2015年高考四川理科数学试题及答案解析(共8页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2015年四川，理1】设集合，集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A（2）【2015年四川，理2】设是虚数单位，则复数（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，故选C（3）【2015年四川，理3】执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】易得当时时执行的是否，当时就执行是的步骤，所以，故选D（4）【2015年四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】显然对于A，为关于原点对称，且最小正周期是，符合题意，故选A（5）【2015年四川，理5】过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则（ ）（A） （B） （C）6 （D）【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为，且右焦点，则直线与两条渐近线的交点分别为，故选D（6）【2015年四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个【答案】B【解析】这里大于40000的数可以分两类：当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制有种；当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，有种，综上所述：总共有72+48=120种，故选B（7）【2015年四川，理7】设四边形 为平行四边形，若点，满足，则（ ）（A）20 （B）15 （C）9 （D）6【答案】C【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过建立直角坐标系，可得到，故选C（8）【2015年四川，理8】设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知条件可得当时，即“”是“”的充分条件然而取则，满足，却不满足“”是“”的不必要条件综上“”是“”的充分不必要条件，故选B（9）【2015年四川，理9】如果函数在区间单调递减，则的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【解析】，由于单调递减得：，在上恒成立设，则一次函数在上为非正数只须在两个端点处和即可即，由得：当且仅当时取到最大值经验证，满足条件和，故选B（10）【2015年四川，理10】设直线与抛物线相交于，两点，与圆 相切于点，且为线段的中点 若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】设，则，两式相减，得：，当直线的斜率不存在时，显然符合条件的直线有两条当直线的斜率存在时，可得：，又，由于在抛物线的内部，因此，故选D第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是 【答案】-40【解析】由题意可知的系数为：（12）【2015年四川，理12】的值是 【答案】【解析】（13）【2015年四川，理13】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系 （为自然对数的底数，为常数）若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是_小时【答案】24【解析】，当时，（14）【2015年四川，理14】如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点在线段上，分别为，中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为 【答案】【解析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为，则，令，从而（15）【2015年四川，理15】已知函数，(其中)对于不相等的实数，设，现有如下命题：(1) 对于任意不相等的实数，都有；(2) 对于任意的及任意不相等的实数，都有；(3) 对于任意的，存在不相等的实数，使得；(4) 对于任意的，存在不相等的实数，使得其中的真命题有_（写出所有真命题的序号）【答案】(1) (4)【解析】(1)设，,函数是增函数，则=>0，所以正确；(2)设，则，不妨我们设，则，矛盾，所以(2)错(3)，由(1)(2)可得：，化简得到，也即，令，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，则，显然当时，恒成立，即单调递增，最多与x轴有一个交点，不满足题意，所以错误(4)同理可得，设，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，从而不是恒为单调函数，恒成立，单调递增，又时，时，所以为先减后增的函数，满足要求，所以正确 三、解答题：本大题共6题，共75分（16）【2015年四川，理16】（本小题满分12分）设数列的前项和，且，成等差数列（）求数列的通项公式；（）记数列的前项和，求得使成立的的最小值解：（）当时有，则，数列是以为首项，2为公比的等比数列又由题意得， （）由题意得，则，又，即成立时，的最小值为（17）【2015年四川，理17】（本小题满分12分）某市，两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐3名男生，2名女生，中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（）求中学至少有1名学生入选代表队的概率；（）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望解：（）设事件表示“中学至少有1名学生入选代表队”，可以采用反面求解：（）由题意，知，；因此的分布列为：期望为： （18）【2015年四川，理18】（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为（）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（）证明：直线平面；（）求二面角的余弦值解：（）如下图所示：（）如答图所示，连接，相交于点，连接、分别为线段、的中点，且四边形为平行四边形，又平面，平面（）连接，过点作于点，过点作于点，连接，由三垂线定理可得，为二面角的平面角，设正方体棱长为，则，所以，所以，所以，即二面角的余弦值为（19）【2015年四川，理19】（本小题满分12分）如图，为平面四边形的四个内角（）证明：；（）若，求解：（）证明：（），同理可得，连接，设，在和中分别利用余弦定理及可得：，即，解得，从而得，同理可得，（20）【2015年四川，理20】（本小题满分13分）如图，椭圆的离心率是，过点 的动直线与椭圆相交于两点当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为（）球椭圆的方程；（）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（）由题知椭圆过点因此可得：，解得：，椭圆E的方程为：（）假设存在满足题意的定点当直线平行于轴时，则，两点关于轴对称，点在轴上不妨设，当直线垂直于轴时，解得或（舍去，否则点就是点），点的坐标为下面我们证明对于一般的直线，也满足题意，由角平分线定理可知，轴为的角平分线所以设，则，联立：，消去可得，由韦达定理可得，两式相加得，即，从而，假设成立，即存在与点不同的定点，使得恒成立（21）【2015年四川，理21】（本题满分14分）已知函数，其中 （）设是的导函数，讨论的单调性；（）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解解：（），求导可得，即，对于多项式，（1）当，即时，恒成立此时，恒成立，所以恒单调递增（2）当时，一元二次方程有两个实数根，设为那么求根可得：，令，即，解得：，所以在，时单调递增令，即，解得：，所以在，时单调递减综上所述：当时，在上单调递增当时，在上单调递增，上单调递减（），由（）可知在内单调递增又时，当时，显然而在是单调递增的，因此在内必定存在唯一的使得 当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，由已知条件在区间内有唯一解，必有即 由式得到带入式化简得：，即，注意这里的比较容易解出，因此我们可以用表示，解得：，(1)当时，带入式可得， 即讨是否有解令，在上单调递减又，式无解(2)当时，把带入式可得， 即讨论是否有解又设，恒成立，在上单调递增，与轴有交点，从而在上有解从而命题得证！专心-专注-专业