初中数学竞赛——圆1.圆的基本性质(共13页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上第1讲 圆的基本性质知识总结归纳一圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径（3）圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”。（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆注意：同圆或等圆的半径相等二弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作，读作弧（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形三垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（3）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等四圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等五直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交六.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线七.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。典型例题一. 垂径定理及圆的对称性【例1】 如图所示，在与三角形所组成的图形中，求证:【例2】 如图所示，同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，试证明：【例3】 如图，矩形与圆心在上的交于点，则_【例4】 如图所示，在中，若以为圆心、的长为半径的圆交于，则_【例5】 如图，已知的半径是，点到圆心的距离为，求过点的所有弦中最短弦的长度【例6】 如图，在的直径上取一点，过作两条弦、，若，求证：BDQPOCAM二. 圆心角和圆周角【例7】 如图，是的外接圆，已知，则的大小为_【例8】 已知：如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是_【例9】 如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是，则的度数为_【例10】 如图，是的直径，是的弦若，则的大小为_【例11】 如图，已知，弧的度数为，求弧和的度数【例12】 已知如图，的外角平分线交其外接圆于，连接、，求证：【例13】 如图，锐角内接于圆，作交劣弧于点，连结，求OBCEA【例14】 如图，是的直径，点，都在上，若，求【例15】 过上一点作弦，使，如图，过点作于，于，求证：【例16】 已知点、顺次在圆上，弧，于，求证：OCDABM三. 直线与圆相切【例17】 如图，为等腰三角形，是底边的中点，与腰相切于点，求证：与相切【例18】 如图所示在中，的平分线交于，为上一点，以为圆心，以的长为半径画圆求证：（1）是的切线；（2）【例19】 如图，已知以直角梯形中，以为直径的圆与相切，求证：以为直径的圆与相切【例20】 已知：如图，是的直径，为上一点，过点，于，平分求证：为的切线【例21】 如图，分别切于、两点，满，且，求 BCAPO【例22】 如图，与直角的斜边相切于，与直角边相交于点，且已知，求的半径OECBDAEDCBA【例23】 如图，在中，过、三点的圆交于点，且与相切，若，求的长思维飞跃【例24】 如图，的直径为，是直径上一点，是过的一条弦，过、分别作于点，于点，求与的长度之差OAFEBCGD【例25】 如图，为外一点，过点引两条割线和，点分别是弧的中点，连结交，与求证：为等腰三角形【例26】 如图，在半径为的中，引两条互相垂直的直径和，在上取点，弦交于，弦交于，试证：四边形的面积为OQPCEBAF【例27】 如图，已知是的直径，是的切线，平行于弦过点作于点，连结与交于点，问与是否相等？证明你的结论OPEDMCB【例28】 若圆内接四边形的对角线互相垂直，求证：（1）过对角线交点且平分一边的直线必垂直于这边的对边；（2）从外接圆圆心到一边的距离等于这边对边的一半作业1. 如图，是的弦，垂足为，交于点，点在上（1）若，求的度数；（2）若，求的长2. 如图所示，已知为的直径，是弦，且于点连接（1）求证：（2）若，求的直径NFMBACO3. 如图，已知内接于，弦，是直径，是弧的中点，求证：（1）平分；（2）弧弧4. 如图，是的直径，且，弦的长为，若弦的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点到的距离分别为，则等于( )A B C D5. 如图，过的直径上两点，分别作弦，若求证：（1）弧弧；（2）6. 如下图所示，以的直角边为直径作半圆，交斜边于，交于，求证：是的切线；7. 如图，切于点，直线交于点，弦，求证：8. 已知：如图，在中，以为直径的半圆与边相交于点，切线，垂足为点求证：（1）是等边三角形；（2）9. 如图，已知是的内接三角形，的直径交于，于，延长交于，求证：OGFECDBA10. 如图，延长的半径到，使得，是圆的一条切线，是切点，是在上的射影求证：OABDCT11. 如图，已知圆内接，为弧的中点，求证：CBAD专心-专注-专业