2021年中考数学必考点对点突破的55个特色专题专题18 等腰、等边三角形问题（解析版）（免费下载）.docx

专题18 等腰、等边三角形问题一、等腰三角形1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。3.判定（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。三、解题方法要领1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。【例题1】（2020临沂）如图，在ABC中，ABAC，A40°，CDAB，则BCD（）A40°B50°C60°D70°【答案】D【解析】根据等腰三角形的性质可求ACB，再根据平行线的性质可求BCD在ABC中，ABAC，A40°，ACB70°，CDAB，ACD180°A140°，BCDACDACB70°【对点练习】如图所示，点D是ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）AACBC BAC=BC CAABC DA=ABC【答案】A 【解析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合根据等腰三角形的两个底角相等，由AD=BD得到A=ABD，所以ABCA，则对各C、D选项进行判断；根据大边对大角可对A、B进行判断AD=BD，A=ABD，ABCA，所以C选项和D选项错误；ACBC，所以A选项正确；B选项错误【例题2】（2020宁波）BDE和FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）AABC的周长BAFH的周长C四边形FBGH的周长D四边形ADEC的周长【答案】A【解析】证明AFHCHG（AAS），得出AFCH由题意可知BEFH，则得出五边形DECHF的周长AB+BC，则可得出答案GFH为等边三角形，FHGH，FHG60°，AHF+GHC120°，ABC为等边三角形，ABBCAC，ACBA60°，GHC+HGC120°，AHFHGC，AFHCHG（AAS），AFCHBDE和FGH是两个全等的等边三角形，BEFH，五边形DECHF的周长DE+CE+CH+FH+DFBD+CE+AF+BE+DF，（BD+DF+AF）+（CE+BE），AB+BC只需知道ABC的周长即可【对点练习】如图所示，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P则APE的度数为 °【答案】60【解析】根据BD=CE可得CD=AE，即可证明ACDBAE，得CAD=ABE，再根据内角和为180°的性质即可解题。BD=CE，BCBD=ACCE，即CD=AE，在ACD与BAE中，ACDBAE（SAS），CAD=ABE，CAD+APE+AEB=180°，ABE+BAE+AEB=180°，APE=BAE=60°【例题3】（2020台州）如图，已知ABAC，ADAE，BD和CE相交于点O（1）求证：ABDACE；（2）判断BOC的形状，并说明理由【答案】见解析。【分析】（1）由“SAS”可证ABDACE；（2）由全等三角形的性质可得ABDACE，由等腰三角形的性质可得ABCACB，可求OBCOCB，可得BOCO，即可得结论【解答】证明：（1）ABAC，BADCAE，ADAE，ABDACE（SAS）；（2）BOC是等腰三角形，理由如下：ABDACE，ABDACE，ABAC，ABCACB，ABCABDACBACE，OBCOCB，BOCO，BOC是等腰三角形【对点练习】如图，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于点O，AC=BD.求证： (1)BC=AD； (2)OAB是等腰三角形.【答案】见解析。【解析】证明：（1）ACBC，BDAD，D=C=90°.在RtACB和RtBDA中，ACBBDA(HL).BC=AD.（2）由ACBBDA，得CAB=DBA，OAB是等腰三角形.【对点练习】已知：在ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DEAB，DFBC，垂足分别为点E，F，且DE=DF求证：ABC是等边三角形【答案】见解析。【解析】只要证明RtADERtCDF，推出A=C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；证明：DEAB，DFBC，垂足分别为点E，F，AED=CFD=90°，D为AC的中点，AD=DC，在RtADE和RtCDF中，RtADERtCDF，A=C，BA=BC，AB=AC，AB=BC=AC，ABC是等边三角形【对点练习】如图，ABC中，AB=AC，A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC（1）求ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长【答案】（1）ECD的度数是36°；（2）BC长是5【解析】（1）DE垂直平分ACCE=AE，ECD=A=36°（2）AB=AC，A=36°，B=ACB=72°，BEC=A+ECD=72°，BEC=B，BC=EC=5一、选择题1（2020聊城）如图，在ABC中，ABAC，C65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DFAB交AC于点E，则FEC的度数是（）A120°B130°C145°D150°【答案】B【解析】由等腰三角形的性质得出BC65°，由平行线的性质得出CDEB65°，再由三角形的外角性质即可得出答案ABAC，C65°，BC65°，DFAB，CDEB65°，FECCDE+C65°+65°130°.2（2020南充）如图，在等腰ABC中，BD为ABC的平分线，A36°，ABACa，BCb，则CD（）Aa+b2Ba-b2CabDba【答案】C【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出BDBCAD，进而解答即可在等腰ABC中，BD为ABC的平分线，A36°，ABCC2ABD72°，ABD36°A，BDAD，BDCA+ABD72°C，BDBC，ABACa，BCb，CDACADab3（2020徐州）如图，AB是O的弦，点C在过点B的切线上，OCOA，OC交AB于点P若BPC70°，则ABC的度数等于（）A75°B70°C65°D60°【答案】B【解析】先利用对顶角相等和互余得到A20°，再利用等腰三角形的性质得到OBAA20°，然后根据切线的性质得到OBBC，从而利用互余计算出ABC的度数OCOA，AOC90°，APOBPC70°，A90°70°20°，OAOB，OBAA20°，BC为O的切线，OBBC，OBC90°，ABC90°20°70°4.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）A B C D不能确定【答案】B 【解析】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解如图，等边三角形的边长为3，高线AH=3×=，SABC=BCAH=ABPD+BCPE+ACPF，×3AH=×3PD+×3PE+×3PF，PD+PE+PF=AH=，即点P到三角形三边距离之和为5.（2019浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若BDE=75°，则CDE的度数是（    ）A. 60°                              B. 65°                           C. 75°                                D. 80°【答案】D【解析】考点是三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质。OC=CD=DE，O=ODC，DCE=DEC，设O=ODC=x，DCE=DEC=2x，CDE=180°-DCE-DEC=180°-4x，BDE=75°，ODC+CDE+BDE=180°，即x+180°-4x+75°=180°，解得：x=25°，CDE=180°-4x=80°.6.（2019湖南长沙）如图，RtABC中，C90°，B30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则CAD的度数是（）A20°B30°C45°D60°【答案】B 【解析】在ABC中，B30°，C90°，BAC180°BC60°，由作图可知MN为AB的中垂线，DADB，DABB30°，CADBACDAB30°二、填空题7（2020台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的DEF的周长是【答案】6【解析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，EF2，DEAB，DFAC，DEF是等边三角形，剪下的DEF的周长是2×368（2020牡丹江）如图，在RtABC中，CACB，M是AB的中点，点D在BM上，AECD，BFCD，垂足分别为E，F，连接EM则下列结论中：BFCE；AEMDEM；AECE=2ME；DE2+DF22DM2；若AE平分BAC，则EF：BF=2：1；CFDMBMDE，正确的有 （只填序号）【解析】【分析】证明BCFCAE，得到BFCE，可判断；再证明BFMCEM，从而判断EMF为等腰直角三角形，得到EF=2EM，可判断，同时得到MEFMFE45°，可判断；再证明DFMNEM，得到DMN为等腰直角三角形，得到DN=2，DM，可判断；根据角平分线的定义可逐步推断出DEEM，再证明ADEACE，得到DECE，则有EFBF=EFCE=EFDE=2EMDE=2，从而判断；最后证明CDMADE，得到CMAE=DMDE，结合BMCM，AECF，可判断【解析】ACB90°，BCF+ACE90°，BCF+CBF90°，ACECBF，又BFD90°AEC，ACBC，BCFCAE（AAS），BFCE，故正确；由全等可得：AECF，BFCE，AECECFCEEF，连接FM，CM，点M是AB中点，CM=12ABBMAM，CMAB，在BDF和CDM中，BFDCMD，BDFCDM，DBFDCM，又BMCM，BFCE，BFMCEM（SAS），FMEM，BMFCME，BMC90°，EMF90°，即EMF为等腰直角三角形，EF=2EMAECE，故正确，MEFMFE45°，AEC90°，MEFAEM45°，故正确，设AE与CM交于点N，连接DN，DMFNME，FMEM，DFMDEMAEM45°，DFMNEM（ASA），DFEN，DMMN，DMN为等腰直角三角形，DN=2DM，而DEA90°，DE2+DF2DN22DM2，故正确；ACBC，ACB90°，CAB45°，AE平分BAC，DAECAE22.5°，ADE67.5°，DEM45°，EMD67.5°，即DEEM，AEAE，AEDAEC，DAECAE，ADEACE（ASA），DECE，MEF为等腰直角三角形，EF=2EM，EFBF=EFCE=EFDE=2EMDE=2，故正确；CDMADE，CMDAED90°，CDMADE，CDAD=CMAE=DMDE，BMCM，AECF，BMCF=DMDE，CFDMBMDE，故正确。9如图所示，D是等边ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，ABC的周长是9，则E= °，CE= 【答案】30；【解析】由ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据“三线合一”得到BD平分ABC，而ABC为60°，得到DBE为30°，又因为DE=DB，根据等边对等角得到E与DBE相等，故E也为30°；由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且ACB为60°，根据ACB为DCE的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出CDE也为30°，根据等角对等边得到CD=CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值解：ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为ABC的平分线，且ABC=60°，即DBE=30°，又DE=DB，E=DBE=30°，等边ABC的周长为9，AC=3，且ACB=60°，CDE=ACBE=30°，即CDE=E，CD=CE=AC=10.(2019黑龙江绥化)如图,在ABC中,ABAC,点D在AC上,且BDBCAD,则A_度.【答案】16【解析】BDAD,设AABDx,BDC2x,BDBC,CBDC2x,ABAC,ABCC2x,x+2x+2x180°,x36°.三、解答题11（2020绍兴）问题：如图，在ABD中，BABD在BD的延长线上取点E，C，作AEC，使EAEC若BAE90°，B45°，求DAC的度数答案：DAC45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“B45°”去掉，其余条件不变，那么DAC的度数会改变吗？说明理由（2）如果把以上“问题”中的条件“B45°”去掉，再将“BAE90°”改为“BAEn°”，其余条件不变，求DAC的度数【答案】见解析。【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AED2C，求得DAE90°BAD90°（45°+C）45°C，由，即可得到结论；（2）设ABCm°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论【解析】（1）DAC的度数不会改变；EAEC，AED2C，BAE90°，BAD=12180°（90°2C）45°+C，DAE90°BAD90°（45°+C）45°C，由，得，DACDAE+CAE45°；（2）设ABCm°，则BAD=12（180°m°）90°-12m°，AEB180°n°m°，DAEn°BADn°90°+12m°，EAEC，CAE=12AEB90°-12n°-12m°，DACDAE+CAEn°90°+12m°+90°-12n°-12m°=12n°12（2020凉山州）如图，点P、Q分别是等边ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发（1）如图1，连接AQ、CP求证：ABQCAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数【答案】见解析。【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明ABQCAP即可；（2）先判定ABQCAP，根据全等三角形的性质可得BAQACP，从而得到QMC60°；（3）先判定ABQCAP，根据全等三角形的性质可得BAQACP，从而得到QMC120°【解析】（1）证明：如图1，ABC是等边三角形ABQCAP60°，ABCA，又点P、Q运动速度相同，APBQ，在ABQ与CAP中，AB=CAABQ=CPAAP=BQ，ABQCAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，QMC不变理由：ABQCAP，BAQACP，QMC是ACM的外角，QMCACP+MACBAQ+MACBACBAC60°，QMC60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，QMC不变理由：同理可得，ABQCAP，BAQACP，QMC是APM的外角，QMCBAQ+APM，QMCACP+APM180°PAC180°60°120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，QMC的度数为120°