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第二章随机过程第1页，本讲稿共44页2.2.2.2.根据随机过程的具体形式，求它的概率分布及各种根据随机过程的具体形式，求它的概率分布及各种根据随机过程的具体形式，求它的概率分布及各种根据随机过程的具体形式，求它的概率分布及各种 数字特征；数字特征；数字特征；数字特征；1.1.1.1.随机过程的定义、分类；随机过程的定义、分类；随机过程的定义、分类；随机过程的定义、分类；第第2章随机信号概论章随机信号概论本章要求：本章要求：第2页，本讲稿共44页第第2章章 随机信号概论随机信号概论2.2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性2.3 随机序列及其统计特性随机序列及其统计特性 2.1 随机过程的概念及分类随机过程的概念及分类第3页，本讲稿共44页2.1 随机过程的概念及分类随机过程的概念及分类随机信号随机信号：随时间做无规律的、未知的、：随时间做无规律的、未知的、“随机随机”的变化。无法的变化。无法用确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。这用确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。接收机噪声！随机信号的统计特性 是确定的。因此，用统计学方法建立了随机信号的数学模型随机过程。第4页，本讲稿共44页例例：在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电：在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电流）经过大量的重复测试后，设观测到的所有的可能结果有流）经过大量的重复测试后，设观测到的所有的可能结果有m m种，记录下种，记录下m m个不相同的波形。个不相同的波形。第5页，本讲稿共44页特定实验结果 一个确知的时间函数一.随机过程的定义定义定义1 1：设随机试验设随机试验E E的样本空间的样本空间S S,若对每个元素若对每个元素SS，总有确知的时间函数总有确知的时间函数X(t,),tTX(t,),tT与它相对应；这样，对于所与它相对应；这样，对于所有的有的SS，就可以得到一族时间，就可以得到一族时间t t的函数，将其称为随机过程。的函数，将其称为随机过程。族中的每一个函数称为该过程的样本函数。族中的每一个函数称为该过程的样本函数。适用于对随机过程的实际观测适用于对随机过程的实际观测 用实验方法观测到各个样本用实验方法观测到各个样本样本数目越多，越能掌握随机过程的统计规律性样本数目越多，越能掌握随机过程的统计规律性第6页，本讲稿共44页常用于理论分析常用于理论分析可以看成随机变量的推广（可以看成随机变量的推广（n n维）维）随机变量的维数越大，越能掌握随机过程的统计规律性随机变量的维数越大，越能掌握随机过程的统计规律性一个特定时间 一个取决于的随机变量定义定义2 2：若对于每个特定的时间若对于每个特定的时间 都是随机变都是随机变量，则称量，则称 为随机过程。为随机过程。第7页，本讲稿共44页 1 1 一个时间函数族（一个时间函数族（t t和和都是变量）都是变量）2 2 一个确知的时间函数（一个确知的时间函数（t t是变量，而是变量，而固定）固定）4 4一个确定值（一个确定值（t t和和都固定）都固定）3 3一个随机变量（一个随机变量（t t固定，而固定，而是变量）是变量）随机过程X(t)在四种不同情况下的含义第8页，本讲稿共44页二.随机过程的分类 按随机过程按随机过程X(t)X(t)的时间和状态是离散还是连续进行分类的时间和状态是离散还是连续进行分类1 1 连续型随机过程连续型随机过程任意的任意的 都是连续型随机变量；都是连续型随机变量；2 2 离散型随机过程离散型随机过程任意的任意的 都是离散型随机变量；都是离散型随机变量；3 3 连续随机序列连续随机序列 任意离散时刻的状态是连续型随机变量；任意离散时刻的状态是连续型随机变量；4 4 离散随机序列离散随机序列 随机过程的时间和状态都是离散的。随机过程的时间和状态都是离散的。状态时刻连续型随机过程连续连续连续随机序列连续离散离散型随机过程离散连续离散随机序列离散离散第9页，本讲稿共44页 按随机过程的样本函数的形式不同进行分类按随机过程的样本函数的形式不同进行分类不确定性随机过程不确定性随机过程样本函数的未来值不能由过去的观测值准确预样本函数的未来值不能由过去的观测值准确预测；测；确定性随机过程确定性随机过程 样本函数的未来值可以由过去的观测值预测。样本函数的未来值可以由过去的观测值预测。随机相位信号随机相位信号随机相位信号随机相位信号:A Asin(sin(t t+)U U(0,2(0,2)第10页，本讲稿共44页 按随机过程按随机过程X(t)X(t)的的分布函数或概率密度的不同特性分类的的分布函数或概率密度的不同特性分类正态过程、马尔可夫过程、独立增量过程正态过程、马尔可夫过程、独立增量过程平稳性过程、遍历性平稳性过程、遍历性宽带过程、窄带过程、白噪声、有色噪声宽带过程、窄带过程、白噪声、有色噪声EXIT第11页，本讲稿共44页2.2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性 随机过程是一族依赖于时间t的随机变量。因此，可以借用对随机变量的分析来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。而随机过程作为一族时间函数，在具体某次试验中出现哪个时间函数是服从某种概率分布的，这就要求分析随机过程必须采用统计的方法来描述。统计特性的描述方法有两种：一是通过分布函数或概率密度函数来描述；另一种是利用数字特征来描述。第12页，本讲稿共44页一.随机过程的概率分布 时刻采样，得到一族随机变量 第13页，本讲稿共44页1.一维概率分布 随机过程在任一特定时刻 取样得到随机变量 ，其概率分布为称作随机过程X(t)的一维分布函数。求偏导数数可得称作随机过程X(t)的一维概率密度。第14页，本讲稿共44页随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有一维随机变量的一维随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有一维随机变量的一维分布函数和一维概率密度的各种性质；分布函数和一维概率密度的各种性质；随机过程的一维分布函数和一维概率密度还是时间随机过程的一维分布函数和一维概率密度还是时间t t的函数；的函数；随机过程的一维分布函数和一维概率密度描述该随机过程在任随机过程的一维分布函数和一维概率密度描述该随机过程在任一孤立时刻取值的统计特性。一孤立时刻取值的统计特性。X(t)tt1X(t1)t2X(t2)二维概率分布二维概率分布第15页，本讲稿共44页2.二维概率分布随机过程X(t)的二维分布函数为随机过程X(t)的二维概率密度为！X(tX(t1 1)及及X(tX(t2 2)为同一随机过程上的随机变量。为同一随机过程上的随机变量。第16页，本讲稿共44页X(t)tt1X(t1)t2X(t2)tnX(tn)随机过程X(t)的n维分布函数为 随机过程X(t)的n维概率密度为3.n维概率分布第17页，本讲稿共44页 随机过程X(t)的n维分布函数的主要性质：1、2、3、4、5、6、如果 统计独立，则有第18页，本讲稿共44页例例 设随机振幅信号设随机振幅信号 ，其中，其中 是常数，是常数，Y Y是均值是均值为零，方差为为零，方差为1 1的正态随机变量，求的正态随机变量，求 时的概率密时的概率密度。度。解由X(0)=Y可知可得：不论Y值的大小，当 时，X(t)=0，即PX(t)=0=1，这就是说X(t)的分布函数 ，因此其概率密度函数为冲激函数。第19页，本讲稿共44页 *虽然随机过程的概率分布族能够完整地描述其统计特性，但在实际应用中确定这些分布特性非常困难，甚至不可行*二.随机过程的数字特征区别：随机变量的数字特征通常是确定值；随机过程的数字特征通常是确定性函数。计算方法：先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。第20页，本讲稿共44页 如果将过程X(t)中的 t 看成是固定的，则 X(t)就是一个随机变量。设它随机的取值x，则其在 t 时刻取x值的概率密度为 。因此，期望的定义：mx(t)描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。1、数学期望 物理意义：如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。第21页，本讲稿共44页2、均方值与方差 随机过程 在任一时刻t的取值是一个随机变量 。称其二阶原点矩为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即：随机过程 的均方差：第22页，本讲稿共44页 物理意义：如果 表示噪声电压，则均方值 和方差 分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。X(t)Y(t)Z(t)X(t)Y(t)Z(t)*identical mean but different variance*第23页，本讲稿共44页例例 设随机振幅信号为设随机振幅信号为 X X(t t)=)=Q Qsin(sin(0 0t t)，其中，其中 0 0 为常数，为常数，Q Q 为标准为标准正态随机变量，求该随机信号的均值和方差？正态随机变量，求该随机信号的均值和方差？解：均值方差第24页，本讲稿共44页3、自相关函数 自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻状态间的统计关联程度，通常用 描述。若t1=t2=t，则有第25页，本讲稿共44页例例 如果随机过程如果随机过程X X(t t)为：为：X X(t t)=)=V Vcos4cos4t t，式中，式中V V是随机变量，是随机变量，数学期望为数学期望为5 5、方差为、方差为6 6，求随机过程的均值和自相关函数，求随机过程的均值和自相关函数.解：第26页，本讲稿共44页4、自协方差函数 若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用 表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。自协方差和自相关函数的关系 自协方差和方差的关系:若t1=t2=t，则有第27页，本讲稿共44页5、互相关函数 自相关函数是描述一个随机过程本身内在联系的数字特征，而互相关函数则是描述两个随机过程间统计关联特性的数字特征。中心化互相关函数，也称互协方差函数为两个随机过程的互相关函数定义为第28页，本讲稿共44页6、统计独立、不相关和正交1)、随机过程X(t)和Y(t)互相统计独立若对任意的则称X(t)和Y(t)之间是互相统计独立。对二维概率密度则有：第29页，本讲稿共44页互协方差函数互相关函数第30页，本讲稿共44页2).若两个随机过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为零,即 ,则称X(t)和Y(t)之间互不相关。!两个过程互相独立，则必不相关，反之则不一定成立；两过程正交不一定不相关，除非它们至少有一个零均值。3).若两个随机过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即对 任意t1，t2有：则两过程正交。第31页，本讲稿共44页例例 设随机过程设随机过程X(t)=UtX(t)=Ut，U U在在(0,1)(0,1)上均匀分布，求上均匀分布，求EX(t)EX(t)，DX(t)DX(t)，R Rx x(t1,t2)(t1,t2)，C Cx x(t1,t2)(t1,t2)。解：解：第32页，本讲稿共44页例例2.3 2.3 若一随机过程由下图所示的四条样本函数组成，而且每条样本若一随机过程由下图所示的四条样本函数组成，而且每条样本函数出现的概率相等，求函数出现的概率相等，求R RX X(t(t1 1,t,t2 2)。解：由题意可知，随机过程解：由题意可知，随机过程X(t)X(t)在在 t t1 1,t,t2 2 两个时刻为两个离散随机变量。两个时刻为两个离散随机变量。所以可列出联合分布率如下：所以可列出联合分布率如下：X(t1)X(t2)Pi1 151/42 241/43621/44311/4第33页，本讲稿共44页第34页，本讲稿共44页三.随机过程的特征函数 对某一固定t时刻的状态,则随机变量X(t)的一维特征函数：将t看成变量，就是随机过程X(t)的特征函数。其逆变换：n阶原点矩：1.一维特征函数第35页，本讲稿共44页2.二维特征函数 随机过程X(t)在任意两个时刻t1,t2的状态构成二维随机变量 X(t1),X(t2)，它们的联合特征函数为：称作随机过程X(t)的二维特征函数。其逆变换：第36页，本讲稿共44页因此，随机过程X(t)的相关函数为：上式两边对变量u1，u2各求一次偏导数，第37页，本讲稿共44页3.n维特征函数其逆变换：EXIT第38页，本讲稿共44页2.3 随机序列及其统计特性随机序列及其统计特性 连续随机过程X(t)以ts为间隔进行等间隔抽样,得随机序列。表示为：一个N点随机序列可看成是一个N维的随机向量：第39页，本讲稿共44页均值向量：自相关矩阵：其中，矩阵元素为：1.数字特征第40页，本讲稿共44页若将矩阵元素换成协方差：则得协方差矩阵：协方差阵与自相关阵关系：第41页，本讲稿共44页性质1：对称性性质2：半正定性，即对任意N维（非随机）向量F，下式成立：2.自相关阵性质第42页，本讲稿共44页例例 求在求在0,1)0,1)区间均匀分布的独立随机序列的均值向量，自相区间均匀分布的独立随机序列的均值向量，自相 关阵与协方差阵。设关阵与协方差阵。设N=3N=3。解：Xj的一维概率密度函数为则均值自相关函数i=j时，ij时，第43页，本讲稿共44页均值向量与自相关阵分别为协方差矩阵EXIT第44页，本讲稿共44页