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线性控制系统的运动分析2022/10/52022/10/51 1第1页，共41页，编辑于2022年，星期一 预备知识预备知识预备知识预备知识 ：线性定常系统的运动：线性定常系统的运动：线性定常系统的运动：线性定常系统的运动1 1、自由运动、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解齐次状态方程的解：2 2、强迫运动：、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。非齐次状态方程的解：非齐次状态方程的解：2022/10/52022/10/52 2第2页，共41页，编辑于2022年，星期一第一节第一节 线性定常齐次状态方线性定常齐次状态方程的解程的解2022/10/52022/10/53 3第3页，共41页，编辑于2022年，星期一满足初始状态 的解是：一、直接求解：一、直接求解：一、直接求解：一、直接求解：1、标量齐次微分方程：满足初始状态 的解是：满足初始状态 的解是：2、齐次状态方程其中：定义为矩阵指数函数，和A一样也是nn阶方阵 线性定常齐次状态方程的求解方法线性定常齐次状态方程的求解方法：直接求解，拉氏变化求解：直接求解，拉氏变化求解2022/10/52022/10/54 4第4页，共41页，编辑于2022年，星期一求解过程求解过程：仿标量方程求解将式(4)代入式(1)，即可得到通解为：（5）式(3)左右两边t的同次幂的系数两两相等得：（4）(1)(2)代入状态方程得：（3）设齐次状态方程的解为当 时，由上式可得 此处（1）式(1)左右求导得：（2）标量齐次状态方程2022/10/52022/10/55 5第5页，共41页，编辑于2022年，星期一二、拉氏变换求解：二、拉氏变换求解：两边取拉氏变换得：整理得：齐次状态方程：初始状态为：与直接求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：仿标量系统得：拉氏反变换得：（6）本节小结本节小结：2022/10/52022/10/56 6第6页，共41页，编辑于2022年，星期一第二节第二节 矩阵指数函数的性质矩阵指数函数的性质和计算方法和计算方法2022/10/52022/10/57 7第7页，共41页，编辑于2022年，星期一一、矩阵指数函数的性质：一、矩阵指数函数的性质：一、矩阵指数函数的性质：一、矩阵指数函数的性质：2、证明证明：矩阵指数函数定义中，令t0即可得证3、总是非奇异的，必有逆存在，且：证明证明：1、设A为nn阶矩阵，t1为t2两个独立自变量，则有：证明证明：根据定义证明2022/10/52022/10/58 8第8页，共41页，编辑于2022年，星期一5、对 有：4、对于nn阶方阵A和B：如果A和B可交换，即AB=BA，则 如果A和B不可交换，即AB BA，则6、如果P是非奇异阵，即 存在，则必有：证明证明：根据定义证和 注意注意：用途用途：此性质经常用于计算2022/10/52022/10/59 9第9页，共41页，编辑于2022年，星期一7、如果A是nn阶对角阵，则 也是nn阶对角阵：则有：如果：证明证明：根据定义证2022/10/52022/10/51010第10页，共41页，编辑于2022年，星期一8、如果 是mm阶的约当块：则有：证明证明：略。根据定义证。2022/10/52022/10/51111第11页，共41页，编辑于2022年，星期一其中 是约当块其中 是对应约当块 的矩阵指数函数。9、当A是约当矩阵时：则有：例如例如：2022/10/52022/10/51212第12页，共41页，编辑于2022年，星期一二、矩阵指数函数的计算二、矩阵指数函数的计算二、矩阵指数函数的计算二、矩阵指数函数的计算：直接求解法：根据定义 拉氏变换求解：标准型法求解：对角线标准型和约当标准型非奇异变换 待定系数法：凯莱哈密顿（简称C-H）定理求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。1 1、根据矩阵指数函数的定义求解：根据矩阵指数函数的定义求解：对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 2022/10/52022/10/51313第13页，共41页，编辑于2022年，星期一2 2、用拉氏变换法求解：、用拉氏变换法求解：关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。3 3、标准型法求解标准型法求解：思路思路：根据矩阵指数函数性质6：对A进行非奇异线性变换，得到：联立上两式，得到：有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵2022/10/52022/10/51414第14页，共41页，编辑于2022年，星期一其中：P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。（1）当A的特征值 为两两相异时：对角线标准型对角线标准型对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤：对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤：1）先求得A阵的特征值 。2）求对应于 的特征向量 ，并得到P阵及P的逆阵。3）代入上式即可得到矩阵指数函数的值。2022/10/52022/10/51515第15页，共41页，编辑于2022年，星期一（2）当A具有n重特征根 ：约当标准型约当标准型 其中：Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。约当标准型法求矩阵指数函数的步骤约当标准型法求矩阵指数函数的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵Q。说明：对于所有重特征值 ，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9，求得 。2022/10/52022/10/51616第16页，共41页，编辑于2022年，星期一4 4、待定系数法、待定系数法：将 化为A的有限项多项式来求解：说明说明：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。设nn维矩阵A的特征方程为：（1 1）凯莱哈密顿（以下简称）凯莱哈密顿（以下简称C-HC-H）定理：定理：则矩阵A满足其自身的特征方程，即：2022/10/52022/10/51717第17页，共41页，编辑于2022年，星期一由定理知由定理知：A所有高于(n-1)次幂都可由A的0(n-1)次幂线性表出。并令 即可得到如下的结论结论：即：将此式代入 的定义中：其中：为t的标量函数，可按A的特征值确定。（2 2）将）将 化为化为A A的有限项多项式来求解的有限项多项式来求解根据C-H定理，可将 化为A的有限项表达式，即封闭形式：2022/10/52022/10/51818第18页，共41页，编辑于2022年，星期一1）A的特征值 两两相异时，注意求逆推导推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。注意注意：推导时可看到：2022/10/52022/10/51919第19页，共41页，编辑于2022年，星期一注意求逆2）A的特征值为 (n重根）推导推导：此时只有一个方程：缺少n-1个独立方程，对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程说明说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。特征值互异时，对于每个特征值，直接得到方程(3)；特征值为n重根时，则式(3)针对 求导n-1次，补充缺少的n-1个方程。联立求出系数。2022/10/52022/10/52020第20页，共41页，编辑于2022年，星期一 例例：求以下矩阵A的矩阵指数函数 解解：1）用第一种方法定义求解：(略）2）用第二种方法拉氏变换法求解：2022/10/52022/10/52121第21页，共41页，编辑于2022年，星期一3）用第三种方法标准型法求解：得：，具有互异特征根，用对角线标准型法。且A为友矩阵形式。先求特征值：2022/10/52022/10/52222第22页，共41页，编辑于2022年，星期一2022/10/52022/10/52323第23页，共41页，编辑于2022年，星期一 4）用第四种方法待定系数法求解.在第3种方法中已经求得特征根，所以得：求得矩阵指数函数如下：2022/10/52022/10/52424第24页，共41页，编辑于2022年，星期一或者或者：由 和 得到：从而求出系数2022/10/52022/10/52525第25页，共41页，编辑于2022年，星期一 例例：求以下矩阵A的矩阵指数函数分析：分析：用CH定理求解先求特征值：求得：当 时，有当 （二重根）时，有上式对 求导1次，得到另一个方程：2022/10/52022/10/52626第26页，共41页，编辑于2022年，星期一得到方程组：写成矩阵形式为：整理得：2022/10/52022/10/52727第27页，共41页，编辑于2022年，星期一可以求出：所以：可以求出矩阵指数函数。本节小结本节小结：矩阵指数函数的：矩阵指数函数的9 9个性质，个性质，4 4种计算方法种计算方法2022/10/52022/10/52828第28页，共41页，编辑于2022年，星期一第三节第三节 状态转移矩阵状态转移矩阵2022/10/52022/10/52929第29页，共41页，编辑于2022年，星期一一、线性定常系统的状态转移矩阵一、线性定常系统的状态转移矩阵一、线性定常系统的状态转移矩阵一、线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的齐次状态方程：满足初始状态 的解是：满足初始状态 的解是：已知已知：线性定常系统的状态转移矩阵令：则有：2022/10/52022/10/53030第30页，共41页，编辑于2022年，星期一说明说明1 1：状态转移矩阵须满足以下条件，否则不是状态转移矩阵1）状态转移矩阵初始条件：2）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明说明2 2：线性定常系统的状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身说明说明3 3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵2022/10/52022/10/53131第31页，共41页，编辑于2022年，星期一二、状态转移矩阵的性质二、状态转移矩阵的性质二、状态转移矩阵的性质二、状态转移矩阵的性质1、对于线性定常系统：说说明明：此性质的含义是，从t0到t0的转移，相当于不转移，转移后的状态转移矩阵仍是它自己。不变性2、对于线性定常系统：3、对于线性定常系统：传递性说明说明：此性质表明，从t0到t2的转移可以分为两步：先从t0转移到t1，再从t1转移到t2。2022/10/52022/10/53232第32页，共41页，编辑于2022年，星期一4、对于线性定常系统：可逆性说明说明：此性质表明，状态转移过程在时间上可以逆转。说明说明：由性质1、3证明5、对于线性定常系统：分解性说明说明：由 去证明。6、对于线性定常系统：2022/10/52022/10/53333第33页，共41页，编辑于2022年，星期一三、与状态转移矩阵相关的问题三、与状态转移矩阵相关的问题三、与状态转移矩阵相关的问题三、与状态转移矩阵相关的问题1、已知齐次状态方程的解，求状态转移矩阵已知齐次状态方程的解，求状态转移矩阵：方法是利用 直接求解。2、利用矩阵指数函数的求解方法求状态转移矩阵利用矩阵指数函数的求解方法求状态转移矩阵。由 可得 3、已知状态转移矩阵，求系统矩阵已知状态转移矩阵，求系统矩阵A A阵阵说明说明：利用状态转移矩阵性质2求4、已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态。本节小结本节小结：2022/10/52022/10/53434第34页，共41页，编辑于2022年，星期一例已知某二阶系统齐次状态方程为：，其解为：试求状态转移矩阵 。解：设 ，则：则有：所以：2022/10/52022/10/53535第35页，共41页，编辑于2022年，星期一第四节第四节 线性定常非齐次状态线性定常非齐次状态方程的解方程的解2022/10/52022/10/53636第36页，共41页，编辑于2022年，星期一若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：一、直接求解法一、直接求解法一、直接求解法一、直接求解法初始状态引起的响应，零输入响应初始状态引起的响应，零输入响应输入引起的响应输入引起的响应,零状态响应零状态响应说明说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。2022/10/52022/10/53737第37页，共41页，编辑于2022年，星期一 证证：1）先把状态方程 写成3）对上式在 区间内进行积分，得:直接求解法的关键：求状态转移矩阵或矩阵指数函数2）两边左乘 ，再利用 的性质2022/10/52022/10/53838第38页，共41页，编辑于2022年，星期一对非齐次状态方程 两边进行拉氏变换得：二、拉氏变换求解法二、拉氏变换求解法二、拉氏变换求解法二、拉氏变换求解法整理得：结论：例例：已知状态方程为：其初始状态为：求系统在单位阶跃输入作用下状态方程的解。2022/10/52022/10/53939第39页，共41页，编辑于2022年，星期一 解解：1）直接求解：(作为课后练习）2）拉氏变换法求解：先求先求由于：所以：2022/10/52022/10/54040第40页，共41页，编辑于2022年，星期一拉氏反变换得方程解为：本节小结本节小结：定常、时变系统状态转移矩阵，性质，求解方法可以得到：阶跃响应拉氏变换：2022/10/52022/10/54141第41页，共41页，编辑于2022年，星期一