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线性系统理论第一章第1页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章线性系统的时间域理论线性系统的时间域理论第第1章章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述分析和综合线性系统的运动和特性的理论和方法。分析和综合线性系统的运动和特性的理论和方法。分析和综合线性系统的运动和特性的理论和方法。分析和综合线性系统的运动和特性的理论和方法。时间域理论：以时间域数学模型为系统描述，在时间域内时间域理论：以时间域数学模型为系统描述，在时间域内时间域理论：以时间域数学模型为系统描述，在时间域内时间域理论：以时间域数学模型为系统描述，在时间域内1.1 1.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述系统的状态空间描述系统的状态空间描述u u动态过程数学描述的两种基本类型。动态过程数学描述的两种基本类型。动态过程数学描述的两种基本类型。动态过程数学描述的两种基本类型。一个系统用下图的一个方块来表征。一个系统用下图的一个方块来表征。一个系统用下图的一个方块来表征。一个系统用下图的一个方块来表征。第2页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。统称为系统的外部变量。统称为系统的外部变量。统称为系统的外部变量。统称为系统的外部变量。方块以外为系统环境方块以外为系统环境方块以外为系统环境方块以外为系统环境系统输入：环境对系统的作用。系统输入：环境对系统的作用。系统输入：环境对系统的作用。系统输入：环境对系统的作用。系统输出：系统对环境的作用。系统输出：系统对环境的作用。系统输出：系统对环境的作用。系统输出：系统对环境的作用。，体现了系统的行为。，体现了系统的行为。，体现了系统的行为。，体现了系统的行为。第3页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章的因果关系，即输出和输入间的因果关系。的因果关系，即输出和输入间的因果关系。的因果关系，即输出和输入间的因果关系。的因果关系，即输出和输入间的因果关系。不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。l l系统的外部描述：输入系统的外部描述：输入系统的外部描述：输入系统的外部描述：输入输出描述，不完全的描述。输出描述，不完全的描述。输出描述，不完全的描述。输出描述，不完全的描述。例：线性定常、单输入例：线性定常、单输入例：线性定常、单输入例：线性定常、单输入单输出系统，外部描述为线性常系单输出系统，外部描述为线性常系单输出系统，外部描述为线性常系单输出系统，外部描述为线性常系数微分方程。数微分方程。数微分方程。数微分方程。其中：其中：其中：其中：和和和和 为实常数，为实常数，为实常数，为实常数，第4页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章假定初始条件为零，取拉氏变换。假定初始条件为零，取拉氏变换。假定初始条件为零，取拉氏变换。假定初始条件为零，取拉氏变换。复频率域描述，即传递函数。复频率域描述，即传递函数。复频率域描述，即传递函数。复频率域描述，即传递函数。l l系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。两个数学方程组成：两个数学方程组成：两个数学方程组成：两个数学方程组成：状态方程：微分方程或差分方程。状态方程：微分方程或差分方程。状态方程：微分方程或差分方程。状态方程：微分方程或差分方程。内部变量组和输入变量组间的因果关系。内部变量组和输入变量组间的因果关系。内部变量组和输入变量组间的因果关系。内部变量组和输入变量组间的因果关系。输出方程：代数方程。输出方程：代数方程。输出方程：代数方程。输出方程：代数方程。内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换关系。内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换关系。内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换关系。内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换关系。第5页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章状态：完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。状态：完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。状态：完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。状态：完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。u u状态和状态空间状态和状态空间状态和状态空间状态和状态空间其中：其中：其中：其中：，为初始时刻。为初始时刻。为初始时刻。为初始时刻。状态向量：由状态变量构成的列向量。状态向量：由状态变量构成的列向量。状态向量：由状态变量构成的列向量。状态向量：由状态变量构成的列向量。状态空间：状态向量取值的一个向量空间。状态空间：状态向量取值的一个向量空间。状态空间：状态向量取值的一个向量空间。状态空间：状态向量取值的一个向量空间。状态变量：组成这个变量组的变量。状态变量：组成这个变量组的变量。状态变量：组成这个变量组的变量。状态变量：组成这个变量组的变量。第6页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章状态变量组：状态变量组：状态变量组：状态变量组：一个动力学系统的结构示意图。一个动力学系统的结构示意图。一个动力学系统的结构示意图。一个动力学系统的结构示意图。输入变量组：输入变量组：输入变量组：输入变量组：u u动力学系统的状态空间描述动力学系统的状态空间描述动力学系统的状态空间描述动力学系统的状态空间描述输出部件输出部件动力学部件动力学部件输出变量组：输出变量组：输出变量组：输出变量组：第7页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章决定了输出的变化。决定了输出的变化。决定了输出的变化。决定了输出的变化。状态空间描述：输入引起系统状态变化，而状态和输入则状态空间描述：输入引起系统状态变化，而状态和输入则状态空间描述：输入引起系统状态变化，而状态和输入则状态空间描述：输入引起系统状态变化，而状态和输入则一般的情况下，为一阶非线性时变微分方程组。一般的情况下，为一阶非线性时变微分方程组。一般的情况下，为一阶非线性时变微分方程组。一般的情况下，为一阶非线性时变微分方程组。向量方程的形式：向量方程的形式：向量方程的形式：向量方程的形式：状态方程：微分方程或差分方程。状态方程：微分方程或差分方程。状态方程：微分方程或差分方程。状态方程：微分方程或差分方程。第8页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章一般的情况下，输出方程为：一般的情况下，输出方程为：一般的情况下，输出方程为：一般的情况下，输出方程为：向量方程的形式：向量方程的形式：向量方程的形式：向量方程的形式：输出方程或量测方程输出方程或量测方程输出方程或量测方程输出方程或量测方程第9页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章其中：其中：其中：其中：线性系统的状态空间描述为：线性系统的状态空间描述为：线性系统的状态空间描述为：线性系统的状态空间描述为：第10页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章一般的形式为：一般的形式为：一般的形式为：一般的形式为：离散系统：离散系统：离散系统：离散系统：各变量在离散的时刻取值，状态空间反映离散时刻的变量各变量在离散的时刻取值，状态空间反映离散时刻的变量各变量在离散的时刻取值，状态空间反映离散时刻的变量各变量在离散的时刻取值，状态空间反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系。组间的因果关系和转换关系。组间的因果关系和转换关系。组间的因果关系和转换关系。用用用用 ，来表示离散的时刻。，来表示离散的时刻。，来表示离散的时刻。，来表示离散的时刻。线性离散时间系统：线性离散时间系统：线性离散时间系统：线性离散时间系统：第11页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章解：确定状态变量，最多解：确定状态变量，最多解：确定状态变量，最多解：确定状态变量，最多2 2个线性无关的变量，取个线性无关的变量，取个线性无关的变量，取个线性无关的变量，取 和和和和 例例例例1 1：下图所示简单电路，电路各组成元件的参数为已知，：下图所示简单电路，电路各组成元件的参数为已知，：下图所示简单电路，电路各组成元件的参数为已知，：下图所示简单电路，电路各组成元件的参数为已知，作为状态变量。作为状态变量。作为状态变量。作为状态变量。u u系统状态空间描述的列写举例系统状态空间描述的列写举例系统状态空间描述的列写举例系统状态空间描述的列写举例输入变量取为电压源输入变量取为电压源输入变量取为电压源输入变量取为电压源 ，输出变量取为电阻，输出变量取为电阻，输出变量取为电阻，输出变量取为电阻 的端电压的端电压的端电压的端电压 。第12页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章右回路：右回路：右回路：右回路：代入得：代入得：代入得：代入得：列出原始电路方程：由电路定律。列出原始电路方程：由电路定律。列出原始电路方程：由电路定律。列出原始电路方程：由电路定律。由于由于由于由于左回路：左回路：左回路：左回路：第13页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章求解上述方程为：求解上述方程为：求解上述方程为：求解上述方程为：导出状态方程：以导出状态方程：以导出状态方程：以导出状态方程：以 和和和和 为变量，为变量，为变量，为变量，第14页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章状态方程：状态方程：状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：输出方程：输出方程：第15页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章每年有每年有每年有每年有4%4%的上一年城市人口迁去农村，同时有的上一年城市人口迁去农村，同时有的上一年城市人口迁去农村，同时有的上一年城市人口迁去农村，同时有2%2%的上一年的上一年的上一年的上一年 例例例例2 2：考虑人口分布问题，设某国：考虑人口分布问题，设某国：考虑人口分布问题，设某国：考虑人口分布问题，设某国19881988年的人口分布为：年的人口分布为：年的人口分布为：年的人口分布为：农村人口迁到城市。整个国家的人口自然增长率为农村人口迁到城市。整个国家的人口自然增长率为农村人口迁到城市。整个国家的人口自然增长率为农村人口迁到城市。整个国家的人口自然增长率为1%1%。城市人口为城市人口为城市人口为城市人口为 ，农村人口为，农村人口为，农村人口为，农村人口为 。人口的流动情况为：。人口的流动情况为：。人口的流动情况为：。人口的流动情况为：解：确定状态变量：城市人口解：确定状态变量：城市人口解：确定状态变量：城市人口解：确定状态变量：城市人口 和农村人口和农村人口和农村人口和农村人口 。建立人口按年分布方程：取建立人口按年分布方程：取建立人口按年分布方程：取建立人口按年分布方程：取19881988年为年为年为年为k=0k=0，则，则，则，则k+1k+1年时城市年时城市年时城市年时城市人口和农村人口的分布方程，可以定为：人口和农村人口的分布方程，可以定为：人口和农村人口的分布方程，可以定为：人口和农村人口的分布方程，可以定为：第16页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章导出状态方程：把上述联立方程表为向量方程的形式，即得导出状态方程：把上述联立方程表为向量方程的形式，即得导出状态方程：把上述联立方程表为向量方程的形式，即得导出状态方程：把上述联立方程表为向量方程的形式，即得到人口分布的状态方程为：到人口分布的状态方程为：到人口分布的状态方程为：到人口分布的状态方程为：第17页，共100页，编辑于2022年，星期二1.2 1.2 系统按其状态空间描述的分类系统按其状态空间描述的分类系统按其状态空间描述的分类系统按其状态空间描述的分类第一章第一章系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它们的状各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它们的状各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它们的状各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它们的状态空间描述在类型上的不同。态空间描述在类型上的不同。态空间描述在类型上的不同。态空间描述在类型上的不同。u u线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统向量方程中向量方程中向量方程中向量方程中 和和和和 的所有元都是变量的所有元都是变量的所有元都是变量的所有元都是变量 和和和和 的线性函数，则相应的系统为的线性函数，则相应的系统为的线性函数，则相应的系统为的线性函数，则相应的系统为 线性系统。线性系统。线性系统。线性系统。第18页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章第19页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章若向量函数中若向量函数中若向量函数中若向量函数中 和和和和 至少包含一个元至少包含一个元至少包含一个元至少包含一个元 为变量为变量为变量为变量 和和和和 的非线性函数，则为非的非线性函数，则为非的非线性函数，则为非的非线性函数，则为非 线性系统。线性系统。线性系统。线性系统。在某个在某个在某个在某个 的一个邻域内线性化，按线性系统处理。的一个邻域内线性化，按线性系统处理。的一个邻域内线性化，按线性系统处理。的一个邻域内线性化，按线性系统处理。第20页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章u u时变系统和时不变系统时变系统和时不变系统时变系统和时不变系统时变系统和时不变系统系统的状态空间描述中显含时间系统的状态空间描述中显含时间系统的状态空间描述中显含时间系统的状态空间描述中显含时间 t t 时，即向量函数时，即向量函数时，即向量函数时，即向量函数 f f 和和和和 g g 或或或或时变系统，非定常系统。时变系统，非定常系统。时变系统，非定常系统。时变系统，非定常系统。系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵A A，B B，C C，D D是包含是包含是包含是包含 t t 的函数时，称相应的系统为的函数时，称相应的系统为状态空间中不显含时间状态空间中不显含时间状态空间中不显含时间状态空间中不显含时间 t t，定常系统。定常系统。定常系统。定常系统。第21页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章u u连续系统和离散系统连续系统和离散系统连续系统和离散系统连续系统和离散系统作用于系统的变量、表征系统形态的变量，都是时间作用于系统的变量、表征系统形态的变量，都是时间作用于系统的变量、表征系统形态的变量，都是时间作用于系统的变量、表征系统形态的变量，都是时间 t t 的连的连的连的连状态方程：微分方程的形式。状态方程：微分方程的形式。状态方程：微分方程的形式。状态方程：微分方程的形式。续变化过程。续变化过程。续变化过程。续变化过程。输出方程：连续的变换方程。输出方程：连续的变换方程。输出方程：连续的变换方程。输出方程：连续的变换方程。第22页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章系统的各个变量只取值于离散的时刻时，相应的变量间的因系统的各个变量只取值于离散的时刻时，相应的变量间的因系统的各个变量只取值于离散的时刻时，相应的变量间的因系统的各个变量只取值于离散的时刻时，相应的变量间的因时间系统简称为离散系统。时间系统简称为离散系统。时间系统简称为离散系统。时间系统简称为离散系统。果关系或变换关系，就必须采用离散时间系统来表征。离散果关系或变换关系，就必须采用离散时间系统来表征。离散果关系或变换关系，就必须采用离散时间系统来表征。离散果关系或变换关系，就必须采用离散时间系统来表征。离散输出方程：离散时间变换方程。输出方程：离散时间变换方程。输出方程：离散时间变换方程。输出方程：离散时间变换方程。状态方程：差分方程的形式。状态方程：差分方程的形式。状态方程：差分方程的形式。状态方程：差分方程的形式。第23页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章u u确定性系统和随机系统确定性系统和随机系统确定性系统和随机系统确定性系统和随机系统确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变化的，其确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变化的，其确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变化的，其确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变化的，其不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定的规律来不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定的规律来不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定的规律来不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定的规律来各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。描述，或者作用于系统的变化（包括控制和扰动）是随机变描述，或者作用于系统的变化（包括控制和扰动）是随机变描述，或者作用于系统的变化（包括控制和扰动）是随机变描述，或者作用于系统的变化（包括控制和扰动）是随机变化，或者两者蒹而有之。化，或者两者蒹而有之。化，或者两者蒹而有之。化，或者两者蒹而有之。第24页，共100页，编辑于2022年，星期二1.3 1.3 化输入化输入化输入化输入输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述第一章第一章由输入由输入由输入由输入输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。问题的提法：问题的提法：问题的提法：问题的提法：一个单输入一个单输入一个单输入一个单输入单输出线性定常系统，令单输出线性定常系统，令单输出线性定常系统，令单输出线性定常系统，令 y y 和和和和 u u 分别为其输出分别为其输出分别为其输出分别为其输出变量和输入变量，则可用单变量的高阶微分方程来描述：变量和输入变量，则可用单变量的高阶微分方程来描述：变量和输入变量，则可用单变量的高阶微分方程来描述：变量和输入变量，则可用单变量的高阶微分方程来描述：第25页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章而状态空间描述：而状态空间描述：而状态空间描述：而状态空间描述：A A为为为为 nn nn 矩阵，矩阵，矩阵，矩阵，b b 为为为为 n n1 1 矩矩矩矩阵阵，c c 为为 1n 1n矩矩矩矩阵阵，d d 为标为标量。量。量。量。归结为：选取适当的状态变量组与确定各个系数矩阵归结为：选取适当的状态变量组与确定各个系数矩阵归结为：选取适当的状态变量组与确定各个系数矩阵归结为：选取适当的状态变量组与确定各个系数矩阵A A，b b，c c和和和和d d。第26页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章算法：引入微分算子符号算法：引入微分算子符号算法：引入微分算子符号算法：引入微分算子符号当当当当 时，有理分式是严格真的时，有理分式是严格真的时，有理分式是严格真的时，有理分式是严格真的。当当当当 时，有理分式是真的。时，有理分式是真的。时，有理分式是真的。时，有理分式是真的。则则则则第27页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章当当当当 时，将上式改写为时，将上式改写为时，将上式改写为时，将上式改写为：改写为：改写为：改写为：改写为：第28页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章取状态变量组为：取状态变量组为：取状态变量组为：取状态变量组为：则则则则第29页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章则则则则第30页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章例：给定系统的输入例：给定系统的输入例：给定系统的输入例：给定系统的输入输出描述为输出描述为输出描述为输出描述为则则则则第31页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章当当当当 时，将有理分式进行严格真化，时，将有理分式进行严格真化，时，将有理分式进行严格真化，时，将有理分式进行严格真化，则则则则第32页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章则：则：则：则：第33页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章例：给定系统的输入例：给定系统的输入例：给定系统的输入例：给定系统的输入输出描述为输出描述为输出描述为输出描述为则则则则第34页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章1.4 1.4 状态方程的对角线规范形和约当规范形状态方程的对角线规范形和约当规范形状态方程的对角线规范形和约当规范形状态方程的对角线规范形和约当规范形线性定常系统的系统矩阵线性定常系统的系统矩阵线性定常系统的系统矩阵线性定常系统的系统矩阵 A A 的特征值是表征系统的动力学的特征值是表征系统的动力学的特征值是表征系统的动力学的特征值是表征系统的动力学特征的一个重要参量。特征的一个重要参量。特征的一个重要参量。特征的一个重要参量。对角线规范形对角线规范形对角线规范形对角线规范形给定系统的状态方程给定系统的状态方程给定系统的状态方程给定系统的状态方程系统的特征值定义为如下特征方程系统的特征值定义为如下特征方程系统的特征值定义为如下特征方程系统的特征值定义为如下特征方程的根。的根。的根。的根。第35页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章一个阶数为一个阶数为一个阶数为一个阶数为 n n 的系统，必有且仅有的系统，必有且仅有的系统，必有且仅有的系统，必有且仅有 n n 个特征值，可为实数或个特征值，可为实数或个特征值，可为实数或个特征值，可为实数或共轭复数共轭复数共轭复数共轭复数。称一个非零列向量称一个非零列向量称一个非零列向量称一个非零列向量 为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵 A A 的属于特征值的属于特征值的属于特征值的属于特征值 的特征向量，的特征向量，的特征向量，的特征向量，如果成立如果成立如果成立如果成立 。特征向量是不唯一的。特征向量是不唯一的。特征向量是不唯一的。特征向量是不唯一的。当当当当 n n 个特征值个特征值个特征值个特征值 为两两互异时，任取的为两两互异时，任取的为两两互异时，任取的为两两互异时，任取的 n n 个个个个特征向量特征向量特征向量特征向量 必是线性无关的。必是线性无关的。必是线性无关的。必是线性无关的。第36页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章并利用它们的特征向量组成变换矩阵并利用它们的特征向量组成变换矩阵并利用它们的特征向量组成变换矩阵并利用它们的特征向量组成变换矩阵 ，那么系统的状态方程在变换那么系统的状态方程在变换那么系统的状态方程在变换那么系统的状态方程在变换 下必可化为如下的下必可化为如下的下必可化为如下的下必可化为如下的对角线规范形。对角线规范形。对角线规范形。对角线规范形。结论：某系统，设其特征值结论：某系统，设其特征值结论：某系统，设其特征值结论：某系统，设其特征值 为两两互异，为两两互异，为两两互异，为两两互异，第37页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章证明：证明：证明：证明：由由由由 ，可导出，可导出，可导出，可导出其中其中其中其中可得到：可得到：可得到：可得到：左乘左乘左乘左乘 得：得：得：得：第38页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章例：给定线性定常系统的状态方程为例：给定线性定常系统的状态方程为例：给定线性定常系统的状态方程为例：给定线性定常系统的状态方程为解：特征值为解：特征值为解：特征值为解：特征值为化为对角线规范形。化为对角线规范形。化为对角线规范形。化为对角线规范形。第39页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章相应的一组特征向量为：相应的一组特征向量为：相应的一组特征向量为：相应的一组特征向量为：则则则则第40页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章即：即：即：即：第41页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章结论：结论：结论：结论：对角规范形，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成为对角规范形，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成为对角规范形，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成为对角规范形，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成为如果系统矩阵如果系统矩阵如果系统矩阵如果系统矩阵 A A A A 具有形式具有形式具有形式具有形式n n 个独立的状态变量方程。个独立的状态变量方程。个独立的状态变量方程。个独立的状态变量方程。第42页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章且其特征值且其特征值且其特征值且其特征值 两两不相等，则变换矩阵为两两不相等，则变换矩阵为两两不相等，则变换矩阵为两两不相等，则变换矩阵为结构特征的分析结构特征的分析结构特征的分析结构特征的分析。当特征值当特征值当特征值当特征值 中包含复数特征值时，中包含复数特征值时，中包含复数特征值时，中包含复数特征值时，、及及及及 都将为复数矩阵，没有实际物理含义。但不影响对系统都将为复数矩阵，没有实际物理含义。但不影响对系统都将为复数矩阵，没有实际物理含义。但不影响对系统都将为复数矩阵，没有实际物理含义。但不影响对系统第43页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章u u约当规范形约当规范形约当规范形约当规范形系统的特征值为非互异，则状态方程一般不能变换为对角线系统的特征值为非互异，则状态方程一般不能变换为对角线系统的特征值为非互异，则状态方程一般不能变换为对角线系统的特征值为非互异，则状态方程一般不能变换为对角线规范形，但可变换为准对角线规范形，即约当规范形。规范形，但可变换为准对角线规范形，即约当规范形。规范形，但可变换为准对角线规范形，即约当规范形。规范形，但可变换为准对角线规范形，即约当规范形。约当规范形约当规范形约当规范形约当规范形给定系统的状态方程，设其特征值为给定系统的状态方程，设其特征值为给定系统的状态方程，设其特征值为给定系统的状态方程，设其特征值为 ，则存在可，则存在可，则存在可，则存在可逆变换矩阵逆变换矩阵逆变换矩阵逆变换矩阵 Q Q Q Q，通过引入变换，通过引入变换，通过引入变换，通过引入变换 ，可使状态方，可使状态方，可使状态方，可使状态方程化为如下的约当规范形。程化为如下的约当规范形。程化为如下的约当规范形。程化为如下的约当规范形。第44页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章其中，其中，其中，其中，为为为为 矩阵，具有以下形式矩阵，具有以下形式矩阵，具有以下形式矩阵，具有以下形式 称为相应于特征值称为相应于特征值称为相应于特征值称为相应于特征值 的约当小块，且具有以下形式的约当小块，且具有以下形式的约当小块，且具有以下形式的约当小块，且具有以下形式第45页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章阵阵阵阵第46页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章结论：结论：结论：结论：矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 的特征值为各种重数的重值时，不能通过变换而实的特征值为各种重数的重值时，不能通过变换而实的特征值为各种重数的重值时，不能通过变换而实的特征值为各种重数的重值时，不能通过变换而实现完全解耦，约当规范形可能达到最简耦合形式。现完全解耦，约当规范形可能达到最简耦合形式。现完全解耦，约当规范形可能达到最简耦合形式。现完全解耦，约当规范形可能达到最简耦合形式。在这种规范形中，每一个状态变量的方程和下一序号的状在这种规范形中，每一个状态变量的方程和下一序号的状在这种规范形中，每一个状态变量的方程和下一序号的状在这种规范形中，每一个状态变量的方程和下一序号的状态变量构成耦合。态变量构成耦合。态变量构成耦合。态变量构成耦合。第47页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数设设设设 为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵 A A 的一个特征值，且有的一个特征值，且有的一个特征值，且有的一个特征值，且有则称则称则称则称 为为为为 的代数重数。的代数重数。的代数重数。的代数重数。再设再设再设再设则称则称则称则称 为为为为 的几何重数。的几何重数。的几何重数。的几何重数。第48页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章 的几何重数的几何重数的几何重数的几何重数 即为其约当小块的个数。即为其约当小块的个数。即为其约当小块的个数。即为其约当小块的个数。之和，即之和，即之和，即之和，即成立的非零向量成立的非零向量成立的非零向量成立的非零向量 的集合。的集合。的集合。的集合。而而而而 的代数重数的代数重数的代数重数的代数重数 ，则是所有属于，则是所有属于，则是所有属于，则是所有属于 的约当小块的阶数的约当小块的阶数的约当小块的阶数的约当小块的阶数 为为为为 的零空间的维数。的零空间的维数。的零空间的维数。的零空间的维数。而而而而 的零空间定义为，使的零空间定义为，使的零空间定义为，使的零空间定义为，使 亦即亦即亦即亦即 为为为为 的几何重数。的几何重数。的几何重数。的几何重数。第49页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章只有当所有特征值的几何重数等于其代数重数：只有当所有特征值的几何重数等于其代数重数：只有当所有特征值的几何重数等于其代数重数：只有当所有特征值的几何重数等于其代数重数：则规范形具有对角线规范形的形式则规范形具有对角线规范形的形式则规范形具有对角线规范形的形式则规范形具有对角线规范形的形式。广义特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量即即即即称一个非零向量称一个非零向量称一个非零向量称一个非零向量 是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵 A A A A 的属于的属于的属于的属于 的的的的 级广义特征向级广义特征向级广义特征向级广义特征向量，当且仅当量，当且仅当量，当且仅当量，当且仅当当当当当 k=1 k=1 k=1 k=1 时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。第50页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章广义特征向量具有三个基本性质广义特征向量具有三个基本性质广义特征向量具有三个基本性质广义特征向量具有三个基本性质性质性质性质性质1 1：设：设：设：设 是是是是 A A 的属于的属于的属于的属于 的的的的 级广义特征向量，则如下级广义特征向量，则如下级广义特征向量，则如下级广义特征向量，则如下定义的定义的定义的定义的 个向量必是线性无关的：个向量必是线性无关的：个向量必是线性无关的：个向量必是线性无关的：并且称此向量组为长度是并且称此向量组为长度是并且称此向量组为长度是并且称此向量组为长度是 的广义特征向量链。的广义特征向量链。的广义特征向量链。的广义特征向量链。第51页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章证明：只需证明使下式证明：只需证明使下式证明：只需证明使下式证明：只需证明使下式成立的常数必全为零，即成立的常数必全为零，即成立的常数必全为零，即成立的常数必全为零，即 ，将上式两边乘以将上式两边乘以将上式两边乘以将上式两边乘以 ，则得到下式，则得到下式，则得到下式，则得到下式，第52页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章则则则则已知已知已知已知 ，则，则，则，则同样，乘以同样，乘以同样，乘以同样，乘以 ，可导出，可导出，可导出，可导出则则则则则证明完成。则证明完成。则证明完成。则证明完成。第53页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章性质性质性质性质2 2：设：设：设：设 为为为为 A A 的代数重数为的代数重数为的代数重数为的代数重数为 的特征值，计算秩的特征值，计算秩的特征值，计算秩的特征值，计算秩，直到，直到，直到，直到 且且且且 为止。为止。为止。为止。再按如下方式生成广义特征向量链，再按如下方式生成广义特征向量链，再按如下方式生成广义特征向量链，再按如下方式生成广义特征向量链，假定假定假定假定 ，且设，且设，且设，且设第54页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章其中，其中，其中，其中，为满足为满足为满足为满足和和和和的非零列向量，的非零列向量，的非零列向量，的非零列向量，第55页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章性质性质性质性质3 3：矩阵：矩阵：矩阵：矩阵 A A 的属于不同特征值的广义特征向量之间必为的属于不同特征值的广义特征向量之间必为的属于不同特征值的广义特征向量之间必为的属于不同特征值的广义特征向量之间必为的列向量。则如表所生成的的列向量。则如表所生成的的列向量。则如表所生成的的列向量。则如表所生成的 个广义特征向量，个广义特征向量，个广义特征向量，个广义特征向量，必是线性无关的。必是线性无关的。必是线性无关的。必是线性无关的。线性无关。线性无关。线性无关。线性无关。和和和和 为满足为满足为满足为满足 线性无关，线性无关，线性无关，线性无关，第56页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章利用利用利用利用 ，可得到约当规范形。，可得到约当规范形。，可得到约当规范形。，可得到约当规范形。使具有重特征值的系统状态方程化为约当规范形的变换阵使具有重特征值的系统状态方程化为约当规范形的变换阵使具有重特征值的系统状态方程化为约当规范形的变换阵使具有重特征值的系统状态方程化为约当规范形的变换阵 Q Q，可按如下方式组成：可按如下方式组成：可按如下方式组成：可按如下方式组成：其中，其中，其中，其中，化为约当规范形的变换矩阵的组成化为约当规范形的变换矩阵的组成化为约当规范形的变换矩阵的组成化为约当规范形的变换矩阵的组成第57页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章例：给定线性定常系统的状态方程为例：给定线性定常系统的状态方程为例：给定线性定常系统的状态方程为例：给定线性定常系统的状态方程为将其化为约当规范形的计算步骤如下：将其化为约当规范形的计算步骤如下：将其化为约当规范形的计算步骤如下：将其化为约当规范形的计算步骤如下：其中：其中：其中：其中：第58页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章计算矩阵计算矩阵计算矩阵计算矩阵 A A A A 的特征值的特征值的特征值的特征值由由由由 ，可定出其特征值为，可定出其特征值为，可定出其特征值为，可定出其特征值为和和和和对对对对 ，计算，计算，计算，计算第59页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章因因因因 ，故计算可到此为止。，故计算可到此为止。，故计算可到此为止。，故计算可到此为止。第60页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章确定确定确定确定 A A A A 的属于的属于的属于的属于 的的的的 5 5 5 5 个线性无关的广义特征向量个线性无关的广义特征向量个线性无关的广义特征向量个线性无关的广义特征向量并且，满足并且，满足并且，满足并且，满足 和和和和首先，可列出下表首先，可列出下表首先，可列出下表首先，可列出下表可定出一个列向量为可定出一个列向量为可定出一个列向量为可定出一个列向量为 ，从而有，从而有，从而有，从而有第61页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章再满足再满足再满足再满足 线性无关线性无关线性无关线性无关可定出一个列向量可定出一个列向量可定出一个列向量可定出一个列向量第62页，共100页，编辑于2022年，星期二第一章第一章从而又导出从而又导出从而又导