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    2020年九年级数学中考综合复习4: 开放与探索性问题 复习讲义(免费下载).doc

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    2020年九年级数学中考综合复习4: 开放与探索性问题 复习讲义(免费下载).doc

    综合复习四.开放与探索性问题.综合评述:开放与探索性问题改变了过去试题形式单一,知识点考查僵硬,不能充分调动学生的创新意识和探究兴趣的缺点,为学生提供了更广阔的思维空间,正因为如此,开放与探究性题成为近几年中考的热点题型之一。一、开放性问题这类题一般没有具体的标准答案,解题时要灵活运用所学基础知识,多层次、多角度地思考问题,解决问题,一般答案只要符合题意即可。二、探究性问题探究性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论,需要经过推断、补充并加以证明的题型,探究性问题一般分为三类:1、条件探索型题;2、结论探究型题;3、探究存在型题。条件型题是指所给问题中结论明确,需要完备条件的题目;结论探究型题是指题目中的结论不确定,不唯一,或题目结论需要类比,引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论。探究存在型题是指在一定的基础上,需探究发现某种数学关系是否存在的题目。这类问题具有较强的综合性,涉及的数学基础知识非常广泛。这种题型既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度,又能较好的考查学生的观察、分析、概括能力,因此复习时,既要重视基础知识,又要强化数学思想方法训练,切实提高自己分析问题、解决问题的能力。.典型例题剖析:§.例1、多项式加上一个单项式后,使它成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是 .(填上一个你认为正确的即可)思路点拨:本题主要考查了完全平方式。解:按完全平方公式得,另外,故其答案是或或或.规律总结:本题属于条件探索题,可以从完全平方式入手,多层次、多角度思考问题,可繁可简,可难可易,一般答案只要符合题意即可。常见错误:(1)错以为只有是完全平方式,其实也是完全平方式;(2)完全平方式中容易忽略中间项系数.§.例2、(2019年荆门)多项式可以分解成两个一次因式的积,整数的值是 .(写出一个即可)思路点拨:若让考生分解,则考生易得,考查面单一;若将代替,同时给定在整数范围内可因式分解的条件且要求探索的值,此时的值具有开放性.解答时,应根据根与系数的关系定理,先将分解,然后可得或或,或.答案:或或.规律总结:解答此类条件开放题,关键是选准突破口,比如本题中根与系数的关系是突破口。常见错误:因选不准突破口而导致乱解、错解。§.例3、如图,为的直径,是的切线,切点为,为的割线,的平分线交于点,交于,交于,要使,则应满足的条件是 .(只需填一个即可)思路点拨:本题考查圆的性质及等腰三角形的判定。解:方法一:根据等腰三角形“三线合一”的性质,只要,就可以得到;图 1FP B CDAEO方法二:根据圆的弦切角定理及三角形外角定理,得,只需平分就可以得到.具体答案为:(或平分)规律总结:对于答案不唯一的题目,其解法有选择性,可择简而解之。常见错误:忽略题目中限制条件而导致出错,如填成.图 2A BFED C§.例4、如图,在中,点、在对角线上,且.请你以为一个端点和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可).(1)连结 ;(2)猜想:;(3)证明: ;思路点拨:本题立足于一个常见的基本图形,把传统证明题改造成一个要求学生发现、猜想、证明的几何题,考查学生的发散思维能力。具体解法为:解法一:(1)连结;(2)猜想:;O图 3A BFED C(3)证法一:四边形是平行四边形,又证法二:如图,连结、,设交于点.四边形是平行四边形,又,即四边形是平行四边形解法二:(1)连结;(2)猜想:;(3)证明过程略.规律总结:此类题目连结、猜想、证明是一体的,注意各个环节的具体要求。常见错误:只注意问题的开放性,忽视问题的限制性条件而导致出错。§.例5、已知,如图,是的直径,是上一点,连结,过点作直线于点(),点是上任意一点(点、除外),直线交于点,连结与直线交于点.(1)求证:;(2)若点是(点除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立,请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由。图 4-1A BD ECGHFE DOA BCFGOA BCD(E)OF(G)图 4-2图 4-3思路点拨:(1)欲证,可证,进而可证;(2)当点是(点除外)上任意一点时,上述结论仍成立。如图,当点是(点除外)上任意一点(不包括点)时,连结,便有,即;如图,当点与点重合时,与点重合,可得,故结论仍然成立。具体解法为:解:(1)证明:延长交于又,即(2)当点是(点除外)上任意一点时,上述结论仍成立.如图,当点是(点除外)上任意一点(不包括点)时,连结,又,即如图,当点与点重合时,与点重合,有故结论仍然成立.具体解法为:规律总结:这类题属于结论探究题,结论到底如何,需要探究一番才见分晓,探索时注意分清各种特殊情况。常见错误:忽略点点是(点除外)上任意一点,针对特殊情况定论,会出现偏差。§.例6、(2019年兰州)如图,已知是的直径,交于点,过点作的切线交于点,且,由上述条件,你能推出的正确结论有:(要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结果中,不写推理过程,至少写出个结论,结论不能类同)。图 5A BECDO思路点拨:本题属于结论开放性题。解:(1)从三角形看:,(2)从角看:,(3)从边看:,.从中任选出个或个以上的结论即可.规律总结:这类开放题,由于结论比较多,比较杂,注意分类探求,另外对于结论的得出不论难易,只要符合要求即可,因此难易程度上具有选择性。常见错误:忽略开放题要求而出错,比如本题写出个结论,缺至少个结论。§.例7、在一个服装厂里有有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)。现找出其中的一种,测得,今要从这种三角形布料中剪出一种扇形,做成不同形状的玩具,使扇形的边缘半径恰好在的边上,且扇形的弧与的其他边相切,请设计出所有符合题意的方案示意图,并求出扇形的半径(只要求画出图形,并直接写出扇形半径)。思路点拨:题目要求用画示意图的方式作答,解答的关键是确定扇形的圆心,可从圆心在的三个顶点上和圆心在的三边上的两个角度来考虑。解:如图:图 6图 7规律总结:本题是一道方案设计题,也是一道策略开放题,解答这类问题,注意审清设计方案的要求,找准突破口。常见错误:(1)忽略扇形要求出错;(2)忘记标出扇形半径;(3)方案设计不全。§.例8、(2019年温州市)小明家用瓷砖装修卫生间,还有一块墙角面未完工(如图甲所示),他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设,请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图,并标出所选用每块余料的编号)。图 甲图 乙解析:这是一道策略开放的方案设计题,考查图形的分割与组合能力,注意从原图形中的边角入手分割与组合。解答:列举以下四种铺设的示意图供参考。评讲:解答这类题其关键是抓住原图的边角特征进行合理分割与组合,同时注意与密铺知识联系起来。§.例9、(2019年河南)观察下表,填表后再解答问题:(1)完成下列表格序号123图形的个数824的个数14(2)试求第几个图形中“”的个数和“”的个数相等?思路点拨:本题属于规律探究题.仔细观察图形,会发现:图中含“”个,“”个;图中含“”个,“”个;图中含“”个,“”个,由此我们可以大胆预测图中含“”个,“”个。解:(1),;(2)由(1)可知图中含“”个,“”个,根据题意得:解得:(舍去),故第个图形中“”的个数和“”的个数相等。规律总结:解规律探究题要求考生用归纳法从具体、特殊事实中探究其存在的规律,把潜藏在表面现象中的一般规律挖掘出来,如果特殊事例不够,还可以自行再列出。常见错误:(1)因找不准一般规律出现误解;(2)忽略的实际意义而出错,如第(2)题中第个图形。§.例10、(2019年南平)在某次数学变换游戏中,我们把整数0,1,2,100称为“旧数”,游戏的变换规则是:将旧数先平方,再除以,所得的数称为“新数”。(1)请把旧数和按上述规则变换成新数;(2)经过上述规则变换后,我们发现许多旧数变小了,有人断言:“按照上述规则,所有的新数都不等于它的旧数.”你认为这种说法对吗?若不对,请求出所有不符合这一说法的旧数;(3)请求出按上述规则变换后减小了最多的旧数(写出解答过程)。思路点拨:本题属于趣味性探索题,增强了中考试题的娱乐性、趣味性及新颖性。解:(1),;(2)不对。设这个数为个,则,解得:,即不符合说法的旧数有和.(3)设减小的量为,则所以当时,有最大值,且最大值为,即变换后减小最多的旧数为.规律总结:解答趣味探索题关键是理解其游戏规则。常见错误:(1)找不准游戏规则的实质出错;(2)以特殊问题得一般结论出错。§.例11、如图,已知二次函数的图象与轴交于点、点(点在轴的正半轴上),与轴交于点,其顶点为,直线的函数关系式为,又.(1)求、的值;(2)探究:在该二次函数的图象上是否存在点(点与点、不重合),使得是以为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点的坐标,若不存在,请你说明理由。思路点拨:本题属于开放型探索题,主要考查一次函数与二次函数性质的综合应用。解:(1)由直线与轴交于点,得(,)图 8FOx y EA BCD点坐标为(,)点在二次函数的图象上,解得故顶点为(,)又(,)在图象上故,(2)在二次函数的图象上存在点(点与点、不重合),使得是以为一条直角边的直角三角形由(1)可知,直线与轴的交点(,)又,若连结,是以为一条直角边的直角三角形,且点(,)在二次函数的图象上,则点就是所求的点.解法一:设,点在二次函数的图象上,则是以为一条直角边的直角三角形.设直线与轴交于点,则(,)解方程组得或点(,)为所求的.综合,得二次函数的图象上存在点(,)或(,),使得是以为一条直角边的直角三角形.解法二:在轴上取一点(,),则,由对称性可知:设直线与二次函数的图象交于点,由(1)知点坐标为(,)所以直线的函数关系式为(以下解法一同)规律总结:对于存在型探索题,其解题思路为:先对结论作出肯定的假设,然后由肯定假设出发,结合已知条件进行正确的计算推理,再对得出的结果进行分析检验,说明假设是否正确,由此得出符合条件的数学对象存在或不存在。常见错误:(1)审题不清,思维混乱导致出错;(2)对存在情况找不全而出错。§.例12、(2019年南宁市)如图,在平面直角坐标系中,、两点的坐标分别为(,),(,),以为直径的半圆与轴交于点,以为一边作正方形(1)求,两点的坐标;(2)连接,试判断直线是否与相切?说明你的理由;(3)在轴上是否存在一点,使得的周长最小?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。思路点拨:(1)根据坐标知识和勾股定理易求;(2)思路一:连结、,在中,易求,再据切线的性质可知,再利用,故.思路二:利用勾股定理的逆定理证明;思路三:连结,易证明,因为是等腰三角形,又因为也是等腰三角形,再利用等腰三角形的性质及等量公理可得:,从而得证;(3)思路一:因为的周长应由线段、决定,而是一定的,要使的周长最小,只有是和最小,要满足此要求,只有利用“线段公理”找到点关于轴的对称点即可;思路二:本题也可利用一次函数知识,建立的直线方程,又因为轴上的点也在直线上,从而得出点的坐标。解:(1)(,),(,),四边形是正方形,的半径为5(,)连接,在中,(,)(2)方法一:直线是的切线。证明:连接、,如图在中,又, ,是的切线。QAEDC8xMPOM/图9-1AEBDC8xMOP图9-2M/Qyy22方法二:直线是的切线 证明:连接如图,在中, 在中 是直角三角形,即 直线是相切. 方法三:直线是的切线 证明:连接,如图,在中,即 直线是的切线(3)方法一:作关于轴的对称点,则(,),连接,与轴交于点,此时的和最小,因为为定值,所以的周长最小。,即,解得:,得,.方法二:作关于轴的对称点,则(,),连接,与轴交于点,此时的和最小,因为为定值,所以的周长最小。 设直线的解析式为把(,)和(,)分别代入得,解得:,当时,得,.评讲:这是一道较复杂的几何综合题,熟练掌握切线的性质及切线长定理、勾股定理、线段公理、线段的中垂线性质及平面直角坐标系的相关知识是解决本题的关键。.综合巩固练习:一、课改区中考试题练习1.(2019年呼和浩特市)在四边形中,顺次连接四边中点、,构成一个新的四边形,请你对四边形填加一个条件,使四边形成为一个菱形这个条件是 2.(年湖南衡阳)观察算式:; 用代数式表示这个规律(为正整数):.3.(2019年吉林省)如图,用灰白两色正方形瓷砖铺设地面,第个图案中白色瓷砖数为_图 104.(2019年广西贺州市)观察图中一列有规律的数,然后在“?”处填上一个合适的数,这个数是_A2A1A3A4A6A5B图 1224158303548?图 115(2019年广西百色市)如图,是直角三角形,且,垂足为,垂足为,垂足为,垂足为,则线段(为自然数)的长为( )、 、 、 、图 13O(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0)x(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(3,2)(4,2)(4,3)(5,4)(5,3)(5,2)y图 146(2019年江苏泰州市)如图,每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵,根据图中提供的信息,用含的等式表示第个正方形点阵中的规律_7.(2019年德阳)如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0)根据这个规律探索可得,第个点的坐标为_8(2019年河南省)如图,将图所示的正六边形进行进行分割得到图,再将图中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图, 再将图中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,则第个图形中,共有_个正六边形。图图图图 159.(2019年资阳)设, (为大于的自然数)(1)探究是否为的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”. 试找出,这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数,并指出当满足什么条件时,为完全平方数(不必说明理由)10.(2019年山东省)如图,中,、分别是、上的点,与交于点给出下列三个条件:;(1)上述三个条件中,哪两个条件可判定是等腰三角形(用序号写出所有情形);O图 16EDBACMDBAC图 17(2)选择第(1)小题中的一种情形,证明是等腰三角形。11.(2019年随州市)如图,矩形中,是的中点。(1)求证:;(2)请你探索,当矩形中的一组邻边满足何种数量关系时,有成立,说明你的理由。12.(2019年成都市)已知:如图,在中,是的中点,是线段延长线上一点,过点作的平行线与线段的延长线交于点,连结、(1)求证:;FEDBAC图 18PQBAC图 19(2)若,试判断四边形是什么样的四边形,并证明你的结论。13(2019年常德市)如图,是等边内的一点,连结、,以为边作,且,连结(1)观察并猜想与之间的大小关系,并证明你的结论。(2)若,连结,试判断的形状,并说明理由14.(2019年宁波)已知关于的方程.(1)当取何值时,方程有两个实数根;(2)为选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求这两个根.15.(2019云南省)已知:如图,抛物线经过(1,0)、(5,0)、(0,5)三点(1)求抛物线的函数关系式;(2)若过点的直线与抛物线相交于点(4,),请求出的面积的值;(3)在抛物线上求一点使得为等腰三角形并写出点的坐标;(4)除(3)中所求的点外,在抛物线上是否还存在其它的点使得为等腰三角形?若存在,请求出一共有几个满足条件的点(要求简要说明理由,但不证明);若不存在这样的点,请说明理由xyCBAE11O图 20图 2116.(2019年绵阳市)如图,在正方形中,点是上一动点,连结,分别过点、作、,垂足分别为、,如图(1)请探索、这三条线段长度具有怎样的数量关系若点在的延长线上(如图),那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点在的延长线上呢(如图)?请分别直接写出结论;(2)请在(1)中的三个结论中选择一个加以证明。17.(2019年荆门市)将两块全等的含角的三角尺如图22摆放在一起,设较短直角边为1图22300B DAC300图 23AB CDD1OB1OC1O图 24AOBODOCO图 25AOBODOCO(1)四边形是平行四边形吗?说出你的结论和理由:_(2)如图23,将沿射线方向平移到的位置,四边形是平行四边形吗?说出你的结论和理由:_(3)在沿射线方向平移的过程中,当点的移动距离为_时,四边形为矩形,其理由是_;当点的移动距离为_时,四边形为菱形,其理由是_(图23、图24用于探究)二、经典题练习1.如图,在中,为上一个动点(点与、不重合),且交于点,交于点(1)试探究,当满足什么条件时,四边形是菱形?并说明理由(2)在(1)的条件下,满足什么条件时,四边形是正方形?请说明理由。图 26图 27图 282.如图,是的直径,是的切线,切点是点是上一个动点,连接试探索点运动到什么位置时,是的平分线,请说明理由3.如图,是的直径,、都是的切点,、分别是切点。(1)判定的形状,并说明理由(2)设,的半径为,试探究与,之间满足的关系式,并说明理由。

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