线性代数逆矩阵幻灯片.ppt

线性代数逆矩阵第1页，共23页，编辑于2022年，星期一则矩阵则矩阵 称为称为A的逆矩阵的逆矩阵.在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 a 的倒数，的倒数，（或称（或称 a 的逆）；的逆）；单位阵单位阵E类似于类似于1在数的乘法运算中的地位在数的乘法运算中的地位.那么，对于矩阵那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得对方阵对方阵,有有AE=EA=A,2第2页，共23页，编辑于2022年，星期一定义定义例例 设设设设A是是n阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在n阶方阵，使得阶方阵，使得 则称则称A为可逆矩阵，而为可逆矩阵，而B称为称为A的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为 说明说明(1)只有方阵才可能可逆只有方阵才可能可逆;(2)逆阵若存在逆阵若存在,则必唯一则必唯一.证证设设B和和C都是都是A的可逆矩阵，则的可逆矩阵，则3第3页，共23页，编辑于2022年，星期一问题问题:(1)什么条件下什么条件下A才可逆才可逆?(2)如果可逆如果可逆,如何求如何求?若若A可逆可逆,两边取行列式两边取行列式,若若则称则称A是是非奇异非奇异的的(或或非退化非退化的的););否则称否则称A为奇异的为奇异的(或退化的或退化的)。是是A可逆的必要条件可逆的必要条件.下面说明这个条件也是充分的下面说明这个条件也是充分的.4第4页，共23页，编辑于2022年，星期一定义定义性质性质证明证明为为A的的伴随矩阵伴随矩阵.代数余子式代数余子式,称矩阵称矩阵回忆行列式按行展开公式回忆行列式按行展开公式:5第5页，共23页，编辑于2022年，星期一类似有类似有,6第6页，共23页，编辑于2022年，星期一 矩阵矩阵A是可逆的充分必要条件是是可逆的充分必要条件是A非奇异。当非奇异。当A可逆可逆时，有时，有 定理定理证证充分性充分性:由由若若则则推论推论证证7第7页，共23页，编辑于2022年，星期一求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.例例1逆矩阵的求法逆矩阵的求法解解8第8页，共23页，编辑于2022年，星期一同理可求得同理可求得 对于对于3 3阶以上的矩阵，用阶以上的矩阵，用伴随矩阵法伴随矩阵法求逆矩阵很麻烦，求逆矩阵很麻烦，以后将给出另一种求法以后将给出另一种求法-初等变换法初等变换法。9第9页，共23页，编辑于2022年，星期一例例2故故A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是且且例如，例如，10第10页，共23页，编辑于2022年，星期一例例3对角阵对角阵可逆的充分必要可逆的充分必要条件是条件是且且例如，例如，11第11页，共23页，编辑于2022年，星期一例例4解解(1)方程两端左乘矩阵方程两端左乘矩阵12第12页，共23页，编辑于2022年，星期一13第13页，共23页，编辑于2022年，星期一例例5解解14第14页，共23页，编辑于2022年，星期一例例6证证15第15页，共23页，编辑于2022年，星期一逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质证证证证16第16页，共23页，编辑于2022年，星期一注意注意A，B可逆，可逆，A+B不一定可逆，不一定可逆，即使可逆，一般即使可逆，一般可逆阵可逆阵A若对称若对称(反对称反对称)，则则 也对称也对称(反对称反对称).对称对称;反对称反对称.对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。证证17第17页，共23页，编辑于2022年，星期一线性方程组线性方程组 写成矩阵形式写成矩阵形式其中其中此即克莱姆法则。此即克莱姆法则。18第18页，共23页，编辑于2022年，星期一例例7证证所以所以19第19页，共23页，编辑于2022年，星期一例例8证证20第20页，共23页，编辑于2022年，星期一例例9解解21第21页，共23页，编辑于2022年，星期一练习：练习：P69 习题二习题二补充题补充题22第22页，共23页，编辑于2022年，星期一补充题补充题证证23第23页，共23页，编辑于2022年，星期一