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数字图像处理傅立叶变换第1页，此课件共52页哦 一.图像变换的作用 图像变换的定义是将图像从空域变换到其它域（如频域）的数学变换 图像变换的作用 我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。1.方便处理 2.便于抽取特性第2页，此课件共52页哦常用的变换1.傅立叶变换Fourier Transform2.离散余弦变换Discrete Cosine Transform3.沃尔什哈达玛变换Walsh-Hadamard Transform第3页，此课件共52页哦二.傅立叶变换 傅立叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。第4页，此课件共52页哦 傅立叶变换的定义傅立叶变换若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：第5页，此课件共52页哦 函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是惟一的；反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。第6页，此课件共52页哦傅里叶变换的条件傅里叶变换的条件 傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积;第7页，此课件共52页哦F(u)可以表示为如下形式：|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，称为F(u)的相角。第8页，此课件共52页哦称为函数f(x)的能量谱或功率谱。第9页，此课件共52页哦高斯函数的定义为：例例1 1 高斯函数的傅立叶变换高斯函数的傅立叶变换 根据傅立叶变换的定义可得：第10页，此课件共52页哦令x+ju=t，上式可以化为：结论:与即，高斯函数的傅立叶变换依然是高斯函数 为傅立叶变换函数对。第11页，此课件共52页哦例例2.2.矩形函数矩形函数 矩形函数形式如下矩形函数形式如下:第12页，此课件共52页哦根据傅立叶变换的定义，其傅立叶变换如下：第13页，此课件共52页哦可得矩形函数可得矩形函数f(x)f(x)的傅立叶频谱为：的傅立叶频谱为：几何图形如下页图(b)所示 第14页，此课件共52页哦第15页，此课件共52页哦第16页，此课件共52页哦线性系统与傅立叶变换第17页，此课件共52页哦傅立叶变换在图像滤波中的应用 首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。第18页，此课件共52页哦傅立叶变换在卷积中的应用 直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积。第19页，此课件共52页哦三.离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的定义 要要在在数数字字图像像处理理中中应用用傅傅立立叶叶变换，还需需要要解解决决两两个个问题：一一是是在在数数学学中中进行行傅傅立立叶叶变换的的f(x)为连续（模模拟）信信号号，而而计算算机机处理理的的是是数数字字信信号号（图像像数数据据）；二二是是数数学学上上采采用用无无穷大大概概念念，而而计算算机机只只能能进行行有有限限次次计算算。通通常常，将将受受这种种限限制制的的傅傅立立叶叶变换称称为离离散散傅傅立叶立叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT)。第20页，此课件共52页哦 离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的定义离散傅立叶正变换离散傅立叶正变换:第21页，此课件共52页哦离散傅立叶逆变换离散傅立叶逆变换:第22页，此课件共52页哦四.傅立叶变换的性质加法定理 位移定理 相似性定理 卷积定理 能量保持定理第23页，此课件共52页哦 加法定理第24页，此课件共52页哦第25页，此课件共52页哦 位移定理第26页，此课件共52页哦 相似性定理 结论：一个“窄”的函数有一个“宽”的频谱第27页，此课件共52页哦第28页，此课件共52页哦 旋转不变性旋转不变性 由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图所示。(a)(b)(d)(c)图 离散傅立叶变换的旋转不变性（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱 第29页，此课件共52页哦卷积定理第30页，此课件共52页哦能量保持定理第31页，此课件共52页哦五.二维傅立叶变换1.二维连续函数傅立叶变换的定义二维傅立叶正变换二维傅立叶正变换:第32页，此课件共52页哦二维傅立叶逆变换二维傅立叶逆变换:第33页，此课件共52页哦第34页，此课件共52页哦2.二维离散函数傅立叶变换的定义 根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论，对于一个具有换理论，对于一个具有MNMN个样本值的二位离散序列个样本值的二位离散序列f(xf(x，y)y)，（，（x=0,1,2,3,x=0,1,2,3,M-1,M-1；y=0,1,2,3,y=0,1,2,3,N-1,N-1）其傅）其傅立叶变换为：立叶变换为：(1)二维离散傅立叶正变换第35页，此课件共52页哦(2)二维离散傅立叶逆变换若已知频率二维序列F(u，v)（u=0,1,2,3,M-1；v=0,1,2,3,N-1），则二维离散序列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为：第36页，此课件共52页哦 x、y和u、v，分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔 两者之间满足如下关系：第37页，此课件共52页哦 式中序列R(u，v)和I(u，v)分别表示离散序列F(u，v)的实序列和虚序列。二维序列f(x，y)的频谱（傅立叶幅度谱）、相位谱和能量谱（功率谱）分别如下：F(u，v)可以表示为如下形式：第38页，此课件共52页哦(1)(1)线性特性线性特性 3.二维离散傅立叶变换的性质(2)(2)比例性质比例性质 =第39页，此课件共52页哦(3)(3)平移性质平移性质 二维傅立叶变换的移位特性表明，当用 乘以f(x，y)，然后再进行乘积的离散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。第40页，此课件共52页哦(4)(4)可分离性可分离性 第41页，此课件共52页哦 二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换 在此基础上对x进行一维傅立叶变换第42页，此课件共52页哦变量分离步骤如图所示 第43页，此课件共52页哦 若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应 逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换 第44页，此课件共52页哦(5)(5)周期性周期性 如果二维离散函数f(x，y)的傅里叶变换为F(u，v)，则傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性：第45页，此课件共52页哦(6)(6)共轭对称性共轭对称性 第46页，此课件共52页哦半周期的傅里叶频谱全周期的傅里叶频谱一幅二维图像的傅里叶频谱中心化的傅里叶频谱第47页，此课件共52页哦(7)(7)旋转不变性旋转不变性 图像f(x，y)可以表示为f(r，)。同样，空间频率域的F(u，v)采用极坐标可以表示为F(，)。二维离散傅立叶存在如下旋转特性：第48页，此课件共52页哦(a)原始图像 (b)DFT变换 (c)原始图像旋转45(d)旋转之后DFT变换结果 第49页，此课件共52页哦(8)(8)微分性质微分性质 第50页，此课件共52页哦(9)(9)平均值性质平均值性质 平均值定义如下平均值定义如下 平均值性质如下：平均值性质如下：即：即：结论：二维离散函数的平均值等于其傅立叶变换在频率原点处值的1/MN。第51页，此课件共52页哦10.卷积定理：f(x,y)*h(x,y)F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)F(u,v)*H(u,v)第52页，此课件共52页哦
