【全效学习】2018届中考数学全程演练专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明（免费学习）.doc

专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 类型之一 以平行四边形为背景的计算与证明 【经典母题】 已知：如图 Z111，在ABCD 中，AC 是对角线，BEAC，DFAC，垂足分别为 E，F.求证：BEDF. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD， BAEDCF.又BEAC，DFAC， AEBCFD，ABCD， RtAEBRtCFD，BEDF. 【思想方法】 (1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题； (2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分 【中考变形】 12016 益阳如图 Z112，在ABCD 中，AEBD 于点E，CFBD 于点 F，连结 AF，CE. 求证：AFCE. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBCBD. 又AEBD，CFBD， AEDCFB，AECF. AEDCFB(AAS)AECF. 四边形 AECF 是平行四边形AFCE. 22016 黄冈如图 Z113，在ABCD 中，E，F 分别为边 AD， BC 的中点， 对角线 AC 分别交 BE， DF 于点 G，H.求证：AGCH. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC， 图 Z111 图 Z112 图 Z113 ADFCFH，EAGFCH， E，F 分别为 AD，BC 边的中点， AEDE12AD，CFBF12BC， ADBC，AECFDEBF. DEBF，四边形 BFDE 是平行四边形， BEDF，AEGADF， AEGCFH， 在AEG 和CFH 中，EAGFCH，AECF，AEGCFH， AEGCFH(ASA)，AGCH. 【中考预测】 2016 义乌模拟如图 Z114， 已知 E， F 分别是ABCD的边 BC，AD 上的点，且 BEDF. (1)求证：四边形 AECF 是平行四边形； (2)若四边形 AECF 是菱形， 且 BC10， BAC90，求 BE 的长 解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，且 ADBC， BEDF，AFEC， 四边形 AECF 是平行四边形； (2)如答图，四边形 AECF 是菱形， AEEC， 12， BAC90， 3902，4901， 34，AEBE， BEAECE12BC5. 图 Z114 中考预测答图 类型之二 以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明 【经典母题】 如图 Z115，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，且 AEBC，AFCD.求菱形各个内角的度数 图 Z115 经典母题答图 解：如答图，连结 AC. 四边形 ABCD 是菱形，AEBC，AFCD 且 E，F 分别为 BC，CD 的中点， ACABADBCCD， ABC，ACD 均为等边三角形， 菱形 ABCD 的四个内角度数分别为BD60，BADBCD120. 【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质 【中考变形】 12017 日照如图 Z116，已知 BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为 E. (1)求证：DCAEAC； (2)只需添加一个条件， 即_ADBC_， 可使四边形ABCD为矩形请加以证明 解：(1)证明：在DCA 和EAC 中， DCEA，ADCE，ACCA，DCAEAC(SSS)； (2)添加 ADBC，可使四边形 ABCD 为矩形理由如下： ABDC，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形， 图 Z116 CEAE，E90， 由(1)得DCAEAC，DE90， 四边形 ABCD 为矩形故答案为 ADBC(答案不唯一) 22017 白银如图 Z117，矩形 ABCD 中，AB6，BC4， 过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB， CD 边于点 E，F. (1)求证：四边形 BEDF 是平行四边形； (2)当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长 解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， ABDC，OBOD， OBEODF，在BOE 和DOF 中， OBEODF，OBOD，BOEDOF，BOEDOF(ASA)， EOFO，四边形 BEDF 是平行四边形； (2)当四边形 BEDF 是菱形时，BDEF， 设 BEx，则 DEx，AE6x， 在 RtADE 中，DE2AD2AE2， x242(6x)2， 解得 x133，BDAD2AB22 13， OB12BD 13，BDEF， OE BE2OB22 133，EF2EO4 133. 32017 盐城如图 Z118，矩形 ABCD 中，ABD， CDB 的平分线 BE，DF 分别交边 AD，BC 于点 E，F. (1)求证：四边形 BEDF 是平行四边形； (2)当ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由 解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， ABDC，ADBC，ABDCDB， 图 Z117 图 Z118 BE 平分ABD，DF 平分BDC， EBD12ABD，FDB12BDC， EBDFDB，BEDF， 又ADBC，四边形 BEDF 是平行四边形； (2)当ABE30时，四边形 BEDF 是菱形，理由： BE 平分ABD， ABD2ABE60，EBDABE30， 四边形 ABCD 是矩形， A90，EDB90ABD30， EDBEBD30，EBED， 又四边形 BEDF 是平行四边形，四边形 BEDF 是菱形 42016 株洲如图 Z119，在正方形 ABCD 中，BC3，E，F 分别是 CB，CD 延长线上的点，DFBE，连结 AE，AF，过点 A 作 AHED 于 H 点 (1)求证：ADFABE； (2)若 BE1，求 tanAED 的值 解：(1)证明：正方形 ABCD 中， ADAB，ADCABC90， ADFABE90， 在ADF 与ABE 中， ADAB，ADFABE，DFBE， ADFABE(SAS)； (2)在 RtABE 中，ABBC3，BE1， AE 10，EDCD2CE25， SAED12EDAH12ADBA92， AH95， 在 RtAHD 中，DH AD2AH2125， 图 Z119 EHEDDH135，tanAEDAHEH913. 52017 上海已知：如图 Z1110，四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，E 是对角线 BD 上一点，且 EAEC. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)如果 BEBC，且CBEBCE23，求证：四边形 ABCD 是正方形 证明：(1)在ADE 与CDE 中， ADCD，DEDE，EAEC，ADECDE(SSS)，ADECDE， ADBC，ADECBD， CDECBD，BCCD， ADCD，BCAD， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADCD，四边形 ABCD 是菱形； (2)BEBC，BCEBEC， CBEBCE23， CBE180223345， 四边形 ABCD 是菱形， ABE45，ABC90， 四边形 ABCD 是正方形 6如图 Z1111，正方形 ABCD 的边长为 8 cm，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上的动点，且 AEBFCGDH. (1)求证：四边形 EFGH 是正方形； (2)判断直线 EG 是否经过某一定点，说明理由； (3)求四边形 EFGH 面积的最小值 图 Z1110 图 Z1111 中考变形 6 答图 解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形， AB90，ABDA， AEDHBF，BEAH，AEHBFE(SAS)， EHFE，AHEBEF，同理，FEGFHG， EHFEGFHG，四边形 EFGH 是菱形， A90，AHEAEH90，BEFAEH90， FEH90，四边形 EFGH 是正方形； (2)直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心 理由：如答图，连结 BD 交 EG 于点 O. 四边形 ABCD 是正方形， ABDC，ABDC， EBDGDB， AECG，BEDG， EOBGOD，EOBGOD(AAS)， BODO，即 O 为 BD 的中点， 直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心； (3)设 AEDHx，则 AH8x， 在 RtAEH 中， EH2AE2AH2x2(8x)22x216x642(x4)232， S四边形EFGHEH EFEH2， 四边形 EFGH 面积的最小值为 32 cm2. 【中考预测】 如图 Z1112，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，连结 DF. 图 Z1112 (1)求证：BACDAC，AFDCFE； (2)若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定点 E 的位置，使EFDBCD，并说明理由 解：(1)证明：ABAD，CBCD，ACAC， ABCADC(SSS)，BACDAC. ABAD，BAFDAF，AFAF， ABFADF(SAS)，AFBAFD. 又CFEAFB，AFDCFE； (2)证明：ABCD，BACACD. 又BACDAC，DACACD，ADCD. ABAD，CBCD，ABCBCDAD， 四边形 ABCD 是菱形； (3)当 BECD 时，EFDBCD.理由： 四边形 ABCD 为菱形， BCCD，BCFDCF. 又CF 为公共边， BCFDCF(SAS)， CBFCDF. BECD，BECDEF90， CBFBCDCDFEFD， EFDBCD.