中考数学复习专题：二次函数综合运用.doc

二次函数的综合运用1、(2013·重庆B卷25题)如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由 1、分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点（1，0）；（2）a=1时，先由对称轴为直线x=-1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x-3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x-3），根据SPOC=4SBOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标（4，21）或（-4，5）；先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，再设Q点坐标为（x，-x-3），则D点坐标为（x，x2+2x-3），然后用含x的代数式表示QD=2、（2011丹东）己知：二次函数（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2-4x-12=0的两个根（1）请直接写出点A、点B的坐标（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）过点Q作QDAC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当CDQ面积S最大时，求m的值 2、分析：（1）A（-2，0），B（6，0）；（2），顶点坐标（2，8）；（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C，连接ACy=x+2，交抛物线对称轴于P点（2,4）；（4）由DQAC得BDQBCA，利用相似比表示BDQ的面积，利用三角形面积公式表示ACQ的面积，根据SCDQ=SABC-SBDQ-SACQ=3、（2013珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（-1，-1-m）（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；（2）把OAD沿直线OD折叠后点A落在点A处，连接OA并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标 3、（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，y=-x2+2mx+m；（2）设AD与x轴交于点M，过点A作ANx轴于点N根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则AM=2m-x，OA=m，在RtOAM中运用勾股定理求出x，得出A点坐标，运用待定系数法得到直线OA的解析式，确定E点坐标（4m，-3m），根据抛物线l与线段CE相交，（4m，-8m2+m）列出关于m的不等式组，求出解集即可；（3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解p4、（2013舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD作AEx轴，DEy轴（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，与第（3）题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？ 4、（1）点B的坐标为（0，2）；（2）延长EA，交y轴于点F，证出AFCAED，进而证出ABFDAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）根据点A和点B的坐标，得到x=2m，将代入，即可求出二次函数的表达式；作PQDE于点Q，则DPQBAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答m的值为8或-85、（2013张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 5、（1）y=-x+1；（2）；（3）关键是证明CEQ与CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，则PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF的周长最小如答图所示，利用勾股定理求出线段CC的长度，即PCF周长的最小值6、（2013增城市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点（1）写出点C的坐标；（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且APD=ACB，求点P的坐标 6、（1）由直线y=-x+3可求出C点坐标C（0，3）；（2）由B，C两点坐标便可求出抛物线方程y=x2-4x+3，从而求出抛物线的对称轴x=2和A（1，0）（3）作出辅助线OE，由三角形的两个角相等，证明AECAFP，根据两边成比例，便可求出PF=2，从而求出P点坐标点P的坐标为（2，2）或（2，-2）7、（2013新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求ACE的最大面积及E点的坐标 7、（1）y=x2-4x+3；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式y=x-1，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D（2,1）；（3）根据直线AC的解析式y=x+m，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式=0时，ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线y=x，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解面积,F坐标 8、（2013安顺）如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标 8、分析：（1）由于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可y=-x2+2x+3（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答（2，3）9、（12分）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.解：（1）二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1-2分二次函数的解析式为 -3分（2）设点D的坐标为（m，0） （0m2） OD=m AD=2-m由ADEAOC得， -4分DE=-5分CDE的面积=××m=当m=1时，CDE的面积最大点D的坐标为（1，0）-8分（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为设y=0则 解得：x1=2 x2=1点B的坐标为（1，0） C（0，1）设直线BC的解析式为：y=kxb 解得：k=-1 b=-1直线BC的解析式为: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=点B(1,0) 点C（0，1）OB=OC BCO=450当以点C为顶点且PC=AC=时，设P(k, k1)过点P作PHy轴于HHCP=BCO=450CH=PH=k 在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）-10分以A为顶点，即AC=AP=设P(k, k1)过点P作PGx轴于GAG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2（2k)2+(k1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)P3(1, 2) -11分以P为顶点，PC=AP设P(k, k1)过点P作PQy轴于点QPLx轴于点LL(k,0)QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=kAL=k-2, PL=k1在RtPLA中(k)2=(k2)2(k1)2解得：k=P4(,) -12分10、（本题满分12分）已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线OEBC交抛物线的对称轴于点E求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由（1）求出：，抛物线的对称轴为：x=2 (2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BEOBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），BOE= OBD= OEBD四边形ODBE是梯形 5分在和中，OD= ，BE=OD= BE四边形ODBE是等腰梯形 7分(3) 存在， 8分由题意得： 9分设点Q坐标为（x，y），由题意得：=当y=1时，即， ， ，Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) 11分当y=-1时，即， x=2，Q点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）使得= 12分EFQ1Q3Q211、（11分）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？PDCMy（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长解：（1）抛物线经过点，1分二次函数的解析式为：3分（2）为抛物线的顶点过作于，则，4分xyMCDPQOABNEH当时，四边形是平行四边形5分当时，四边形是直角梯形过作于，则（如果没求出可由求）6分当时，四边形是等腰梯形综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形7分（3）由（2）及已知，是等边三角形则过作于，则8分=9分当时，的面积最小值为10分此时11分12（本小题满分13分）如图，抛物线经过三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标OxyABC41（第26题图）解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为将，代入，得解得此抛物线的解析式为（3分）（2）存在（4分）OxyABC41（第26题图）DPME如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，当时，又，当时，即解得（舍去），（6分）当时，即解得，（均不合题意，舍去）当时，（7分）类似地可求出当时，（8分）当时，综上所述，符合条件的点为或或（9分）（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为过作轴的平行线交于由题意可求得直线的解析式为（10分）点的坐标为（11分）当时，面积最大13.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k顶点C的横坐标为4，且过点(0，)y=a(x-4)2+k 又对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6A(1，0)，B(7，0)0=9a+k 由解得a=，k=二次函数的解析式为：y=(x-4)2点A、B关于直线x=4对称PA=PBPA+PD=PB+PDDB当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点MPMOD，BPM=BDO，又PBM=DBOBPMBDO 点P的坐标为(4，)由知点C(4，)，又AM=3，在RtAMC中，cotACM=，ACM=60o，AC=BC，ACB=120o当点Q在x轴上方时，过Q作QNx轴于N如果AB=BQ，由ABCABQ有BQ=6，ABQ=120o，则QBN=60oQN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使QABABC点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)14、(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设该抛物线的解析式为，由抛物线与y轴交于点C（0，3）,可知. 即抛物线的解析式为 1分把A（1，0）、B（3，0）代入, 得 解得. 抛物线的解析式为y = x22x3 3分 顶点D的坐标为. 4分说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x22x3”不扣分.（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. 5分理由如下：过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.在RtBOC中，OB=3，OC=3， . 6分在RtCDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1， . 7分在RtBDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， . 8分 ， 故BCD为直角三角形. 9分（3）连接AC，可知RtCOA RtBCD，得符合条件的点为O（0，0） 10分过A作AP1AC交y轴正半轴于P1，可知RtCAP1 RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为 11分过C作CP2AC交x轴正半轴于P2，可知RtP2CA RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为P2（9，0） 12分符合条件的点有三个：O（0，0），P2（9，0）.15、如图，抛物线与轴交于两点A（1，0），B（1，0），与轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作BDCA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）解：（1）把A B代入得：解得：3分（2）令，得 4分OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=ABC =BDCA， ABD=BAC 过点D作DE轴于E，则BDE为等腰直角三角形令 ，则 点D在抛物线上 解得，（不合题意，舍去） DE=(说明：先求出直线BD的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可)四边形ACBD的面积=ABOC +ABDE7分（说明：也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）(3)存在这样的点M8分ABC=ABD= DBC=MN轴于点N， ANM=DBC =在RtBOC中，OB=OC= 有BC=在RtDBE中，BE=DE= 有BD= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMN CDB时，有即 解得：（舍去） 则() 当AMN DCB时，有即 解得（舍去） （舍去）10分 点M在轴右侧时，则 () 当AMN DCB时，有 解得（舍去） () 当AMN CDB时，有 即 解得：（舍去） M点的坐标为12分16、在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B，C两点（OB<OC），连结A，B。（1）是否存在这样的抛物线F，？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。【思路点拨】（1）由关系式来构建关于t、b的方程；(2)讨论t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。（1） 平移的图象得到的抛物线的顶点为, 抛物线对应的解析式为:. 抛物线与x轴有两个交点，. 令, 得，, )( )| ,即, 所以当时, 存在抛物线使得.- 2分(2) , , 得: ,解得. 在中,1) 当时,由 , 得, 当时, 由, 解得, 此时, 二次函数解析式为; 当时, 由, 解得, 此时，二次函数解析式为 + +. 2) 当时, 由 , 将代, 可得, ,（也可由代，代得到）所以二次函数解析式为 + 或. 17、如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.（1）求点A的坐标;（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应讨论当点P在第二象限时，x<0、 当点P在第四象限是，x>0这二种情况。（1）A(-2,-4)（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()四边形ABP3O为直角梯形时，P1()四边形ABOP4为直角梯形时，P1()（3） 由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x当点P在第二象限时，x<0,POB的面积AOB的面积，即 x的取值范围是当点P在第四象限是，x>0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A、P则四边形POAA的面积AAB的面积， 即 x的取值范围是BOAPM18、如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动（1）求线段所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点的横坐标为,用的代数式表示点的坐标；当为何值时，线段最短；（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（2）构建关于的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点落在直线的下方时、当点落在直线的上方时讨论。（1）设所在直线的函数解析式为，（2，4），, ,所在直线的函数解析式为（2）顶点M的横坐标为，且在线段上移动， （02）.顶点的坐标为(,).抛物线函数解析式为.当时，（02）.点的坐标是（2，）. =， 又02，当时，PB最短（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）.DOABPMCE当点落在直线的下方时，过作直线/，交轴于点，点的坐标是（0，）.点的坐标是（2，3），直线的函数解析式为.，点落在直线上.=.解得，即点（2，3）.点与点重合.此时抛物线上不存在点，使与的面积相等.当点落在直线的上方时，作点关于点的对称称点，过作直线/，交轴于点，、的坐标分别是（0，1），（2，5），直线函数解析式为.，点落在直线上.=.解得：，.代入，得，.此时抛物线上存在点，使与的面积相等. 综上所述，抛物线上存在点， 使与的面积相等.20、如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论当直线MN在x轴上方时、当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。（1）方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0） 将A、B、C三点的坐标代入得 解得： 所以这个二次函数的表达式为： （2）存在，F点的坐标为（2，3） 易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：E点的坐标为（3，0） 以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形F点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点F，坐标为（2，3） （3）如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得 当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得圆的半径为或 （4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为设P（x，），则Q（x，x1），PQ 当时，APG的面积最大此时P点的坐标为， AOxyBFC21、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，点都在抛物线上， AOxyBFC图9HBM抛物线的解析式为顶点（2）存在（3）存在理由：解法一：延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点 过点作于点点在抛物线上，在中，在中，设直线的解析式为 解得 解得 在直线上存在点，使得的周长最小，此时22、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的yxODECFAB负半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由（1）点在轴上理由如下：连接，如图所示，在中，由题意可知：点在轴上，点在轴上（2）过点作轴于点，在中，点在第一象限，点的坐标为由（1）知，点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为抛物线经过点，由题意，将，代入中得 解得所求抛物线表达式为：（3）存在符合条件的点，点10分理由如下：矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为由题意可知为此平行四边形一边，又边上的高为2依题意设点的坐标为点在抛物线上解得，以为顶点的四边形是平行四边形，yxODECFABM，当点的坐标为时，点的坐标分别为，；当点的坐标为时，点的坐标分别为，23、如图，抛物线ya(x1)(x5)与x轴的交点为M、N直线ykxb与x轴交于P(2，0)，与y轴交于C若A、B两点在直线ykxb上，且AO=BO=，AOBOD为线段MN的中点，OH为RtOPC斜边上的高(1)OH的长度等于_；k_，b_；(2)是否存在实数a，使得抛物线ya(x1)(x5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG，写出探索过程AHCBy-2MODNxP (1)OH1；k，b；(2)设存在实数a，是抛物线ya(x1)(x5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角AOB相似以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形若DN为等腰直角三角形的直角边，则EDDN由抛物线ya(x1)(x5)得：M(1，0)，N(5，0)D(2，0)，EDDN3，E的坐标是(2，3)把E(2，3)代入抛物线解析式，得a抛物线解析式为y(x1)(x5)即yx2x若DN为等腰直角三角形的斜边，则DEEN，DEENE的坐标为(3.5，1.5)把E(3.5，1.5)代入抛物线解析式，得a抛物线解析式为y(x1)(x5)，即yx2x当a时，在抛物线yx2x上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E点，那么只有可能DEN是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E(3.5，1.5)显然E不在抛物线yx2x上，因此抛物线yx2x上没有符合条件的其他的E点当a时，同理可得抛物线yx2x上没有符合条件的其他的E点当E的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为yx2x时EDN和ABO都是等腰直角三角形，GNPPBO45°又NPGBPO，NPGBPO，PB·PGPO·PN2×714，总满足PB·PG当E的坐标为(3.5，1.5)，对应的抛物线解析式为yx2x时，同理可证得：PB·PGPO·PN2×714，总满足PB·PG30