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系统运动的稳定性分析1第1页，共46页，编辑于2022年，星期一稳定性判别方法稳定性判别方法稳定性判别方法稳定性判别方法线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据；对数稳定判据；对数稳定判据等。等。非线性定常系统的稳定性：非线性定常系统的稳定性：描述函数法描述函数法(要求系统要求系统的线性部分具有良好的低通滤波性能的线性部分具有良好的低通滤波性能)；相平面法；相平面法(仅适合于一阶、二阶非线性系统仅适合于一阶、二阶非线性系统)。现代控制理论中：现代控制理论中：现代控制理论中：现代控制理论中：各类系统（包括单变量、多变量、线性、非线性、各类系统（包括单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统）的稳定性：定常、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性理论。理论。经典控制理论中：经典控制理论中：2第2页，共46页，编辑于2022年，星期一李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论提出了判断系统稳定性的李雅普诺夫稳定性理论提出了判断系统稳定性的李雅普诺夫稳定性理论提出了判断系统稳定性的李雅普诺夫稳定性理论提出了判断系统稳定性的两种方法：两种方法：两种方法：两种方法：1、间接法：间接法：利用线性系统微分方程的解来判定系利用线性系统微分方程的解来判定系利用线性系统微分方程的解来判定系利用线性系统微分方程的解来判定系统的稳定性，又称统的稳定性，又称统的稳定性，又称统的稳定性，又称李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法；2、直接法：直接法：直接法：直接法：构造李雅普诺夫函数并根据其性构造李雅普诺夫函数并根据其性质来直接判定系统的稳定性，又称质来直接判定系统的稳定性，又称李雅普诺夫第李雅普诺夫第二法二法。它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时。它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时。它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时。它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。变系统。变系统。变系统。3第3页，共46页，编辑于2022年，星期一 4.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 4.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法 4.3 4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 4.4 线性系统稳定性分析线性系统稳定性分析4第4页，共46页，编辑于2022年，星期一4.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 一一.BIBO稳定性的概念稳定性的概念李雅普诺夫稳定性的物理意义就是李雅普诺夫稳定性的物理意义就是李雅普诺夫稳定性的物理意义就是李雅普诺夫稳定性的物理意义就是系统响应是否系统响应是否有界有界。对于一个初始条件为零的系统，如果在有界输入对于一个初始条件为零的系统，如果在有界输入对于一个初始条件为零的系统，如果在有界输入对于一个初始条件为零的系统，如果在有界输入u(t)u(t)作用下，系统的输出作用下，系统的输出作用下，系统的输出作用下，系统的输出y(t)y(t)是有界的，则此系统称为是有界的，则此系统称为是有界的，则此系统称为是有界的，则此系统称为外部外部稳定稳定，即，即，即，即有界输入有界输入-有界输出稳定有界输出稳定(BIBO Boundary(BIBO Boundary Input Boundary OutputInput Boundary Output稳定稳定稳定稳定)。5第5页，共46页，编辑于2022年，星期一状态，记为状态，记为xe。平衡状态满足。平衡状态满足 。对于线性定常系统对于线性定常系统 ，其平衡状态，其平衡状态xe应满足代应满足代应满足代应满足代数方程数方程数方程数方程 。二、平衡状态二、平衡状态李雅普诺夫稳定性均是相对于平衡状态而言。李雅普诺夫稳定性均是相对于平衡状态而言。李雅普诺夫稳定性均是相对于平衡状态而言。李雅普诺夫稳定性均是相对于平衡状态而言。1、平衡状态的定义、平衡状态的定义设系统状态方程为：设系统状态方程为：若对所有若对所有若对所有若对所有t，状态，状态x满足满足态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。，则称该状态，则称该状态x为平衡为平衡由平衡状由平衡状2、平衡状态的求法、平衡状态的求法当当当当A A为非奇异矩阵时，系统存在惟为非奇异矩阵时，系统存在惟为非奇异矩阵时，系统存在惟为非奇异矩阵时，系统存在惟一的一个平衡状态一的一个平衡状态一的一个平衡状态一的一个平衡状态x xe e=0=0。而当。而当。而当。而当A A为奇异矩阵时，则系统将为奇异矩阵时，则系统将为奇异矩阵时，则系统将为奇异矩阵时，则系统将有无限多个平衡状态。有无限多个平衡状态。有无限多个平衡状态。有无限多个平衡状态。6第6页，共46页，编辑于2022年，星期一非线性系统方程非线性系统方程非线性系统方程非线性系统方程 的解可能有多个。的解可能有多个。的解可能有多个。的解可能有多个。该系统存在三个平衡状态：该系统存在三个平衡状态：由于任意一个已知的平衡状态，总可以经过适由于任意一个已知的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换将其移到状态空间的坐标原点当的坐标变换将其移到状态空间的坐标原点xe e=0处，处，故为讨论方便又不失一般性，我们今后只讨论在坐标故为讨论方便又不失一般性，我们今后只讨论在坐标原点处的平衡状态的稳定性分析。原点处的平衡状态的稳定性分析。7第7页，共46页，编辑于2022年，星期一在在在在n维状态空间中，向量维状态空间中，向量x的长度称为向量的长度称为向量x的的(欧几里德欧几里德)范数，用范数，用 表示，则表示，则长度长度 称为向量称为向量x与与xe e的距离，写为：的距离，写为：三范数的概念三范数的概念范数的定义范数的定义范数的定义范数的定义向量的距离向量的距离8第8页，共46页，编辑于2022年，星期一若能使系统从任意初态若能使系统从任意初态若能使系统从任意初态若能使系统从任意初态x x0 0出发的解出发的解 在在tt0 0的过程中，都位于以的过程中，都位于以的过程中，都位于以的过程中，都位于以x xe为球心、为球心、任意规定的实数任意规定的实数 为半径的闭球域为半径的闭球域S()内，即内，即内，即内，即四、李雅普诺夫稳定性定义四、李雅普诺夫稳定性定义四、李雅普诺夫稳定性定义四、李雅普诺夫稳定性定义1 1、李雅普诺夫意义下的稳定性、李雅普诺夫意义下的稳定性、李雅普诺夫意义下的稳定性、李雅普诺夫意义下的稳定性定义：定义：对于系统对于系统 ，设初始状态位于以平衡状，设初始状态位于以平衡状态态xe为球心、为球心、为球心、为球心、为半径的闭球域为半径的闭球域S()内，即内，即则称系统的则称系统的平衡状态平衡状态xe在李雅普诺在李雅普诺夫意义下是稳定的夫意义下是稳定的。9第9页，共46页，编辑于2022年，星期一几何意义几何意义几何意义几何意义按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出要不超出S S()，则认为是稳定的，这与经典控制理论中，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。线性定常系统的稳定性定义有差异。10第10页，共46页，编辑于2022年，星期一2、渐近稳定性、渐近稳定性则称平衡状态则称平衡状态xe是是是是李雅普诺夫意义下渐近稳定的李雅普诺夫意义下渐近稳定的。这时，从这时，从S()出发的状态轨线不仅不会超出出发的状态轨线不仅不会超出S S()，且当，且当，且当，且当t 时最终收敛于时最终收敛于时最终收敛于时最终收敛于x xe，可见，可见，可见，可见经典控制理论中的稳经典控制理论中的稳定性定性定义与定义与渐近稳定性渐近稳定性对应。对应。对应。对应。定义：定义：定义：定义：如果系统的平衡状态如果系统的平衡状态xe e不仅有李雅普诺夫不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量意义下的稳定性，且对于任意小量00，总有，总有，总有，总有11第11页，共46页，编辑于2022年，星期一几何意义几何意义几何意义几何意义12第12页，共46页，编辑于2022年，星期一定义：定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态衡状态xe e均具有渐近稳定性，称这种平衡状态均具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe e是是是是大大大大范围渐近稳定范围渐近稳定范围渐近稳定范围渐近稳定的。此时，的。此时，的。此时，的。此时，S()。当。当。当。当t 时，时，时，时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于x xe e。3 3、大范围渐近稳定性、大范围渐近稳定性、大范围渐近稳定性、大范围渐近稳定性对于线性系统来说，如果平衡状态是渐近稳定的，对于线性系统来说，如果平衡状态是渐近稳定的，则必然也是大范围渐近稳定的。对于非线性系统，使则必然也是大范围渐近稳定的。对于非线性系统，使xe e为渐近稳定平衡状态的球域为渐近稳定平衡状态的球域S()一般是不大的，常一般是不大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。称这种平衡状态为小范围渐近稳定。13第13页，共46页，编辑于2022年，星期一大范围稳定大范围稳定大范围稳定大范围稳定局部稳定局部稳定局部稳定局部稳定几何意义几何意义几何意义几何意义14第14页，共46页，编辑于2022年，星期一定义：定义：定义：定义：如果对于某个实数如果对于某个实数如果对于某个实数如果对于某个实数 0和任一实数和任一实数 0，不，不管这两个实数多么小，在管这两个实数多么小，在S S()内总存在一个状态内总存在一个状态x0，使得由这一状态出发的轨迹超出使得由这一状态出发的轨迹超出S S()，则称平衡状态，则称平衡状态xe e是不稳定的。是不稳定的。是不稳定的。是不稳定的。4 4、不稳定性、不稳定性、不稳定性、不稳定性几何意义几何意义几何意义几何意义15第15页，共46页，编辑于2022年，星期一对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S()，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于不稳定，轨迹趋于不稳定，轨迹趋于不稳定，轨迹趋于S S()以外的平衡点。以外的平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。轨迹，理论上趋于无穷远。16第16页，共46页，编辑于2022年，星期一 如果如果 有界，则称有界，则称xe稳定；稳定；如果如果 不仅有界，而且当不仅有界，而且当t 时收敛于原点，时收敛于原点，则称则称xe渐近稳定；渐近稳定；如果如果 无界，则称无界，则称xe不稳定；不稳定；17第17页，共46页，编辑于2022年，星期一4.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法 一线性定常系统稳定性判定一线性定常系统稳定性判定一线性定常系统稳定性判定一线性定常系统稳定性判定（1 1）平衡状态）平衡状态）平衡状态）平衡状态x xe e是渐进稳定的充分必要条件是矩阵是渐进稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部；的所有特征值均具有负实部；（2 2）平衡状态）平衡状态）平衡状态）平衡状态x xe是不稳定的充分必要条件是矩阵是不稳定的充分必要条件是矩阵A存存在特征值具有正实部；在特征值具有正实部；（3）当系统用传递函数描述时，系统）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的稳定的充分必要条件为充分必要条件为G(s s)的极点具有负实部。的极点具有负实部。的极点具有负实部。的极点具有负实部。定理定理 线性定常系统线性定常系统18第18页，共46页，编辑于2022年，星期一例例 设系统的状态空间表达式为：设系统的状态空间表达式为：试分析系统平衡状态试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的的稳定性与系统的BIBO稳定稳定性。性。解：系统的特征方程为解：系统的特征方程为解：系统的特征方程为解：系统的特征方程为A A阵的特征值为阵的特征值为阵的特征值为阵的特征值为+1+1，-1-1。故系统平衡状态。故系统平衡状态。故系统平衡状态。故系统平衡状态x xe e是不稳定的。是不稳定的。系统传递函数系统传递函数系统传递函数系统传递函数传递函数极点位于传递函数极点位于s s左半平面，故系统是左半平面，故系统是左半平面，故系统是左半平面，故系统是BIBOBIBO稳定的。稳定的。稳定的。稳定的。19第19页，共46页，编辑于2022年，星期一BIBO稳定稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定结论：结论：结论：结论：1.1.线性定常系统是内部稳定的，则其必是线性定常系统是内部稳定的，则其必是线性定常系统是内部稳定的，则其必是线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBOBIBO稳稳稳稳定的；定的；定的；定的；2.2.线性定常系统是线性定常系统是线性定常系统是线性定常系统是BIBOBIBO稳定的，则不能保证系稳定的，则不能保证系稳定的，则不能保证系稳定的，则不能保证系统一定是渐近稳定的；统一定是渐近稳定的；统一定是渐近稳定的；统一定是渐近稳定的；3.3.如果线性定常系统既能控又能观测，则其内如果线性定常系统既能控又能观测，则其内如果线性定常系统既能控又能观测，则其内如果线性定常系统既能控又能观测，则其内部稳定性与外部稳定性是等价。部稳定性与外部稳定性是等价。部稳定性与外部稳定性是等价。部稳定性与外部稳定性是等价。BIBO稳定稳定渐近稳定渐近稳定20第20页，共46页，编辑于2022年，星期一二非线性系统的稳定性判定二非线性系统的稳定性判定二非线性系统的稳定性判定二非线性系统的稳定性判定对于非线性系统对于非线性系统对于非线性系统对于非线性系统 ，设，设，设，设x xe e为其平衡点。为其平衡点。为其平衡点。为其平衡点。对于可以线性化的非线性系统，可以在一定对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型来研究。条件下用它的线性化模型来研究。系统在平衡状态系统在平衡状态xe e附近的稳定性，可将非线性向附近的稳定性，可将非线性向量函数量函数 在在xe附近做泰勒级数展开，得附近做泰勒级数展开，得附近做泰勒级数展开，得附近做泰勒级数展开，得21第21页，共46页，编辑于2022年，星期一(1)A(1)A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态的所有特征值均具有负实部，则平衡状态的所有特征值均具有负实部，则平衡状态的所有特征值均具有负实部，则平衡状态x xe是渐是渐近稳定的；近稳定的；(2)A(2)A的特征值至少有一个具有正实部，则平衡状态的特征值至少有一个具有正实部，则平衡状态的特征值至少有一个具有正实部，则平衡状态的特征值至少有一个具有正实部，则平衡状态x xe e是是是是不稳定的。不稳定的。不稳定的。不稳定的。(3)A(3)A的特征值至少有一个实部为的特征值至少有一个实部为的特征值至少有一个实部为的特征值至少有一个实部为0 0，则不能根据，则不能根据，则不能根据，则不能根据A A来判来判来判来判平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态x xe的稳定性。的稳定性。李雅普诺夫给出以下结论：李雅普诺夫给出以下结论：22第22页，共46页，编辑于2022年，星期一例例例例4.2 4.2 已知非线性系统的状态空间表达已知非线性系统的状态空间表达已知非线性系统的状态空间表达已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统平衡状态的稳定性。式，试分析系统平衡状态的稳定性。式，试分析系统平衡状态的稳定性。式，试分析系统平衡状态的稳定性。解：系统有解：系统有解：系统有解：系统有2 2个平衡状态：个平衡状态：个平衡状态：个平衡状态：x xe1=0,0和和xe2e2=1,1在在在在x xe1=0,0处线性化，处线性化，A A1 1阵的特征值为阵的特征值为+1，-1。故系统在。故系统在xe1e1处是不稳定的。处是不稳定的。处是不稳定的。处是不稳定的。在在在在x xe2e2=1,1=1,1处线性化，处线性化，处线性化，处线性化，A2阵的特征值为阵的特征值为+j、-j，其实部为，其实部为0,不能根据不能根据A来来判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。23第23页，共46页，编辑于2022年，星期一李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函数是通过构造李雅普诺夫函数V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性方法。来直接判断运动稳定性的一种定性方法。根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态。推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态。李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，称为李雅李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，称为李雅普诺夫函数，记为普诺夫函数，记为V(x,t t)或或或或V(x)V(x)。李雅普诺夫第二法利用李雅普诺夫第二法利用李雅普诺夫第二法利用李雅普诺夫第二法利用V(x)V(x)和和和和 的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称无需求解系统状态方程的解，故称无需求解系统状态方程的解，故称无需求解系统状态方程的解，故称直接法直接法。4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法24第24页，共46页，编辑于2022年，星期一直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性系线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。尽的通用方法。尽管如此目前它仍然是研究系统管如此目前它仍然是研究系统(包括时变、非线性包括时变、非线性)稳稳定性的有力工具。定性的有力工具。对于线性系统，通常用对于线性系统，通常用对于线性系统，通常用对于线性系统，通常用二次型函数二次型函数V V(x)=x(x)=xTPx x作为李作为李作为李作为李雅普诺夫函数。雅普诺夫函数。雅普诺夫函数。雅普诺夫函数。25第25页，共46页，编辑于2022年，星期一1 1、二次型函数的定义及其表达式、二次型函数的定义及其表达式、二次型函数的定义及其表达式、二次型函数的定义及其表达式 定义定义定义定义：设：设 为为n n个变量，二次型标量函数个变量，二次型标量函数为为其中，其中，其中，其中，则称，则称，则称，则称P P为实对称阵。为实对称阵。为实对称阵。为实对称阵。一预备知识一预备知识26第26页，共46页，编辑于2022年，星期一例如：例如：例如：例如：显然，二次型显然，二次型V(x)完全由矩阵完全由矩阵P确定。因此二次型和它确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。的矩阵是相互唯一决定的。二次型的标准型二次型的标准型 只含有平方项的二次型。只含有平方项的二次型。只含有平方项的二次型。只含有平方项的二次型。27第27页，共46页，编辑于2022年，星期一 2 2、标量函数、标量函数、标量函数、标量函数V(x)的符号和性质的符号和性质设：设：，且，且V V(0)=0。对于任何非零向量。对于任何非零向量x V(x)0(x)0，称，称，称，称V(x)(x)为正定的。例如：为正定的。例如：为正定的。例如：为正定的。例如：V V(x)0(x)0或或V V(x)0(x)0，称，称，称，称V(x)为不定的。例如：为不定的。例如：28第28页，共46页，编辑于2022年，星期一设实对称矩阵设实对称矩阵设实对称矩阵设实对称矩阵 二次型函数二次型函数二次型函数二次型函数V V(x)=x(x)=xT TPx为正定的充要条件是，为正定的充要条件是，P阵阵的所有各阶主子行列式均大于零，即：的所有各阶主子行列式均大于零，即：即即即即:3 3、赛尔维斯特、赛尔维斯特、赛尔维斯特、赛尔维斯特(Sylvester)(Sylvester)准则准则准则准则29第29页，共46页，编辑于2022年，星期一、如果当、如果当 ，有，有 。二、李雅普诺夫第二法的判稳定理二、李雅普诺夫第二法的判稳定理二、李雅普诺夫第二法的判稳定理二、李雅普诺夫第二法的判稳定理1、系统渐近稳定的判别定理、系统渐近稳定的判别定理1定理定理定理定理1 1 设系统状态方程为设系统状态方程为设系统状态方程为设系统状态方程为:，其状态平衡点，其状态平衡点，其状态平衡点，其状态平衡点x xe=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续偏导数的。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数标量函数V(x,t)，且满足以下条件，且满足以下条件、V(x,t)是正定的；是正定的；、是负定的；是负定的；是负定的；是负定的；则系统在原点处的则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。平衡状态是渐近稳定的。平衡状态是渐近稳定的。平衡状态是渐近稳定的。则系统在原点处的则系统在原点处的则系统在原点处的则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。平衡状态是大范围渐近稳定的。30第30页，共46页，编辑于2022年，星期一而且，当而且，当 时，有时，有 ，所以系统在原点处的平，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。衡状态是大范围渐近稳定的。解：平衡状态解：平衡状态例例例例4.5 4.5 非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。是负定的，因此是负定的，因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。是一个李雅普诺夫函数。x xe=0(=0(即即即即x x1=0，x2 2=0)=0)选取正定标量函数选取正定标量函数则则31第31页，共46页，编辑于2022年，星期一、在在 时不恒等于零，则在系统原点处时不恒等于零，则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。的平衡状态是渐近稳定的。定理定理定理定理2 2 设系统状态方程为设系统状态方程为设系统状态方程为设系统状态方程为:，其状态平衡点，其状态平衡点，其状态平衡点，其状态平衡点x xe e=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续偏导数的标量。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数函数V V(x,(x,t)，且满足以下条件，且满足以下条件，且满足以下条件，且满足以下条件、V(x,t)V(x,t)是正定的；是正定的；是正定的；是正定的；、是负半定的；是负半定的；是负半定的；是负半定的；2、系统渐近稳定的判别定理、系统渐近稳定的判别定理2而且，当而且，当而且，当而且，当 时，有时，有时，有时，有 ，则系统在原点处的平衡状，则系统在原点处的平衡状，则系统在原点处的平衡状，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。态是大范围渐近稳定的。态是大范围渐近稳定的。态是大范围渐近稳定的。32第32页，共46页，编辑于2022年，星期一定理的运动分析：以二维空间为例定理的运动分析：以二维空间为例33第33页，共46页，编辑于2022年，星期一 例例例例4.6 4.6 非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。解：平衡状态解：平衡状态解：平衡状态解：平衡状态 x xe=0(=0(即即即即x x1 1=0，x2=0)=0)进一步分析进一步分析进一步分析进一步分析 的定号性：的定号性：的定号性：的定号性：如果假设如果假设如果假设如果假设 ，必然要求，必然要求，必然要求，必然要求 ，进一步要求，进一步要求，进一步要求，进一步要求 。但从。但从。但从。但从状态方程状态方程状态方程状态方程 可知，必满足可知，必满足可知，必满足可知，必满足 表明表明表明表明 只可能在原点处恒等于零。只可能在原点处恒等于零。只可能在原点处恒等于零。只可能在原点处恒等于零。渐近稳定。渐近稳定。渐近稳定。渐近稳定。选取正定标量函数选取正定标量函数则则则则或或 时，时，负半定。负半定。而且，当而且，当而且，当而且，当 时，有时，有时，有时，有 ，所以系统在原点处的平衡，所以系统在原点处的平衡，所以系统在原点处的平衡，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。状态是大范围渐近稳定的。状态是大范围渐近稳定的。状态是大范围渐近稳定的。当当 34第34页，共46页，编辑于2022年，星期一若在该例中若在该例中选取正定标量函数为选取正定标量函数为选取正定标量函数为选取正定标量函数为负定负定则则则则由以上分析看出，选取不同的由以上分析看出，选取不同的由以上分析看出，选取不同的由以上分析看出，选取不同的V(x)V(x)，可能使问题分析采，可能使问题分析采，可能使问题分析采，可能使问题分析采用不同的判别定理。用不同的判别定理。用不同的判别定理。用不同的判别定理。而且，当而且，当而且，当而且，当 时，有时，有时，有时，有 ，所以系统在原点处的平衡，所以系统在原点处的平衡，所以系统在原点处的平衡，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。状态是大范围渐近稳定的。状态是大范围渐近稳定的。状态是大范围渐近稳定的。35第35页，共46页，编辑于2022年，星期一、V(x,t)V(x,t)是正定的；是正定的；是正定的；是正定的；、是负半定的，且是负半定的，且是负半定的，且是负半定的，且 时，时，时，时，。则系统在原点处的平衡状则系统在原点处的平衡状则系统在原点处的平衡状则系统在原点处的平衡状态是态是态是态是李雅普诺夫意义下稳李雅普诺夫意义下稳李雅普诺夫意义下稳李雅普诺夫意义下稳定定定定的，但不是渐近稳定的，但不是渐近稳定的。这时系统可保持在的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状一个稳定的等幅振荡状态上。态上。3、系统李氏稳定的判别定理、系统李氏稳定的判别定理定理定理定理定理3 3 设系统状态方程为设系统状态方程为:，其状态平衡点，其状态平衡点xe e=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续偏导数的。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数标量函数V(x,t t)，且满足以下条件，且满足以下条件，且满足以下条件，且满足以下条件36第36页，共46页，编辑于2022年，星期一 例例4.7 非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。选取正定标量函数为选取正定标量函数为由上式可见，由上式可见，则系统在原点处的平衡状，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐近稳定的。态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐近稳定的。解：平衡状态解：平衡状态解：平衡状态解：平衡状态 x xe=0(=0(即即即即x x1 1=0，x2=0)=0)则则37第37页，共46页，编辑于2022年，星期一则系统在原点处的平衡状态是则系统在原点处的平衡状态是则系统在原点处的平衡状态是则系统在原点处的平衡状态是不稳定不稳定的。的。的。的。4 4、系统不稳定的判别定理、系统不稳定的判别定理、系统不稳定的判别定理、系统不稳定的判别定理定理定理定理定理4 4 设系统状态方程为设系统状态方程为设系统状态方程为设系统状态方程为:，其状态平衡点，其状态平衡点，其状态平衡点，其状态平衡点x xe e=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续偏导数的。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数标量函数V V(x,(x,t)，且满足以下条件，且满足以下条件，且满足以下条件，且满足以下条件、V(x,t)V(x,t)是正定的；是正定的；是正定的；是正定的；、是正定的；是正定的；是正定的；是正定的；38第38页，共46页，编辑于2022年，星期一选取正定标量函数为选取正定标量函数为 ，则，则 例例例例4.8 4.8 非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。系统不稳定。系统不稳定。系统不稳定。系统不稳定。解：平衡状态解：平衡状态 xe e=0(即即x1 1=0，x2=0)=0)39第39页，共46页，编辑于2022年，星期一四个定理的区别，主要集中在对于定号性判别上，四个定理的区别，主要集中在对于定号性判别上，四个定理的区别，主要集中在对于定号性判别上，四个定理的区别，主要集中在对于定号性判别上，可以简述为以下过程：可以简述为以下过程：可以简述为以下过程：可以简述为以下过程：定理定理定理定理1 1：且且且且 ()()可知系统可知系统可知系统可知系统构造构造构造构造V V函数函数函数函数充分条件充分条件充分条件充分条件稳定性稳定性稳定性稳定性渐近稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定不稳定不稳定不稳定不稳定李氏稳定李氏稳定李氏稳定李氏稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定定理定理定理定理2 2：定理定理定理定理3 3：定理定理定理定理4 4：40第40页，共46页，编辑于2022年，星期一在定理的应用中，要注意以下几点：在定理的应用中，要注意以下几点：在定理的应用中，要注意以下几点：在定理的应用中，要注意以下几点：(1)(1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键。李氏函数具有几个突出性质：关键。李氏函数具有几个突出性质：关键。李氏函数具有几个突出性质：关键。李氏函数具有几个突出性质：1)1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。李雅普诺夫函数是一个标量函数。李雅普诺夫函数是一个标量函数。李雅普诺夫函数是一个标量函数。2)2)李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。域是如此。域是如此。域是如此。3)对于给定系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。对于给定系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。(2)(2)如果在包含状态空间原点在内的邻域如果在包含状态空间原点在内的邻域如果在包含状态空间原点在内的邻域如果在包含状态空间原点在内的邻域内，可以找内，可以找内，可以找内，可以找到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点的到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点的到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点的到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从邻域邻域邻域邻域外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为李雅普外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为李雅普外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为李雅普外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为李雅普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分条件。诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分条件。诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分条件。诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分条件。41第41页，共46页，编辑于2022年，星期一4.4 线性系统稳定性分析线性系统稳定性分析 一、线性定常系统渐近稳定性的判别一、线性定常系统渐近稳定性的判别一、线性定常系统渐近稳定性的判别一、线性定常系统渐近稳定性的判别1 1、渐近稳定性的判别方法、渐近稳定性的判别方法、渐近稳定性的判别方法、渐近稳定性的判别方法定理定理 设线性定常连续系统为设线性定常连续系统为 ，则平衡状态，则平衡状态xe e=0=0为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定实对称矩阵个正定实对称矩阵个正定实对称矩阵个正定实对称矩阵QQ，必存在一个惟一正定的实对称矩，必存在一个惟一正定的实对称矩，必存在一个惟一正定的实对称矩，必存在一个惟一正定的实对称矩阵阵阵阵P P，且满足李雅普诺夫方程，且满足李雅普诺夫方程，且满足李雅普诺夫方程，且满足李雅普诺夫方程并且并且 是系统的李雅普诺夫函数。是系统的李雅普诺夫函数。42第42页，共46页，编辑于2022年，星期一 定理说明：定理说明：、如果任取的一个正定实对称矩阵、如果任取的一个正定实对称矩阵Q，则满足，则满足矩阵矩阵的实对称矩阵的实对称矩阵P是惟一的，若是惟一的，若P正定，则系统在平衡正定，则系统在平衡状态状态xe e=0为大范围渐近稳定的。为大范围渐近稳定的。P的正定性是一个的正定性是一个充分必要条件。充分必要条件。、为计算简便，在选取正定实对称矩阵、为计算简便，在选取正定实对称矩阵Q时时选单位阵选单位阵I，于是方程简化为：，于是方程简化为：43第43页，共46页，编辑于2022年，星期一2 2、V(x)(x)的求法的求法的求法的求法试判别该系统的稳定性试判别该系统的稳定性试判别该系统的稳定性试判别该系统的稳定性(其平衡状态为其平衡状态为其平衡状态为其平衡状态为x xe e=0)=0)。解：为了便于对比，先用李氏第一法判断。解：为了便于对比，先用李氏第一法判断。解：为了便于对比，先用李氏第一法判断。解：为了便于对比，先用李氏第一法判断。系统是渐近稳定的。系统是渐近稳定的。例例4.9 设线性定常系统为设线性定常系统为:44第44页，共46页，编辑于2022年，星期一李氏第二法。李氏第二法。李氏第二法。李氏第二法。设设李雅普诺夫函数为：李雅普诺夫函数为：李雅普诺夫函数为：李雅普诺夫函数为：则有：则有：则有：则有：展开有：展开有：展开有：展开有：正定正定故系统是渐近稳定的。故系统是渐近稳定的。令令：解得：解得：45第45页，共46页，编辑于2022年，星期一作业：作业：作业：作业：4.1、4.2、4.5、4.646第46页，共46页，编辑于2022年，星期一