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线面面面垂直第1页，共34页，编辑于2022年，星期一直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质【2014年高考会这样考年高考会这样考】1以以锥锥体、柱体体、柱体为载为载体考体考查线查线面垂直的判定考面垂直的判定考查查空空间间想象想象 能力、能力、逻辑逻辑思思维维能力，考能力，考查转查转化与化化与化归归思想的思想的应应用能力用能力2能以立体几何中的定能以立体几何中的定义义、公理和定理、公理和定理为为出出发发点，运用公点，运用公 理、定理和已理、定理和已获获得的得的结论结论，证证明一些有关空明一些有关空间间中中线线面垂直面垂直 的有关性的有关性质质和判定定理的和判定定理的简单简单命命题题第2页，共34页，编辑于2022年，星期一考点梳理考点梳理(1)定定义义：若直：若直线线l与平面与平面内的内的_一条直一条直线线都垂直，都垂直，则则直直线线l与平与平面面垂直垂直(2)判定定理：一条直判定定理：一条直线线与一个平面内的两条与一个平面内的两条_直直线线都垂直，都垂直，则该则该直直线线与此平面垂直与此平面垂直(线线线线垂直垂直线线面垂直面垂直)即：即：a，b，la，lb，abP _.(3)性性质质定理：垂直于同一个平面的两条直定理：垂直于同一个平面的两条直线线_即：即：a，b _.1直线与平面垂直直线与平面垂直任意任意相交相交l平行平行ab第3页，共34页，编辑于2022年，星期一(1)定定义义：两个平面相交，如果它：两个平面相交，如果它们们所成的二面角是直二所成的二面角是直二面角，就面角，就说这说这两个平面互相垂直两个平面互相垂直(2)判定定理：一个平面判定定理：一个平面过过另一个平面的另一个平面的_，则这则这两个两个平面垂直即：平面垂直即：a，a _.(3)性性质质定理：两个平面垂直，定理：两个平面垂直，则则一个平面内垂直于一个平面内垂直于_的直的直线线与另一个平面与另一个平面_即：即：，a，b，ab _.2平面与平面垂直平面与平面垂直垂垂线线垂直垂直a交交线线第4页，共34页，编辑于2022年，星期一【助学助学微博微博】一个转化一个转化垂直问题的转化关系垂直问题的转化关系第5页，共34页，编辑于2022年，星期一四种方法四种方法证明线面垂直的方法：判定定理、平行线垂直平面的传递性证明线面垂直的方法：判定定理、平行线垂直平面的传递性(ab，ba)、面面垂直的性质定理、面面平行的性质、面面垂直的性质定理、面面平行的性质(a，a)第6页，共34页，编辑于2022年，星期一Alm BlmClm Dlm解析解析由由lm，lm，又，又m，m一定平行于一定平行于内的一条内的一条直线直线b.b，.答案答案D考点自测考点自测1已知直已知直线线l，直，直线线m，下列命，下列命题题中正确的是中正确的是 ()第7页，共34页，编辑于2022年，星期一m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.其中真命其中真命题题的是的是()A B C D解析解析中，由中，由n，得得n或或n，又，又m，mn，故故正确；正确；中，可能中，可能n，故，故错误；错误；中，直线中，直线n可能与可能与平面平面斜交或平行，也可能在平面斜交或平行，也可能在平面内，故内，故错；错；中，由中，由mn，m，可得，可得n，又，又可得可得n，故，故正确正确答案答案B2m、n是空是空间间中两条不同直中两条不同直线线，、是两个不同平面，下面有四是两个不同平面，下面有四个命个命题题：第8页，共34页，编辑于2022年，星期一A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析若若，又，又m，b，bm，根据两个平面垂直的，根据两个平面垂直的性质定理可得性质定理可得b，又因为，又因为a，所以，所以ab；反过来，当；反过来，当am时，时，因为因为bm，一定有，一定有ba，但不能保证，但不能保证b，即不能推出，即不能推出.答案答案A3(2012安徽安徽)设设平面平面与平面与平面相交于直相交于直线线m，直，直线线a在平面在平面内，内，直直线线b在平面在平面内，且内，且bm，则则“”是是“ab”的的 ()第9页，共34页，编辑于2022年，星期一解析解析由线面垂直知，图中直角三角形为由线面垂直知，图中直角三角形为4个个答案答案44.如如图图，已知，已知PA平面平面ABC，BCAC，则图则图中中直角三角形的个数直角三角形的个数为为_第10页，共34页，编辑于2022年，星期一考向一直线与平面垂直的判定与性质考向一直线与平面垂直的判定与性质第11页，共34页，编辑于2022年，星期一 审题视点审题视点(1)由由PHAD及及AB平面平面PAD可证；可证；(2)以以AD为为BCF的高，而点的高，而点E到平面到平面BCF的距离可借助的距离可借助PH垂直底面垂直底面ABCD求得；求得；(3)取取PA的中点的中点M，可证，可证DM綉綉FE，且，且DM平面平面PAB，从而，从而得证得证(1)证明证明因因为为AB平面平面PAD，PH平面平面PAD，所以所以PHAB.因因为为PH为为PAD中中AD边边上的高，所以上的高，所以PHAD.又又ABADA，AB，AD平面平面ABCD，所以所以PH平面平面ABCD.第12页，共34页，编辑于2022年，星期一第13页，共34页，编辑于2022年，星期一第14页，共34页，编辑于2022年，星期一 线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直推证线线垂直时途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件三角形全等、等腰梯形底边上的注意分析几何图形，寻找隐含条件三角形全等、等腰梯形底边上的中线、高、勾股定理等都是找线线垂直的方法中线、高、勾股定理等都是找线线垂直的方法第15页，共34页，编辑于2022年，星期一【训练训练1】如如图图，已知，已知BD平面平面ABC，ACBC，N是棱是棱AB的中点求的中点求证证：CNAD.证明证明BD平面平面ABC，CN平面平面ABC，BDCN.又又ACBC，N是是AB的中点的中点CNAB.又又BDABB，CN平面平面ABD.而而AD平面平面ABD，CNAD.第16页，共34页，编辑于2022年，星期一【例例2】如如图图所示，在所示，在长长方体方体ABCDA1B1C1D1中，中，ABAD1，AA12，M是是棱棱CC1的中点的中点证证明：平面明：平面ABM平面平面A1B1M.考向二平面与平面垂直的判定与性质考向二平面与平面垂直的判定与性质审题视点审题视点 考虑先证明直线考虑先证明直线BM平面平面A1B1M，则由面面垂直的判定定理可得平，则由面面垂直的判定定理可得平面面ABMA1B1M.第17页，共34页，编辑于2022年，星期一第18页，共34页，编辑于2022年，星期一 证明面面垂直的方法有：一是定义法，即证明证明面面垂直的方法有：一是定义法，即证明两个平面的二面角为直二面角；二是用判定定理，即证明两个平面的二面角为直二面角；二是用判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，也就是把一个平面经过另一个平面的一条垂线，也就是把“面面垂直面面垂直”问题转化为问题转化为“线面垂直线面垂直”问题，又将问题，又将“线面垂直线面垂直”问题进一步问题进一步转化为转化为“线线垂直线线垂直”问题问题第19页，共34页，编辑于2022年，星期一【训练训练2】在如在如图图所示的几何体中，正方形所示的几何体中，正方形ABCD和矩形和矩形ABEF所在的平面互相垂直，所在的平面互相垂直，M为为AF的的中点，中点，BNCE.(1)求求证证：CF平面平面MBD；(2)求求证证：CF平面平面BDN.第20页，共34页，编辑于2022年，星期一证明证明(1)连连接接AC交交BD于点于点O，连连接接OM.因因为为四四边边形形ABCD是正方形，是正方形，所以所以O为为AC的中点的中点因因为为M为为AF的中点，所以的中点，所以FCMO.又因又因为为MO平面平面MBD，FC 平面平面MBD，所以，所以FC平面平面MBD.(2)因因为为正方形正方形ABCD和矩形和矩形ABEF所所在的平面互相垂直，在的平面互相垂直，所以所以AF平面平面ABCD.又又BD平面平面ABCD，所以，所以AFBD.又因又因为为四四边边形形ABCD是正方形，所以是正方形，所以ACBD.因因为为ACAFA，所以，所以BD平面平面ACF，因因为为FC平面平面ACF，所以，所以FCBD.因因为为ABBC，ABBE，BCBEB，所以，所以AB平面平面BCE.第21页，共34页，编辑于2022年，星期一因因为为BN平面平面BCE，所以，所以ABBN.易知易知EFAB，所以，所以EFBN.又因又因为为ECBN，EFECE，所以，所以BN平面平面CEF.因因为为FC平面平面CEF，所以，所以BNCF.因因为为BDBNB，所以，所以CF平面平面BDN.第22页，共34页，编辑于2022年，星期一(1)设设M是是PC上的一点，求上的一点，求证证：平面平面MBD平面平面PAD；(2)求四棱求四棱锥锥PABCD的体的体积积考向三垂直关系的综合应用考向三垂直关系的综合应用第23页，共34页，编辑于2022年，星期一审题视点审题视点(1)因为两平面垂直与因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明，考虑证明BD平面平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形，高为四棱锥底面为一梯形，高为P到面到面ABCD的距离的距离第24页，共34页，编辑于2022年，星期一第25页，共34页，编辑于2022年，星期一 (1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化线、线面、面面垂直间的转化(2)对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂直得到对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积表示高的线段，进而求得体积第26页，共34页，编辑于2022年，星期一【训练训练3】(2012江苏江苏)如如图图，在直三棱柱，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，A1B1A1C1，D，E分分别别是棱是棱BC，CC1上的点上的点(点点D不同于点不同于点C)，且，且ADDE，F为为B1C1的的中点中点求求证证：(1)平面平面ADE平面平面BCC1B1；(2)直直线线A1F平面平面ADE.第27页，共34页，编辑于2022年，星期一证明证明(1)因因为为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以是直三棱柱，所以CC1平面平面ABC.又又AD平面平面ABC，所以，所以CC1AD.又因又因为为ADDE，CC1，DE平面平面BCC1B1，CC1DEE，所以所以AD平面平面BCC1B1.又又AD平面平面ADE，所以平面，所以平面ADE平面平面BCC1B1.(2)因因为为A1B1A1C1，F为为B1C1的中点，所以的中点，所以A1FB1C1.因因为为CC1平面平面A1B1C1，且，且A1F平面平面A1B1C1，所以所以CC1A1F.又因又因为为CC1，B1C1平面平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以所以A1F平面平面BCC1B1.由由(1)知知AD平面平面BCC1B1，所以，所以A1FAD.又又AD平面平面ADE，A1F 平面平面ADE，所以直所以直线线A1F平面平面ADE.第28页，共34页，编辑于2022年，星期一【命题研究命题研究】通通过过分析近几年各省市的高考分析近几年各省市的高考试题试题可以看出，高考可以看出，高考对线对线面垂直、面面垂直的判定和性面垂直、面面垂直的判定和性质质的考的考查查每年都有，主要以每年都有，主要以解答解答题题形式出形式出现现，考，考查线查线面位置关系的相互面位置关系的相互转转化，化，难难度适中度适中垂直关系综合问题的规范解答垂直关系综合问题的规范解答第29页，共34页，编辑于2022年，星期一(1)证证明：明：PQ平面平面DCQ；(2)求棱求棱锥锥QABCD的体的体积积与棱与棱锥锥PDCQ的体的体积积的比的比值值教你审题教你审题(1)证明证明PQDC，PQQD，进而可得，进而可得PQ平面平面DCQ；(2)设出正方形的边长为设出正方形的边长为a，分别计算两个棱锥的体积，再求体，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值积的比值第30页，共34页，编辑于2022年，星期一【试一试试一试】(2013烟台一模烟台一模)如如图图，在梯形，在梯形ABCD中，中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四，四边边形形ACFE为为矩形，矩形，平面平面ACFE平面平面ABCD，CF1.(1)求求证证：BC平面平面ACFE；(2)点点M在在线线段段EF上运上运动动，设设平面平面MAB与平面与平面FCB所成二面角所成二面角的平面角的平面角为为(90)，试试求求cos 的取的取值值范范围围第31页，共34页，编辑于2022年，星期一第32页，共34页，编辑于2022年，星期一第33页，共34页，编辑于2022年，星期一第34页，共34页，编辑于2022年，星期一