率有多大？(2)3支可获利的股票中有2支被你选中的概率有多大？解：解：解：解：设设N N=1010，MM=3=3，n n=4=4第85页，共123页，编辑于2022年，星期二5.3随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念.定义定义:设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事件事件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即即 F(x)P Xx.易知，对任意实数易知，对任意实数x1,x2(x1x2),P x1X x2PX x2PX x1 F(x2)F(x1).因此，若已知因此，若已知X的分布函数，就知道的分布函数，就知道X落在任意区间落在任意区间(x1x2)上的概率上的概率;如果将如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在在x处的函数值就表示处的函数值就表示X落在区间（落在区间（-，x上的概率。即上的概率。即F(x)的值是的值是Xx的累积概率。的累积概率。第86页，共123页，编辑于2022年，星期二二、分布函数的性质二、分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且且 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。第87页，共123页，编辑于2022年，星期二三、离散型随机变量分布函数：三、离散型随机变量分布函数：XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为其分布函数为 解解X012P0.1 0.60.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。第88页，共123页，编辑于2022年，星期二例例2 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐标表示质点坐标.假假定定质点落在质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长区间内任一子区间内的概率与区间长成正比成正比，求，求X的分布函数的分布函数解：解：F(x)=PXx 当x1时,F(x)=1当0 x1时,特别,F(1)=P0 x1=k=1第89页，共123页，编辑于2022年，星期二四、连续型随机变量分布函数1.连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x)来表示2.分布函数定义为3.3.根根据分布函数，P P(a a Xb)可以写为第90页，共123页，编辑于2022年，星期二5.4 连续型概率分布连续型概率分布5.4.1 概率密度函数概率密度函数5.4.2 均匀分布均匀分布5.4.3 正态分布正态分布第91页，共123页，编辑于2022年，星期二5.4.1 概率密度函数概率密度函数1.离散型随机变量可以计算某一特定取值的概率；而连续型随机变量是可以取某一个或若干个区间内任意数值的随机变量，它取任何一个特定的值的概率都等于0，因此通常研究它取某一区间值某一区间值的概率2.连续型随机变量用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述第92页，共123页，编辑于2022年，星期二概率密度函数1.设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件2.f(x)不是概率，是频数第93页，共123页，编辑于2022年，星期二 密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x)值值(值值,频数频数)频数频数f f(x x)a ab bx x第94页，共123页，编辑于2022年，星期二注 意 概率密度函数只是给出了连续型随机变量某一特定值的函数值，不是取值概率。连续型随机变量在给定区间内取值概率是概率密度函数f(x)曲线（或直线）对于任何实数 x1 x2，P(x1 3,则 P(A)=P(X 3)=2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y B(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例第102页，共123页，编辑于2022年，星期二15154545解：设解：设AA乘客候车时间超过乘客候车时间超过1010分钟分钟XX乘客于某时乘客于某时X X分钟到达，则分钟到达，则X X U(0,60)U(0,60)第103页，共123页，编辑于2022年，星期二5.4.3.指数分布指数分布 若 X则称则称X服从参数为服从参数为 0的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为第104页，共123页，编辑于2022年，星期二解解第105页，共123页，编辑于2022年，星期二第106页，共123页，编辑于2022年，星期二5.4.4 正态分布正态分布(normal distribution)1.由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出2.描述连续型随机变量的最重要的分布3.许多现象都可以由正态分布来描述 4.可用于近似离散型随机变量的计算n例如：二项分布5.经典统计推断的基础x xf(x)第107页，共123页，编辑于2022年，星期二概率密度函数f(x)=随机变量 X 的频数（概率密度函数）=正态随机变量X的均值=正态随机变量X的方差 =3.1415926;e=2.71828x=随机变量的取值(-x )X服从参数为,的正态分布，记为XN(,)第108页，共123页，编辑于2022年，星期二正态分布函数的性质1.图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x=处2.均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”3.均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭4.当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交5.正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1 第109页，共123页，编辑于2022年，星期二 和 对正态曲线的影响xf(x)CAB =1/2=1/2 1 1 1 1 2 2 2 2 =1 =1 第110页，共123页，编辑于2022年，星期二正态分布的概率概率是曲线下的面积面积!a ab bx xf f(x x)第111页，共123页，编辑于2022年，星期二标准正态分布3.3.标准正态分布标准正态分布的概率密度函数的概率密度函数1.随机变量