专题19：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之60度90度旋转-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）.doc

专题019：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之特殊角度旋转一、单选题1如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，ABC=ACB=ADC=45°，则BD的长为（ ）ABCD2如图，在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60°，得到BAE，连接ED，下列结论正确的有（）个BED是等边三角形；AEBC； ADE的周长等于BD+BC；ADEDBCA1B2C3D43如图，O是正ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO，下列结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60°得到；点O与O的距离为4；AOB=150°；S四边形AOBO；SAOC+SAOB=其中正确的结论是（）ABCD4如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60°，BCD=120°，AC=2，则四边形ABCD的面积为（ ）A1BCD4二、填空题5如图，在ABC中，BAC90°，ABAC，P是ABC内一点若PA1，PC2，APC135°，则PB的长为_6如图，中，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_7已知：如图，正方形中，对角线和相交于点，分别是边、上的点，若，且，则的长为_8如图，边长为5的正方形ABCD与直角三角板如图放置，延长CB与三角板的直角边相交于点E，则四边形AECF的面积为_9如图，在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，DAE=45°，则的面积为_.三、解答题10如图，为正三角形内一点，且，求的度数.解题思路：将绕点按顺时针方向旋转得，它的位置如图.易得为等边三角形，为直角三角形，所以.根据以上的解题思路解决下列问题：如图，在等腰直角中，是内一点，求的度数.11在ABC中，AO=BO，直线MN经过点O，且ACMN于C，BDMN于D(1) 当直线MN绕点O旋转到图的位置时，求证：CD=AC+BD；(2) 当直线MN绕点O旋转到图的位置时，求证：CD=AC-BD；(3) 当直线MN绕点O旋转到图的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明12综合与实践如图1，在等边三角形中，点在内部，且猜想三条线段之间有何数量关系，并说明理由小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：（1）想法一：在图1中，将绕点按逆时针方向旋转得到连接寻找三条线段之间的数量关系；（2）想法二：在图2中，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接寻找三条线段之间的数量关系13如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA6，PB8，PC10若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB（1）求点P与点P之间的距离；（2）求APB的度数14如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将ABC绕点B逆时针旋转90°后得到ABC，若反比例函数的图像恰好经过AB的中点D，求这个反比例函数的解析式15如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB=AD，BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，EAF=45°（1）如图1，若B、ADC都是直角，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；如图2，若B、D都不是直角，则当B+D=180°，重复的操作，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由（2）如图3，在ABC中，BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且DAE=45°，若BD=1，求DE的长参考答案1D【解析】【分析】【详解】作ADAD，AD=AD，连接CD，DD，如图： BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD与CAD中， ，BADCAD（SAS），BD=CDDAD=90°由勾股定理得DD=，DDA+ADC=90°由勾股定理得CD=，故选D2D【解析】【分析】根据旋转的性质得BE=BD，AE=CD，DBE=60°，于是可判断BDE为等边三角形，则有DE=BD，所以AED的周长=BD+AC，且C=BAE=ABC =60°得正确；根据三角形内角和定理得ADE=ABE，结合ABE+ABD=DBC+ABD=60°，可得正确.【详解】在等边ABC中，BCD绕点B逆时针旋转60°得到BAE，BE=BD，AE=CD，DBE=60，C=BAE=60°BDE为等边三角形，ABC=BAE=60°DE=BD，AEBC； AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC= BD+BC故正确ABC，BDE为等边三角形，BED=BAC=60°又对顶角相等ADE=ABEABE+ABD=DBC+ABD=60°ADEDBC故正确故选：D【点睛】题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等边三角形的判定与性质3A【解析】【分析】证明BOABOC，又OBO=60°，所以BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论正确；由OBO是等边三角形，可知结论正确；在AOO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故AOO是直角三角形；进而求得AOB=150°，故结论正确；S四边形AOBO=SAOO+SOBO，可得结论错误；如图，将AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O点利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将SAOC+SAOB转化为SCOO+SAOO，计算可得结论正确【详解】由题意可知，1+2=3+2=60°，1=3，又OB=OB，AB=BC，BOABOC，又OBO=60°，BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论正确；如图，连接OO，OB=OB，且OBO=60°，OBO是等边三角形，OO=OB=4故结论正确；BOABOC，OA=5在AOO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，AOO是直角三角形，AOO=90°，AOB=AOO+BOO=90°+60°=150°，故结论正确；S四边形AOBO=SAOO+SOBO=，故结论错误；如图所示，将AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O点易知AOO是边长为3的等边三角形，COO是边长为3、4、5的直角三角形，则SAOC+SAOB=S四边形AOCO=SCOO+SAOO=，故结论正确综上所述，正确的结论为：故选A4C【解析】【分析】将ABC绕点A逆时针旋转60°到ADE，有ABC与ADE全等，证明C、D、E三点共线，再根据ACE为等边三角形即可求解；【详解】解：如图，将ABC绕点A逆时针旋转60°到ADE，则有ABC与ADE全等AC=AE，ABC=ADEBAD=60°，BCD=120°ADC+ADE=ADC+ABC=180°C、D、E三点共线BC+CD=DE+DC=CE又CAE等于旋转角，即CAE=60°，ACE为等边三角形ACE的面积为由旋转可知四边形ABCD的面积等于ACE的面积故选：C【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，关键是将ABC绕点A逆时针旋转60°到ADE5【解析】【分析】把APC绕点C逆时针旋转90°得到BDC，根据旋转的性质可得PCD是等腰直角三角形，BD=AP，APC=BDC，根据等腰直角三角形的性质求出PD，PDC=45°，然后利用勾股定理逆定理判断出PBD是直角三角形，PDB=90°，再求出BDC即可得解【详解】解：如图，把APC绕点A顺时针旋转90°得到ADP，由旋转的性质得，ADP是等腰直角三角形，AD=AP=1，BD=PC=2，ADB=APC=135 ，所以， ， 故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键68【解析】【分析】过点B'作B'EAC于点E，由题意可证ABCB'AE，可得AC=B'E=4，即可求AB'C的面积【详解】解：如图：过点B'作B'EAC于点E 旋转 AB=AB'，BAB'=90° BAC+B'AC=90°，且B'AC+AB'E=90° BAC=AB'E，且AEB'=ACB=90°，AB=AB' ABCB'AE（AAS） AC=B'E=4 SAB'C= 故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质解决问题是本题的关键7【解析】【分析】连接EF，根据条件可以证明OEDOFC，则OE=OF，CF=DE=3Ccm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF= =5cm【详解】解：连接EF，OD=OC，OEOFEOD+FOD=90°正方形ABCDCOF+DOF=90°EOD=FOC而ODE=OCF=45°OFCOED，OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF=5cm故答案为：5【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解题关键825【解析】【分析】由题意可证ADFABE，即可得SABE=SADF，即S四边形AECF=S正方形ABCD=AB2=25【详解】解：正方形ABCD与直角三角板放置如图，BADEAF90°，即EAB+BAFDAF+BAF，EABFAD，四边形ABCD是正方形，DABE90°，ADAB，在ABE和ADF中，ABEADF（ASA），四边形AECF的面积正方形ABCD的面积5225故答案为：25【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键9【解析】【分析】把ABD绕点A逆时针旋转90°得到ACF，连接EF，根据旋转的性质可得CF=BD，AF=AD，CAF=BAD，ACF=B=45°，然后求出EAF=45°，从而得到EAF=DAE，再利用“边角边”证明AEF和AED全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DE，再求出CEF是直角三角形，利用勾股定理列式求出EF，然后求出BC，再根据等腰直角三角形的性质求出点A到BC的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解【详解】解：如图，把ABD绕点A逆时针旋转90°得到ACF，连接EF，BAC=90°，AC=AB，ACB=B=45°，由旋转的性质得，CF=BD，AF=AD，CAF=BAD，ACF=B=45°，DAE=45°，EAF=CAF+CAE=BAD+CAE=90°-DAE=45°，EAF=DAE，在AEF和AED中， ，AEFAED（SAS），EF=DE，ECF=ACF+ACB=45°+45°=90°，CEF是直角三角形，EF= =5，BC=CE+DE+BD=4+5+3=12，BAC=90°，AC=AB，点A到BC的距离为×12=6，ABC的面积=×12×6=36故答案为：36.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键10【解析】【分析】将绕点按顺时针方向旋转得，连接根据勾股定理和全等三角形的判定定理（SAS）可得答案.【详解】将绕点按顺时针方向旋转得，连接，CAP=BAD，又CAP+PAB=90°，BAD+PAB=90°，【点睛】本题考查勾股定理和全等三角形的判定定理（SAS），解题的关键是熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定定理（SAS）.11（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CD=BD-AC，证明见解析.【解析】【分析】（1）通过证明ACOODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC+BD；（2）通过证明ACOODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC-BD；（3）通过证明ACOODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=BD-AC【详解】解：（1）如图1，AOB中，AOB=90°，AOC+BOD=90°，直线MN经过点O，且ACMN于C，BDMN于D，ACO=BDO=90°AOC+OAC=90°，OAC=BOD，在ACO和ODB中， ACOODB（AAS），OC=BD，AC=OD，CD=AC+BD；（2）如图2，AOB中，AOB=90°，AOC+BOD=90°，直线MN经过点O，且ACMN于C，BDMN于D，ACO=BDO=90°AOC+OAC=90°，OAC=BOD，在ACO和ODB中，,ACOODB（AAS），OC=BD，AC=OD，CD=ODOC=ACBD，即CD=ACBD（3）如图3，AOB中，AOB=90°，AOC+BOD=90°，直线MN经过点O，且ACMN于C，BDMN于D，ACO=BDO=90°AOC+OAC=90°，OAC=BOD，在ACO和ODB中，,ACOODB（AAS），OC=BD，AC=OD，CD=OCOD=BDAC，即CD=BDAC【点睛】此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目，对于学生的能力要求比较高.12（1）；（2）【解析】【分析】（1）将绕点按逆时针方向旋转得到可证明是等边三角形和是直角三角形，依据勾股定理可得结论；（2）将绕点逆时针旋转得到连接，可证明，进一步证明是等腰直角三角形和是直角三角形，运用勾股定理可得结论【详解】解：（1）证明：如答图1，将绕点按逆时针方向旋转得到则，是等边三角形，是直角三角形，在中，证明：如答图2，将绕点逆时针旋转得到连接，在中，根据勾股定理得，是直角三角形，【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题13（1）6；（2）150°.【解析】【分析】（1）连结PP，由旋转性质可知BPPC10，APAP，PACPAB，根据PAC+BAP=PAB+BAP=60°可得APP为等边三角形，即可证明PP=AP=6；（2）利用勾股定理的逆定理可得BPP为直角三角形，且BPP90°，由（1）得APP=60°，即可得答案.【详解】（1）连接PP，由题意可知BPPC10，APAP，PACPAB，PAC+BAPBAC=60°，PAPPAB+BAP=PAC+BAP=60°APP为等边三角形，所以PPAPAP6；（2）PP=6，BP=8，BP=10，PP2+BP2BP2，BPP为直角三角形，且BPP90°APBBPP+APP=90°+60°150°【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理14【解析】【分析】作AHy轴于H证明AOBBHA（AAS），推出OA=BH，OB=AH，求出点A坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题【详解】作AHy轴于H.AOB=AHB=ABA=90°，ABO+ABH=90°，ABO+BAO=90°，BAO=ABH，BA=BA，AOBBHA(AAS)，OA=BH，OB=AH，点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(0,6)，OA=2，OB=6，BH=OA=2，AH=OB=6，OH=4，A(6,4)，BD=AD ， D(3,5)，反比例函数的图象经过点D，这个反比例函数的解析式【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题15（1）EF=BE+DF，成立，见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出AE=AG，BAE=DAG，BE=DG，求出EAF=GAF=45°，根据SAS推出EAFGAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；根据旋转的性质作辅助线，得出AE=AG，B=ADG，BAE=DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出EAFGAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出ABC=C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，FBA=C=45°，BAF=CAE，求出FAD=DAE=45°，证FADEAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3-x，根据勾股定理得出方程，求出x即可【详解】（1）如图1，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，使AB与AD重合，AE=AG，BAE=DAG，BE=DG，B=ADG=90°，ADC=90°，ADC+ADG=180°，C、D、G共线，BAD=90°，EAF=45°，BAE+DAF=45°，DAG+DAF=45°，即EAF=GAF=45°，在EAF和GAF中，EAFGAF（SAS），EF=GF，BE=DG，EF=GF=DF+DG=BE+DF，故答案为：EF=BE+DF；成立，理由：如图2，把ABE绕A点旋转到ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，B=ADG，BAE=DAG，B+ADC=180°，ADC+ADG=180°，C、D、G在一条直线上，与同理得，EAF=GAF=45°，在EAF和GAF中，EAFGAF（SAS），EF=GF，BE=DG，EF=GF=BE+DF；（2）解：ABC中，AB=AC=，BAC=90°，ABC=C=45°，由勾股定理得：BC=，如图3，把AEC绕A点旋转到AFB，使AB和AC重合，连接DF则AF=AE，FBA=C=45°，BAF=CAE，DAE=45°，FAD=FAB+BAD=CAE+BAD=BAC-DAE=90°-45°=45°，FAD=DAE=45°，在FAD和EAD中，FADEAD（SAS），DF=DE，设DE=，则DF=，BC=4，BF=CE=，FBA=45°，ABC=45°，FBD=90°，由勾股定理得：，即，解得：，即DE=【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高