专题21：第4章解三角形之一字型-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

21第4章解三角形之一字型学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A海里B海里C120海里D60海里【答案】B【解析】【分析】过点C作CDAB于点D，先解RtACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB【详解】如图，过点C作CDAB于点D，则ACD=30°，BCD=45°，在RtACD中，AD=CA=×60=30（海里），CD=CA·cosACD=60×=（海里），BCD=45°，BDC=90°，在RtBCD中，BD=CD，AB=AD+BD=AD+CD=（30+）海里，故选：B【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线2如图，港口在观测站的正东方向，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】过点A作ADOB于D先解RtAOD，得出AD=OA=1，再由ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=AD=2【详解】如图，过点A作ADOB于D在RtAOD中，ADO=90°，AOD=30°，OA=2，AD=OA=1在RtABD中，ADB=90°，B=CAB-AOB=75°-30°=45°，BD=AD=1，AB=AD=即该船航行的距离（即AB的长）为km故选：C【点睛】此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键3如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（ ）A160米B（60+160）C160米D360米【答案】C【解析】【分析】过点A作ADBC于点D.根据三角函数关系求出BD、CD的长，进而可求出BC的长.【详解】如图所示，过点A作ADBC于点D.在RtABD中，BAD30°，AD120m，BDADtan30°120×m； 在RtADC中，DAC60°，CDADtan60°120×m.BCBDDCm.故选C.【点睛】本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值.4如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为，看这栋楼底部C处的俯角度数为，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（ ）A100(tan+tan)mB100(sin+sin)mCD【答案】A【解析】【分析】过点A作AHBC于点H，利用解直角三角形分别求出BH，CH的长，再根据BC=BH+CH，代入计算可求出BC的长.【详解】过点A作AHBC于点H， AHB=AHC=90°， 在RtABH中， BH=AHtanBAH=100tan； 在RtACH中， CH=AHtanCAH=100tan； BC=BH+CH=100tan+100tan=100（tan+tan）m. 故选：A.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确确定直角三角形是解题的关键.二、填空题5如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为_海里【答案】20【解析】【分析】过点A作ACBD，根据方位角及三角函数即可求解【详解】如图，过点A作ACBD，依题意可得ABC=45°ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)AC=BC=ABsin45°=10(海里)在RtACD中，ADC=90°-60°=30°AD=2AC=20 (海里)故答案为：20【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值6如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是_（结果保留一位小数，）【答案】20.8【解析】【分析】证明ABP是等腰三角形，过P作PDAB，从而求得PD的长即可【详解】解：过P作PDAB于D，AB=24，PAB=90°-60°=30°，PBD=90°-30°=60°，BPD=30°，APB=30°，即PAB=APB，AB=BP=24，在直角PBD中，PD=BPsinPBD=24×=20.8.故答案为：20.8.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键7如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4 则自动扶梯的垂直高度=_（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】先推出ABC=BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案【详解】BAC+ABC=BCD=60°，BAC=30°，ABC=30°，ABC=BAC，BC=AC=4，在RtBCD中，BD=BCsin60°=4×=，故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键8某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽_【答案】【解析】【分析】添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，根据，可得CF的长，根据背水坡AD的坡度，可得DE的长，且AB=EF，坝底CD=DE+EF+FC，可得出答案【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，且，而，m，又背水坡AD的坡度，故DE=30m，且EF=AB=3m，坝底CD=DE+EF+FC=30+3+16=49m，故答案为：49m【点睛】本题主要考察了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边斜边，掌握定义就不会算错9如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为_海里（精确到1海里，参考数据1.414，1.732）【答案】38【解析】【分析】作CDAB于点D，再求得AB、ACD、BCD的值，然后根据锐角三角函数求出CD的长即可解答【详解】解：如图，作CDAB于点D，根据题意可知：AB30×（108）60（海里），ACD45°，BCD30°，在RtACD中，CDAD，在RtCBD中，BDABAD60CD，tan30°，即，解得CD38（海里）答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里故答案为38【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键10如图所示，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是_海里(结果精确到个位，参考数据：，)【答案】24【解析】【分析】作BDAC于点D，在直角ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角BCD中，利用三角函数即可求得BC的长【详解】CBA=25°+50°=75°，作BDAC于点D，则CAB=（90°70°）+（90°50°）=20°+40°=60°，ABD=30°，CBD=75°30°=45°，在直角ABD中，BD=ABsinCAB=20×sin60°=20×=10，在直角BCD中，CBD=45°，则BC=BD=10×=1010×2.4=24（海里），故答案是：24【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确求得CBD以及CAB的度数是解决本题的关键三、解答题11为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角ADF=45°，条幅底端E点的俯角为FDE=30°，DFAB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米）【答案】33.1米【解析】【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可【详解】解：过点D作DFAB，如图所示：在RtADF中，DF=BC=21米，ADF=45°AF=DF=21米 在RtEDF中，DF=21米，EDF=30°EF=DF×tan30°=米 AE=AF+BF=+2133.1米答：条幅的长AE约是33.1米【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长12如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度，已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是，底部C点的俯角是，求乙栋楼房的高度（结果保留根号）【答案】18(+1)m【解析】【分析】根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解【详解】如图，依题意可得BCA=45°，ABC是等腰直角三角形，AB=CE=DBE=30°DE=BE×tan30°=18的高度为CE+ED=18(+1)m【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义13汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°(如图)则A，B两个村庄间的距离是多少米(结果保留根号)【答案】A，B两个村庄间的距离300米【解析】【分析】根据两个俯角的度数可知ABP是等腰三角形，ABBP，在直角PBC中，根据三角函数就可求得BP的长【详解】解：过P作AB的垂线，垂足是C，由题意得：AAPQ30°，PBCBPQ60°，APB60°30°，APBA，ABPB在RtBCP中，C90°，PBC60°，PC450米，PBABPB答：A，B两个村庄间的距离300米【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，正确理解解直角三角形的条件，熟练运用三角函数是解题关键14一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁（参考数据：）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里【解析】【分析】（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.【详解】解：（1）过A点作于点D，由题意可得， 在中，渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）在中，在中，即A，C之间的距离为79.50海里.【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.15热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：）【答案】【解析】【分析】过点A作于点D，根据仰角和俯角的定义得到和的度数，利用特殊角的正切值求出BD和CD的长，加起来得到BC的长【详解】解：如图，过点A作于点D，根据题意，【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握利用特殊角的三角形函数值解直角三角形的方法16如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向（北偏西方向），2小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东方向求此时船与小岛的距离（结果保留整数，参考数据：，）【答案】此时船与小岛的距离约为44海里【解析】【分析】过P作PHAB，设PH=x，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x值即可求解【详解】如图，过P作PHAB，设PH=x，由题意，AB=60，PBH=30º，PAH=45º，在RtPHA中，AH=PH=x,在RtPBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，tan30º=，即，解得：，PB=2x=44（海里），答：此时船与小岛的距离约为44海里【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键17如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、，测得，千米，求、两点间的距离（参考数据：，结果精确到1千米）【答案】、两点间的距离约为11千米【解析】【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得【详解】如图，过点C作于点D在中，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、两点间的距离约为11千米【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键18如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（17）【答案】32.4m【解析】【分析】【详解】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解试题解析：如图，过点B作BECD于点E，根据题意，DBE=45°，CBE=30°ABAC，CDAC，四边形ABEC为矩形，CE=AB=12m，在RtCBE中，cotCBE=，BE=CEcot30°=12×=12，在RtBDE中，由DBE=45°，得DE=BE=12CD=CE+DE=12（+1）32.4答：楼房CD的高度约为32.4m考点：解直角三角形的应用仰角俯角问题19如图所示，一堤坝的坡角，坡面长度米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到 米)(参考数据：，)【答案】6.58米【解析】试题分析：过A点作AECD于E在RtABE中，根据三角函数可得AE，BE，在RtADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DEBE即可求解试题解析：过A点作AECD于E 在RtABE中，ABE=62° AE=ABsin62°=25×0.88=22米，BE=ABcos62°=25×0.47=11.75米， 在RtADE中，ADB=50°， DE=18米，DB=DEBE6.58米 故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题20如图，小军想测量他所在的位置到池塘中心的亭子的距离，首先，他走到池塘的一侧，找到位置使，此时恰好也为，然后走到池塘的另一侧，找到位置使，且位置与亭子在同一直线上，小军测得求位置到亭子的距离(参考数据：，)【答案】位置到亭子的距离约为【解析】【分析】先根据题目意思证明，再把的值计算出来，根据题中所给的三角函数值即可得到答案；【详解】解：如图，过点作于点，由题意知，根据勾股定理得，在中，故，位置到亭子的距离约为【点睛】本题主要考查了等腰三角形、勾股定理以及三角函数，掌握知识点、灵活运用所学知识是解题的关键