2020中考数学考前重难点限时训练专题11 二次函数综合（解析版）（免费下载）.docx

2020中考数学考前重难点限时训练专题11 二次函数综合 解析版（限时：45分钟）一、选择题（本大题共8道小题）1. 若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x的取值范围是()A.x<-4或x>2B.-4x2C.x-4或x2D.-4<x<2【答案】D解析二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4，0)，a<0，抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x的取值范围是-4<x<2.2. 将二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与直线y=2有两个交点，则a的取值范围是()A.a>3B.a<3C.a>5D.a<5【答案】D解析y=x2-4x+a=(x-2)2+(a-4)，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为y=(x-1)2+(a-3).令2=(x-1)2+(a-3)，即x2-2x+a-4=0，由=4-4(a-4)>0，得a<5.3. 一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是 ()【答案】A解析双曲线y=cx位于第一、三象限，c>0，抛物线与y轴交于正半轴.直线y=ax+b经过第一、二和四象限，a<0，b>0，即-b2a>0，抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.4. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A.18 m2B.183 m2C.243 m2D.4532 m2【答案】C解析如图，过点C作CEAB于E，设CD=x，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，DCE=CEB=90°，BCE=BCD-DCE=30°，BC=12-x.在RtCBE中，CEB=90°，BE=12BC=6-12x，AD=CE=3BE=63-32x，AB=AE+BE=x+6-12x=12x+6，梯形ABCD的面积=12(CD+AB)·CE=12(x+12x+6)·(63-32x)=-338x2+33x+183=-338(x-4)2+243，当x=4时，S最大=243，即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大，最大面积为243 m2，故选C.5. 已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x<-1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ()A.a<2B.a>-1C.-1<a2D.-1a<2【答案】D解析y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6，抛物线与x轴没有公共点，=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0，解得a<2.抛物线的对称轴为直线x=-2a2=a，抛物线开口向上，而当x<-1时，y随x的增大而减小，a-1，实数a的取值范围是-1a<2.故选D.6. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:小球在空中经过的路程是40 m;小球抛出3秒后，速度越来越快;小球抛出3秒时速度为0;小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.其中正确的是()A.B.C.D.【答案】D解析由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m，故错误;小球抛出3秒后，速度越来越快，故正确;小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故正确;设函数解析式为:h=a(t-3)2+40，把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-409，函数解析式为h=-409(t-3)2+40.把h=30代入解析式得，30=-409(t-3)2+40，解得t=4.5或t=1.5，小球的高度h=30 m时，t=1.5 s或4.5 s，故错误，故选D.7. 在平面直角坐标系中，已知ab，设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则()A.M=N-1或M=N+1B.M=N-1或M=N+2C.M=N或M=N+1D.M=N或M=N-1【答案】C解析先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，计算当y=0时，关于x的一元二次方程根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若为一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答.y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，=(a+b)2-4ab，又ab，(a+b)2-4ab=(a-b)2>0，函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点，M=2.函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1，当ab，ab0时，(a+b)2-4ab=(a-b)2>0，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N;当ab=0时，不妨令a=0，ab，b0，函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1.综上可知，M=N或M=N+1.故选C.8. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点(-3，0)，其对称轴为直线x=-12.结合图象分析下列结论:abc>0;3a+c>0;当x<0时，y随x的增大而增大;一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-13，x2=12;b2-4ac4a<0;若m，n(m<n)为方程a(x+3)·(x-2)+3=0的两个根，则m<-3，n>2，其中正确的结论有()A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】C解析由图象可知a<0，b<0，c>0，abc>0，故正确;由于对称轴是直线x=-12，a=b.图象与x轴的一个交点是(-3，0)，另一个交点是(2，0)，把(2，0)代入解析式可得4a+2b+c=0，6a+c=0，3a+c=-3a，a<0，-3a>0，3a+c>0，故正确;由图象可知当-12<x<0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大是错误的;一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=2，一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-13，x2=12，正确;由图象顶点的纵坐标大于0可知，4ac-b24a>0，b2-4ac4a<0，正确;若m，n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根，则a(x+3)(x-2)=-3，由图象可知，当y=-3时，m<-3，n>2，正确，综上，正确的结论有5个，故选C.二、填空题（本大题共5道小题）9. 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，则方程ax2=bx+c的解是. 【答案】x1=-2，x2=1解析抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，y=ax2，y=bx+c的解为x1=-2，y1=4，x2=1，y2=1.即方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1.10. 已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是. 【答案】(1，4)解析A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，代入得c=3，-4+2b+c=3，解得b=2，c=3，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，顶点坐标为(1，4).11. 已知二次函数y=-(x-1)2+2，当t<x<5时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是. 【答案】1t<5解析抛物线的对称轴为直线x=1，因为a=-1<0，所以抛物线开口向下，所以当x>1时，y的值随x值的增大而减小，因为t<x<5时，y随x的增大而减小，所以1t<5.12. 已知函数y=-x2+2x(x>0)，-x(x0)的图象如图所示，若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为. 【答案】0<m<14解析由y=x+m与y=-x2+2x联立得x+m=-x2+2x，整理得x2-x+m=0，当有两个交点时，b2-4ac=(-1)2-4m>0，解得m<14.当直线y=x+m经过原点时与函数y=-x2+2x(x>0)，-x(x0)的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，m>0，m的取值范围为0<m<14.13. 如图，抛物线y=-14x2+12x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CDAB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为. 【答案】25解析当y=0时，-14x2+12x+2=0，解得x1=-2，x2=4，点A的坐标为(-2，0).当x=0时，y=-14x2+12x+2=2，点C的坐标为(0，2).当y=2时，-14x2+12x+2=2，解得x1=0，x2=2，点D的坐标为(2，2).设直线AD的解析式为y=kx+b(k0)，将A(-2，0)，D(2，2)代入y=kx+b，得-2k+b=0，2k+b=2，解得k=12，b=1，直线AD的解析式为y=12x+1.当x=0时，y=12x+1=1，点E的坐标为(0，1). 当y=1时，-14x2+12x+2=1，解得x1=1-5，x2=1+5，点P的坐标为(1-5，1)，点Q的坐标为(1+5，1)，PQ=1+5-(1-5)=25.三、解答题（本大题共3道小题）14. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A，D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PEx轴交直线l于点E，作PFy轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】(1) y=-x2+3x+4， y=-x-1；(2)18；(3) (2+14，-3-14)，(2-14，-3+14)，(4，-5)，(-4，3).解析 (1)将点A，D的坐标代入y=kx+n得:-k+n=0，5k+n=-6，解得:k=-1，n=-1，故直线l的表达式为y=-x-1.将点A，D的坐标代入抛物线表达式，得-1-b+c=0，-25+5b+c=-6，解得b=3，c=4.故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)直线l的表达式为y=-x-1，C(0，-1)，则直线l与x轴的夹角为45°，即OAC=45°，PEx轴，PEF=OAC=45°.又PFy轴，EPF=90°，EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点F(x，-x-1)，PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18，-2<0，当x=2时，PE+PF有最大值，其最大值为18.(3)由题意知N(0，4)，C(0，-1)，NC=5，当NC是平行四边形的一条边时，有NCPM，NC=PM.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点M的坐标为(x，-x-1)，|yM-yP|=5，即|-x2+3x+4+x+1|=5，解得x=2±14或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M坐标为(2+14，-3-14)或(2-14，-3+14)或(4，-5);当NC是平行四边形的对角线时，线段NC与PM互相平分.由题意，NC的中点坐标为(0，32)，设点P坐标为(m，-m2+3m+4)，则点M(n'，-n'-1)，0=m+n'2，32=-m2+3m+4-n'-12，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)， 故点M(-4，3).综上所述，存在点M，使得以N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标分别为:(2+14，-3-14)，(2-14，-3+14)，(4，-5)，(-4，3).15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，-2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x=-1.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若点P在第二象限内，且PE=14OD，求PBE的面积.(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】(1) y=14x2+12x-2；(2) 58；(3) -20+255，55或-285，45.解析 (1)由题意得点A的坐标是(2，0)，抛物线的对称轴是直线x=-1，则点B(-4，0)，设函数表达式为:y=a(x-2)(x+4)=a(x2+2x-8)，将C(0，-2)的坐标代入，得-8a=-2，解得:a=14，故抛物线的表达式为:y=14x2+12x-2.(2)易得直线BC的表达式为:y=-12x-2.设点D(x，0)，则点P(x，14x2+12x-2)，点E(x，-12x-2)，PE=14OD，点P在直线BC上方，PE=(14x2+12x-2+12x+2)=14(-x)，解得:x=0或-5(舍去x=0)，则点D(-5，0).故SPBE=12×PE×BD=12×14OD×BD=12×54×1=58.(3)由题意得BDM是以BD为腰的等腰三角形，存在:BD=BM和BD=DM两种情况，易得BD=1.当BD=BM，M点在线段CB的延长线上时，过点M作MHx轴于点H，易得MHBCOB，则MHMB=COBC，即MH1=225，解得MH=55.令y=-12x-2=55，解得x=-20+255，故点M-20+255，55.当BD=DM'时，设点M'x，-12x-2，其中x<-4.则M'D2=x-(-5)2+-12x-2-02=1.整理得x2+485x+1125=0.解得x1=-4(舍去)，x2=-285.当x=-285时，-12x-2=45.故点M'-285，45.综上所述，点M坐标为-20+255，55或-285，45.16. 如图，二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=25x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是. (2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D，C重合)，点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA，DB分别交于点P，Q，使得DPQ与DAB相似.当n=275时，求DP的长;若对于每一个确定的n的值，有且只有一个DPQ与DAB相似，请直接写出n的取值范围. 【答案】(1) (2，9) ； (2) 954或352 ，95<n<215.解析(1)直接用顶点坐标公式求即可;(2)由题意可知点C2，95，A-52，0，点A关于对称轴对称的点为132，0，借助直线AD的解析式求得B(5，3);当n=275时，N2，275，可求DA=952，DB=35，DN=185，CD=365.当PQAB时，DPQDAB，DP=954;当PQ与AB不平行时，DP=352;当PQAB，DB=DP时，DB=35，DN=245，所以N2，215，则有且只有一个DPQ与DAB相似时，95<n<215.解:(1)(2，9)(2)对称轴为直线x=2，y=25×2+1=95，C2，95.由已知可求得A-52，0，点A关于直线x=2对称的点的坐标为132，0，则直线AD关于直线x=2对称的直线的解析式为y=-2x+13，令-2x+13=25x+1，得x=5，25×5+1=3，B(5，3).当n=275时，N2，275，由D(2，9)，A-52，0，B(5，3)，C2，95，可得DA=952，DB=35，DN=185，CD=365.当PQAB时，DPQDAB，PQAB，DACDPN，DPDA=DNDC，DP=954;当PQ与AB不平行时，DPQDBA，易得DNPDCB，DPDB=DNDC，DP=352.综上所述，DP=954或352.95<n<215解析当PQAB，DB=DP时，DPNDAC，DPDA=DNDC，即35952=DN365，DN=245，N2，215，易知在N2，215与C2，95之间时，有且只有一个DPQ与DAB相似.有且只有一个DPQ与DAB相似时，95<n<215.故答案为95<n<215.