2013考研数一真题解析.pdf

一、选择题(1) D 解 用洛必达法则1 l x arctanx 1 + x 2 1 + x 21 1X lim =lim =lim =hm =c #- O, x丑X, 一-okx k-lx-0 kx k-l (1 + X z) k x勺xk-11 因此k -1 =Z, 一-c,即k=3,c -一故应选D.k 3 CZ) A 解F:=zx -ysin(xy)+L F:=-xsin(xy)+z, F:=y . 曲面 x2+ cos(xy) + yz十X=0在点(01,1)处的切平面的法向晕n=l ,-1,1,切平面方程为：1 (x0)(y1) + 1 (z + 1) = 0, 即xy +z -Z . 故应选A.(3) C解 观察到S(x)是f(x)的正弦函数，对J进行奇延拓，其周期为z .故S(x)f(x). 9 1 1 s(-) =S(-s -=-1 1 4 4) (4) 1(了）勹一故应选C(4) D解 由格林公式得I,-f(y +f)山+(Zx -) dy=(1x2-f)心dy其中D1:xz+yz冬1,D2:x2+y2z, D3:f+y2冬1,y D口xz+l.z显然在几内有y y l -x2 -O, 在队外有l-x2-I1,I4Iz.y 又D4=几+D4D5,几=D5+D3D5,在D3D5上l-x2-O,2013年（数一）真题答案解析淘 宝 店 铺：光 速 考 研 工 作 室 故J4=II(1-x2f)dx dy + II (1X 2 -f) dx dyD5 D八Ds13 =(1y x2勹）dxdy + II (1.亢2飞）dxdy. 故应选D.D5 D叭D5(5) B解由千AB=C, 那么对矩阵A,C按列分块，有，、丿， “ ， ， 2 ”, ，1 ”, （ nnn12n bbb 222 12” bbb 111 12n bbb -l ） ， ，2 ， 1 （ Y1 =b 11a1 +b心+b .1a.,即了:,b,a, +b心+b.,a.,r. =b1na1 +b z.az + bn.an. 这说明矩阵C的列向最组r口rz, r. 可由矩阵A的列向量组a1, a2, , a. 线性表出又矩阵 B可逆，从而A=CB飞那么矩阵A的列向量组也可由矩阵C的列向械组线性表出由向量组等价的定义可知，应选B.(6) B解记A:考察矩阵A的特征值为2,b,O的条件首先，显然1At:, 因L是A的特征值其次，矩阵A的迹tr(A)=2 -t-b, 因此如果2是矩阵A的特征值，则b就是矩阵A的另一个特征值于是“充要条件”为2是A的特征值由lzEAl=a 2-ba =4a2 =O气=O.l -a l 因此充要条件为a=O,b为任意实数，故应选B.(7) A解将随机变量义和x3化成标准正态后再比较其大小P1 =P2X12 =P(2) -中(2)2 Xz 2 Pz=P-2X三2=P 气(1)- P(-1)2 2 2 p3 =P-2X32 -25 x35 2-5 =P3 32 =iP(-1)叶习=P行）- Pz p3. 故应选A.x7l3 淘 宝 店 铺：光 速 考 研 工 作 室 (8) C解当X-t(n)时，X2-FO,n),又Y-FO,n),故Y与xz同分布当C 0时，由t分布的对称性有PYc2=PX2c2=P X c=PXcUXc=2a.故应选C.二、填空题(9) 1解把X=O代入方程有八0)= 1. 方程y-X = exO-y)两端同时对x求导有f(工)-1 = el-f(x) 1-f (x) -xf(x) J. 把X=O代入上式得厂(0)=2 - f(O) =l. 又limf釭）-=f(O)=l, x-o X 1 三卢1飞巴!(-;l气尸1n OO)C1e立+cz产-xe红解由常系数非齐次线性微分方程解的性质可得Y 1 -Y 3 = e3x , Y 2 -Y 3 = ex 是相应二阶齐次线性微分方程的两个特解故相应二阶齐次线性微分方程的通解为YO = CI e3x + C 2 e . 所以所求非齐次方程的通解可表示为y = C1ex + C2芒Xe2x (11)心解 dx dy = cost , -= t cost ,dt dt . dy tcost -= =t,dx cost 叶店）d2 y d dydt -=-()一1 c!x 2 dx clx clx cost c!t 心1从而dx2,-f = 亢迈cos 4 (12) lnZ 解厂lnx2 dx = _ lnx += +厂dx=O+ln x 1+= =Oln_l =ln2 1 O+x) l+x 1 2 l+x 1 1 O+x)x淘 宝 店 铺：光 速 考 研 工 作 室 (13) -1解题设条件a;+A ; = 0 即AT=A*于是A =Al可见A只可能是0或1.又r(A) = r (AT) = r (-A *) = r (A天），则rCA)只可能为3或0.而A为非零矩阵，因此r(A)不能为o,从而r(A) = 3 , A #- 0 , A = -1.或，用特例法取一个行列式为1的正交矩阵满足AT=-A勹故应填-1.1 04) 1 e 解由于XE(l),aO,则由指数分布的分布函数有PY冬a+IYa=PYa,Y,s;:;a+l =Paa 1PY冬a1-e一(a+)0-e-)e-ae-a-11 = = =le-1 = 1 l(1e-a)-ae e 三、解答题05)解由条件显然有J(l)=O, J(x)= 由分部积分法及换元积分法有八x)dx =2f J(x)d左。石。ln(x + 1) X =2左f(x) 112f rx厂(x)dx=2f In釭+Dr 。X dx =-4f ln(x +Dd五。=4左ln(x+ 1)+4石山o o 1 + X 令t=石-4ln2+sft2 2dt 0 1 + t = -4ln2 + 8 I: (1lt2)dt = -4ln2 + 8 - Sarctant / 1 。=-4ln2 + 82兀= = 06) CI)证S飞x)=na占n-1,SCx) =区n(n-l)anXn-Z,nl 又,a n-2 = n (nl)an (n2), = = : .S(x) =an-zXn-Z = 幻x =S(x),n-2 n-0n-Z淘 宝 店 铺：光 速 考 研 工 作 室 :. S11 (x) -S (x) = 0得证C II)解S(x)S(x) =O为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为入21=O,从而入士1,于是S(x)=C1亡+c飞又S(O)=a。=3,S(O) =a1 =l, 代入上式得厂1+C2=3 -C1+C2=l 解得C1=l,C2=2,所以S(x)=e-x + 2e气(17)解先求驻点，令厂(x+Y+lx)eoJY=(l+y+3x3)产=0解得二或:= 为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数1 fxx= (归+2x 2 + y + 3 X 3) e+y 1 fxy= (X 2 + 1 + Y +了X3) ex+y 儿=(2+y+卢）ex+y在点(-1, 2 3)处，A = fxx (-1 , -f) = -e主，B= fxy (-1, f) =e-l- C= fyy (-1, f)=e宁，因为A o,ACB2 o,ACB2 =2e气O,所以(1.-f)是极小值点，极小值为!(1, ：片）= (-+ +) e= -e勹(18)证CI)设F(x)=f(x)-.1:, x E 1, l.; f(x)是奇函数，:.f(O) =0. 从而F(l) = JO)1 =0,F(O) = f(O) -0 =0, 且F(x)在0,1上连续，在(01)内可导由罗尔中值定理，存在f E CO,l)使得JCO = JCO1 =0. 且fl .fco= 1. II)设G(x)=厂(x)+J(x)x,: J(x)在-1,1上是奇函数，: . J(x)在-1, 1上是偶函数，G Cl) = JCl) + f (1) -1 = J(1) ,1冬Xdzdxdy =穴J:(2z32z2十z)dz =穴(s+2)=n:,，7_5-Z :. 形心坐标(o,o, 一7 5) X1 Xz (20)解设C= (X3 XJ则AC-CA =B成立的充分必要条件为,+ax,O ax 1 + x 2 -t- ax 4 = l , (*) X3 -x41, -ax3 =b.对方程组的增广矩阵施以初等行变换得 -1 a 。J1 。-1l11 。a 。1 a 。） 。-1 -1。 。 。 。+11 -a。 。 。 。b当a c:j=l或b # 0时，方程组（）无解当a=l,b =0时，方程组（）有解，通解为xil +k (+k,j ,k, 如为任意常数综上，当且仅当a=1,b=0时，存在满足条件的矩阵C,且(21)证2于k 由， l ）ll23k kxxx (+ l , =x C已i ） I（丿，如心为任意常数f(x1, 工，Xz)=2(a1x1 +a江2+a3X3)2+(b心I+b2X2 +b3X3)2 2 (x, ,x,xJ (a, ,a, ,a,:+ (兀x,x,)l (/, ,b, ,b:l=2x1(a矿）X +xcpp勹x=x气2a矿仰勹x,又2a矿仰T为对称矩阵，所以二次型J对应的矩阵为2aa1+PP1. 淘 宝 店 铺：光 速 考 研 工 作 室 C II)记A =ZaaT +PPT, 由于 a,p正交且均为单位向晕，所以Aa = (ZaaT + pp勹a= Za , AP - (Za矿仰T)P=P 于是入=Z,幻=l是矩阵A的特征值，又r(A) =r(ZaaT +PP勹r(Za矿）十rCPP勹Z,所以从=O是矩阵A的特征值，故J在正交变换下的标准形为Zyi+y:.(22)解C I)由题设条件知，PlY乏2= 1 记Y的分布函数为F凶y)则当yl时，凡(y)= 0 当ly2时，凡(y)=PYy=PY=l +Pl Y炙y= J: x2dx +厂x2dxy3 +1827 当y2时，凡(y)= 1. o,所以Y的分布函数为F凶y)勹18,1, yl, l乏yZ,y歹2.(II) PX冬Y=PXO,当其他n 1n X1 ,X2, ，Xn 0时，lnL(0) = 2nln0 - 0 3lnx,. i-1 X, ,-1 令dlnL(0)=竺n上2nd0 0 =0, 得0的最大似然估计值为iJ - ,-1 X, ,-1 X, 所以0的最大似然估计量为0=Zn 2工,1 X, 淘 宝 店 铺：光 速 考 研 工 作 室