中考数学专题：二次函数中的相似三角形综合问题(解析版).docx

专题25 二次函数中的相似三角形综合问题1、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上是否同时存在点D和点P，使得APQ和CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；若DCB=CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标【答案】（1）y=18x214x+3；（2）点D坐标为（32，0）；点M（32，0）.【分析】（1）应用待定系数法问题可解；（2）通过分类讨论研究APQ和CDO全等由已知求点D坐标，证明DNBC，从而得到DN为中线，问题可解【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得36a6b+c016a+4b+c0c0，解得：a18b14c3 ，抛物线解析式为：y=-18x2-14x+3；（2）存在点D，使得APQ和CDO全等，当D在线段OA上，QAP=DCO，AP=OC=3时，APQ和CDO全等，tanQAP=tanDCO，OCOAODOC，36OD3，OD=32，点D坐标为（-32，0）.由对称性，当点D坐标为（32，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（32，0）在线段OB上满足条件OC=3，OB=4，BC=5，DCB=CDB，BD=BC=5，OD=BD-OB=1，则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN，CM，则DN=DM，NDC=MDC，NDC=DCB，DNBC，ANNCADDB1，则点N为AC中点DN时ABC的中位线，DN=DM=12BC=52，OM=DM-OD=32点M（32，0）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识解答时，注意数形结合2、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点. （1）求的值；（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由见解析.【思路引导】（1）设对称轴与轴交于点，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA的长，进而可得点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值；（2）设点Q的横坐标为n，当点在轴上方时，过点Q作QHx轴于点H，利用可得关于n的方程，解方程即可求出n的值，进而可得点Q坐标；当点在轴下方时，注意到，所以点与点关于直线对称，由此可得点Q坐标；（3）当点为x轴上方的点时，若存在点P，可先求出直线BQ的解析式，由BPBQ可求得直线BP的解析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式即可求出点P的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P是否满足条件；当点Q取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.【解析】解：（1）设抛物线的对称轴与轴交于点，如图1，轴，抛物线的对称轴是直线，OE=1，将点代入函数表达式得：，；（2）设，点在轴上方时，如图2，过点Q作QHx轴于点H，解得：或（舍），；点在轴下方时，OA=1，OC=3，点与点关于直线对称，；（3）当点为时，若存在点P，使，则PBQ=COA=90°，由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，联立方程组：，解得：，不存在； 当点为时，如图4，由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，联立方程组：，解得：，不存在.综上所述，不存在满足条件的点，使.【方法总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.3、在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.（1）求抛物线L的表达式；（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PDy轴，垂足为D.若POD与AOB相似，求符合条件的点P的坐标.【答案】(1) y=x25x6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。【思路引导】(1)利用待定系数法进行求解即可得；(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3，0)、B(0，-6)在L上的对应点分别为A(3，0)、B(0，6)，利用待定系数法求得抛物线L的表达式为yx25x6，设P(m，m25m6)(m0)，根据PDy轴，可得点D的坐标为(0，m25m6)，可得PDm，ODm25m6，再由RtPOD与RtAOB相似，分RtPDORtAOB或RtODPRtAOB两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得.【解析】 (1)由题意，得，解得：，L：y=x25x6；(2)抛物线L关于原点O对称的抛物线为，点A(-3，0)、B(0，-6)在L上的对应点分别为A(3，0)、B(0，6)，设抛物线L的表达式yx2bx6，将A(3，0)代入yx2bx6，得b5，抛物线L的表达式为yx25x6，A(3，0)，B(0，6)，AO3，OB6，设P(m，m25m6)(m0)，PDy轴，点D的坐标为(0，m25m6)，PDm，ODm25m6，RtPDO与RtAOB相似，有RtPDORtAOB或RtODPRtAOB两种情况，当RtPDORtAOB时，则，即，解得m11，m26，P1(1，2)，P2(6，12)；当RtODPRtAOB时，则，即，解得m3，m44，P3(，)，P4(4，2)，P1、P2、P3、P4均在第一象限，符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).【方法总结】本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.4、如图，抛物线（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）PM=（0m3）；（3）存在这样的点P使PFC与AEM相似此时m的值为或1，PCM为直角三角形或等腰三角形【解析】解：（1）抛物线（a0）经过点A（3，0），点C（0，4），解得抛物线的解析式为（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，A（3，0），点C（0，4），解得直线AC的解析式为点M的横坐标为m，点M在AC上，M点的坐标为（m，）点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点P的坐标为（m，）PM=PEME=（）（）=PM=（0m3）（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似理由如下：由题意，可得AE=3m，EM=，CF=m，PF=，若以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似，分两种情况：若PFCAEM，则PF：AE=FC：EM，即（）：（3m）=m：（），m0且m3，m=PFCAEM，PCF=AMEAME=CMF，PCF=CMF在直角CMF中，CMF+MCF=90°，PCF+MCF=90°，即PCM=90°PCM为直角三角形若CFPAEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3m）=（）：（），m0且m3，m=1CFPAEM，CPF=AMEAME=CMF，CPF=CMFCP=CMPCM为等腰三角形综上所述，存在这样的点P使PFC与AEM相似此时m的值为或1，PCM为直角三角形或等腰三角形5、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点求抛物线的解析式及点C的坐标；求证：ABC是直角三角形；若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（53，0）或（73，0）或（1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，又抛物线过原点，0=a（0-1）2+1，解得a=-1，抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得y=x2+2xy=x2 ,解得x=2y=0或x=1y=3 ,B（2，0），C（-1，-3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45°，即ABC=90°，ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分别求得AB=2 ，BC=32，MNx轴于点NABC=MNO=90°，当ABC和MNO相似时有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，当MNAB=ONBC时，则有x2+2x2=x32 ，即|x|-x+2|=13|x|，当x=0时M、O、N不能构成三角形，x0，|-x+2|=13，即-x+2=±13 ，解得x=53 或x=73 ，此时N点坐标为（53，0）或（73，0）；当MNBC=ONAB时，则有x2+2x32=x2，即|x|-x+2|=3|x|，|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（53 ，0）或（73 ，0）或（-1，0）或（5，0）6、如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PFBD于P，交边BC于点F（点F与点B、C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE、ED，并一直保持EPF=FBP，设B、P两点的距离为x，DEP的面积为y（1）求出tanPBF；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）当DEP与BCD相似时，求DEP的面积【答案】（1）；（2）；（3）当DEP=90°时，面积为；当PDE=90°时，面积为【解析】(1)四边形ABCD是矩形,又即又,即如图,作垂足为H,则又设则,又由勾股定理得：=又当DEP与BCD相似时,只有两种情况:DEP=C=90°或EDP=C=90°当DEP=90°,DPE+PDE=90°即PDE=CBDBE=DE设CE=a,则BE=DE=4-a在RtDEC中,勾股定理得解之则,又BCD的面积=4当EDP=90°,如图2,7、如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为一边，在直线的同侧作等边三角形和，求的最大面积，并写出此时点的坐标；（3）如图，若抛物线的对称轴与轴交于点，是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线与轴交于点是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），(1，0)；（3）存在，、或【解析】解：（1）令得，代入抛物线表达式得：，解得，抛物线的函数表达式为，（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，由抛物线得：，设，的面积为，则，S，当时，有最大值是，的最大面积是，此时点的坐标是，（3）存在点，使得与相似有两种可能情况：；，由抛物线得：，对称轴为直线，若，则，解得，点的坐标是或，若点的坐标是，则直线为：，解方程组，得：，（不合题意，舍去），此时满足条件的点的坐标为，若点的坐标是，同理可求得满足条件的点的坐标为，若，同理也可求得满足条件的点的坐标为，满足条件的点的坐标为，综上所述，存在满足条件的点，点的坐标为：、或8、已知抛物线yax2bxc，其中2ab>0>c，且abc0.(1)直接写出关于x的一元二次方程ax2bxc 0的一个根；(2)证明：抛物线yax2bxc的顶点A在第三象限；(3)直线y xm与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线yax2bxc相交于A，D两点设抛物线yax2bxc的对称轴与x轴相交于E，如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得ADF与BOC相似，并且SADFSADE，求此时抛物线的表达式【解析】 (1)利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；(2)确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；(3)借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值解：(1)ax2bxc 0的一个根为1(或者3)；(2)证明：b 2a，对称轴x为1，将b2a代入abc0，得c3a.ab>0>c，b24ac>0，<0，顶点A在第三象限；(3)b 2a，c3a，x，第1题答图x13，x21，函数表达式为yax22ax3a，直线y xm与x轴、y轴分别相交于B，C，两点，则OBOC|m|，BOC是以BOC为直角的等腰直角三角形，这时直线yxm与对称轴x1的夹角BAE45°.又点F在对称轴左侧的抛物线上，则BAE>45°，这时BOC与ADF相似，顶点A只可能对应BOC中的直角顶点O，即ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴是x1，设对称轴x1与OF交于点G，直线yxm过顶点A，m14a，直线表达式为yx14a，解方程组解得这里的(1，4a)即为顶点A，点即为点D的坐标，D点到对称轴x1的距离为1(1)，AE|4a|4a，SADE××4a2，即它的面积为定值这时等腰直角三角形ADF的面积为1，底边DF 2，而x1是它的对称轴，这时D，C重合且在y轴上，由10，a1，此时抛物线的表达式yx22x38、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(3，0)，直线yx3恰好经过B，C两点(1)写出点C的坐标；(2)求出抛物线yx2bxc的表达式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且APDACB，求点P的坐标【解析】 (1)由直线yx3可求出点C坐标；(2)由B，C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；(3)作辅助线AE，由三角形的两个角相等，证明AECAFP，根据两边成比例，便可求出PF的长度，从而求出P点坐标解：(1)yx3与y轴交于点C，故C(0，3)；(2)抛物线yx2bxc过点B，C，解得抛物线的表达式为yx24x3(x1)(x3)，对称轴为直线x2，点A(1，0)；第2题答图(3)由yx24x3，可得D(2，1)，A(1，0)；OB3，OC3，OA1，AB2，可得OBC是等腰直角三角形，OBC45°，CB3.如答图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，AFAB1.过点A作AEBC于点E.AEB90°.可得BEAE，CE2.在AEC与AFP中，AECAFP90°，ACEAPF，AECAFP.，解得PF2.点P在抛物线的对称轴上，点P的坐标为(2，2)或(2，2)9、如图所示，若关于x的二次函数yax2bxc(a0，c0，a，b，c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0x1x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为M，点O为坐标原点(1)当x1c2，a时，求x2与b的值；(2)当x12c时，试问ABM能否等边三角形？判断并证明你的结论；(3)当x1mc(m0)时，记MAB，PAB的面积分别为S1，S2，若BPOPAO，且S1S2，求m的值解：(1)设ax2bxc0的两根为x1，x2，把a，c2代入，得x2bx20，x12是它的一个根，×222b20，解得b，方程为x2x20，另一个根为x23；(2)当x12c时，x2，此时ba(x1x2)，4ac2b1，M，当ABM为等边三角形时AB，即，b22b1(12b1)，解得b11，b221(舍去)，此时4ac2b1，即2c，A，B重合，ABM不可能为等边三角形；(3)BPOPAO，即x1x2c2，ac1，a，由S1S2得cc，b24a·2c8ac8，b12，b22(舍去)，方程可变形为x22xc0，x1(1)c，x2(1)c，x1x2，x1mc，mc(1)c，m1.10、如图所示，抛物线yax2bxc经过ABCD的顶点A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)当t为何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由原图 备用图【解析】 (1)利用待定系数法列方程组求解抛物线的表达式；(2)由平行四边形的对称性可知直线l必过其对称中心，同时利用抛物线的对称性确定E点坐标，进而可求直线l的表达式，结合二次函数表达式确定点F的坐标作PHx轴，交l于点M，作FNPH，列出PM关于t的表达式，最后利用三角形的面积得SPFE关于t的表达式，利用二次函数的最值求得t值，从而使问题得以解决；(3)分两种情形讨论：若P1AE90°，作P1Gy轴，易得P1GAG，由此构建一元二次方程求t的值；若AP2E90°，作P2Kx轴，AQP2K，则P2KEAQP2，由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t的值解：(1)将点A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)代入yax2bxc，结得 得则抛物线表达式为yx22x3；(2)直线l将ABCD分割为面积相等的两部分，必过其对称中心.由点A，D知，抛物线对称轴为x1，E(3，0)，设直线l的表达式为ykxm，代入点和(3，0)，得 解得直线l的表达式为yx.由解得xF.如答图，作PHx轴，交l于点M，作FNPH.点P的纵坐标为yPt22t3，点M的纵坐标为yMt. PMyPyMt22t3tt2t.第4题答图则SPFESPFM SPEMPM·FNPM·EHPM ·(FN EH)×当t时，PFE的面积最大，最大值的立方根为 .(3)由图可知PEA90°.若P1AE90°，如答图，作P1Gy轴，OAOE，OAEOEA45°，P1AG AP1G45°，P1GAG.tt22t33，即t2t0，解得t1或0(舍去) 第4题答图若AP2E90°，作P2Kx轴，AQP2K，则P2KEAQP2，即t2t10，解得t或(舍去)综上可知t1或符合题意11、如图所示，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线yx2bxc经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点连结BC，CD.设直线BD交线段AC于点E，CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连结CD.是否存在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由原图 备用图【解析】 (1)先求出直线yx2与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，再将点A，B的坐标代入抛物线的函数表达式即可求解；(2)过点C作CHBD交BD于点H，则CH是CDE与BCE的高线，所以，分别过点D，B作DMy轴、BNx轴，DM交AC于点M，BN交AC于点N，则.由抛物线的函数表达式求出点B的坐标，进而可求出点N的坐标，得到BN的长；设D，表示出点M的坐标为，可得DMt22t，于是转化为关于t的二次函数，从而求得最大值；分三种情形求解：()DFC2BAC；()CDF2BAC；()FCD2BAC.情形()通过判断BAC的度数确定是否存在；情形()可通过作BAC关于 轴的对称图形构成出2BAC，再过点C作平行线求解；情形()在x轴负半轴取点P，使CPAP，构成出2BAC再求解解：(1)在yx2中，当x0时，y2；当y0时，x4.C(0，2)，A(4，0)代入yx2bxc，得解得b，c2.抛物线的函数表达式为yx2x2.(2)如答图，过点C作CHBD于点H，则S1DE·CH，S2BE·CH.第5题答图.过点D作DMy轴，交AC于点M，过点B作BNx轴交AC于点N，则DMBN.在yx2x2中，当y0时，x2x20，解得x4或1.B(1，0)当x1时，yx2.N，BN.设D，则M.DMt2t2t22t.(t2)2.当t2时，取最大值. A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)，OA4，OB1，OC2.，.又AOCBOC90°，AOCCOB.ACOABC.()tanBAC1，BAC45°.DFC2CAB.第5题答图()当DCF2CAB时，如答图，作点C关于x轴的对称点G，连结AG，则CABGAB，G(0，2)CAG2CAB.设直线AG的函数表达式为ykxd(k0)把A(4，0)，G(0，2)代入，得 解得k，d2.直线AG的函数表达式为yx2.过点C作CDAG交第二象限内的抛物线于点D，则DCFCAG2CAB，且直线CD的函数表达式为yx2.由x2x2x2，解得x10(舍去)，x22.点D的横坐标为2.第5题答图()当CDF2CAB时，如答图，在x轴负半轴上取点P，使CPAP.CABACP，CPOCABACP2CAB.设OPm，则CPAP4m.在RtOCP中，由勾股定理，得OP2OC2CP2.m222(4m)2.解得m，即OP.tanCDFtanCPO.过点F作QKx轴交y轴于点K，过点D作DQy轴交QK于Q，则QFKC90°，CFKFCK90°，.，即FK2KC.DFAC，CFKDFQ90°.FCKDFQ.又QFKC，FKCDQF.设QF3n，则KC4n，FK8n，DQ6n，OK24n.D(11n，22n)，代入yx2x2，得22n×(11n)2x(11n)2.解得n10(不合题意，舍去)，n2.11n，即点D的横坐标为.综上诉述，点D的横坐标为2或.12、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(2，0)，(6，8)(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) yx23x8；（2）点F的坐标为(3，4)或(3，4)【思路引导】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标（2）抛物线上存在点F使得FOEFCE，此时点F纵坐标为-4，令y=-4即可解决问题【解析】（1）抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8）， 解得抛物线的函数表达式为yx23x8；yx23x8 (x3)2 ，抛物线的对称轴为直线x=3又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）点B的坐标为（8，0），设直线L的函数表达式为y=kx点D（6，-8）在直线L上，6k=-8，解得k=- ，直线L的函数表达式为y=-x，点E为直线L和抛物线对称轴的交点，点E的横坐标为3，纵坐标为-×3=-4，点E的坐标为（3，-4）；（2）抛物线上存在点F，使FOEFCEOE=CE=5，FO=FC，点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，x2-3x-8=-4，解得x=3± ，点F的坐标为（3-，-4）或（3+，-4）【方法总结】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题