线性代数讲课幻灯片.ppt

线性代数讲课课件线性代数讲课课件第1页，共41页，编辑于2022年，星期一例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式第2页，共41页，编辑于2022年，星期一在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如第3页，共41页，编辑于2022年，星期一第4页，共41页，编辑于2022年，星期一引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如第5页，共41页，编辑于2022年，星期一证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而在证一般情形在证一般情形,此时此时第6页，共41页，编辑于2022年，星期一得得第7页，共41页，编辑于2022年，星期一得得第8页，共41页，编辑于2022年，星期一第9页，共41页，编辑于2022年，星期一中的余子式中的余子式第10页，共41页，编辑于2022年，星期一故得故得于是有于是有第11页，共41页，编辑于2022年，星期一定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则第12页，共41页，编辑于2022年，星期一第13页，共41页，编辑于2022年，星期一例例1第14页，共41页，编辑于2022年，星期一第15页，共41页，编辑于2022年，星期一 证证用数学归纳法用数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式第16页，共41页，编辑于2022年，星期一第17页，共41页，编辑于2022年，星期一 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式第18页，共41页，编辑于2022年，星期一利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例3计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。第19页，共41页，编辑于2022年，星期一解解第20页，共41页，编辑于2022年，星期一上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知第21页，共41页，编辑于2022年，星期一评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式第22页，共41页，编辑于2022年，星期一用递推法计算用递推法计算例例4计算计算解解第23页，共41页，编辑于2022年，星期一第24页，共41页，编辑于2022年，星期一第25页，共41页，编辑于2022年，星期一由此递推，得由此递推，得如此继续下去，可得如此继续下去，可得第26页，共41页，编辑于2022年，星期一第27页，共41页，编辑于2022年，星期一评注评注第28页，共41页，编辑于2022年，星期一用数学归纳法用数学归纳法例例5证明证明第29页，共41页，编辑于2022年，星期一证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法第30页，共41页，编辑于2022年，星期一第31页，共41页，编辑于2022年，星期一评注评注第32页，共41页，编辑于2022年，星期一推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证第33页，共41页，编辑于2022年，星期一同理同理相同相同第34页，共41页，编辑于2022年，星期一关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质第35页，共41页，编辑于2022年，星期一例例6 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得第36页，共41页，编辑于2022年，星期一例例7 计算行列式计算行列式解解第37页，共41页，编辑于2022年，星期一第38页，共41页，编辑于2022年，星期一 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结第39页，共41页，编辑于2022年，星期一思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和第40页，共41页，编辑于2022年，星期一思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第41页，共41页，编辑于2022年，星期一