考研数学历年真题(1998-2007)年数学一.pdf

120072007 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷一、选择题一、选择题( (本题共本题共 1010 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 4040 分分, ,在每小题给的四个选项中在每小题给的四个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求, ,把所选项前把所选项前的字母填在题后括号内的字母填在题后括号内) )(1)当0 x时,与x等价的无穷小量是（）(A)1ex(B)1ln1xx(C)11x(D)1 cosx(2)曲线1ln(1e )xyx,渐近线的条数为（）(A)0(B)1(C)2(D)3(3)如图,连续函数( )yf x在区间 3, 2,2,3上的图形分别是直径为 1的上、 下半圆周,在区间 2,0,0,2的图形分别是直径为 2 的上、 下半圆周,设0( )( )xF xf t dt.则下列结论正确的是（）(A)3(3)( 2)4FF (B)5(3)(2)4FF(C)3(3)(2)4FF(D)5(3)( 2)4FF (4)设函数( )f x在0 x 处连续,下列命题错误的是（）(A)若0( )limxf xx存在,则(0)0f(B)若0( )()limxf xfxx存在,则(0)0f(C)若0( )limxf xx存在,则(0)0f (D)若0( )()limxf xfxx存在,则(0)0f (5)设函数( )f x在(0, +)上具有二阶导数,且( )0fx , 令( )1,2, ,nuf nn则下列结论正确的是（）(A)若12uu,则nu必收敛(B)若12uu,则nu必发散(C)若12uu,则nu必收敛(D)若12uu,则nu必发散(6)设曲线:( , )1Lf x y ( , )f x y具有一阶连续偏导数),过第 2 象限内的点M和第象限内的点,N 为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是（）(A)( , )x y dx(B)( , )f x y dy(C)( , )f x y ds(D) ( , ) ( , )xyfx y dxfx y dy(7)设向量组123, 线性无关,则下列向量组线形相关的是（）(A),122331 (B),122331 (C)1223312,2,2 (D)1223312,2,2 2(8)设矩阵211121112 A,100010000B,则A与B（）(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为01pp,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）(A)23 (1)pp(B)26 (1)pp(C)223(1)pp(D)226(1)pp(10)设随即变量(, )X Y服从二维正态分布,且X与Y不相关,( )Xfx,( )Yfy分别表示,X Y的概率密度,则在Yy的条件下,X的条件概率密度|( | )XYfx y为（）(A)( )Xfx(B)( )Yfy(C)( )Xfx( )Yfy(D)( )( )XYfxfy二、填空题二、填空题(11(111616 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分, ,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上) )(11)31211exdxx=_.(12)设( , )f u v为二元可微函数,(,)yxzf xy,则zx=_.(13)二阶常系数非齐次线性方程2 4 32exyyy的通解为y=_.(14)设曲面:| | 1xyz,则(|)xy ds =_.(15)设矩阵0100001000010000A,则3A的秩为_.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为_.三三、解答题解答题(17(172424 小题小题, ,共共 8686 分分. .请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤) )(17)(本题满分 11 分)求函数2222( , )2f x yxyx y在区域22( , )|4,0Dx yxyy上的最大值和最小值.3(18)(本题满分 10 分)计算曲面积分23,Ixzdydzzydzdxxydxdy其中为曲面221(01)4yzxz 的上侧.(19)(本题满分 11 分)设函数( ), ( )f x g x在 , a b上连续,在( , )a b内具有二阶导数且存在相等的最大值,( )( ),( )( )f ag af bg b,证明:存在( , )a b,使得( )( )fg.(20)(本题满分 10 分)设幂级数0nnna x在(,) 内收敛,其和函数( )y x满足240, (0)0,(0)1.yxyyyy(1)证明:22,1,2,.1nnaa nn(2)求( )y x的表达式.(21)(本题满分 11 分)设线性方程组1231232123020 ,40 xxxxxaxxxa x与方程12321,xxxa有公共解,求a的值及所有公共解.(22)(本题满分 11 分)设 3 阶实对称矩阵A的特征向量值12311,2,2.(1, 1,1)T 是A的属于特征值1的一个特征向量,4记534,BAAE其中E为 3 阶单位矩阵.(1)验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.(2)求矩阵B.(23)(本题满分 11 分)设二维随机变量(, )X Y的概率密度为2,01,01( , )0,xyxyf x y其他(1)求2 .P XY(2)求ZXY的概率密度)(zfz.(24)(本题满分 11 分)设总体X的概率密度为1,021( ; ),12(1)0,xf xx其他其中参数未知，12,nXXX是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值(1)求参数的矩估计量.(2)判断24X是否为2的无偏估计量,并说明理由.520062006 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷一、填空题一、填空题( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2424 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) )(1)0ln(1)lim1 cosxxxx.(2)微分方程(1)yxyx 的通解是.(3)设是锥面22zxy(01z)的下侧,则23(1)xdydzydzdxzdxdy.(4)点(2,1, 0)到平面3450 xyz的距离d=.(5)设矩阵2112A,E为 2 阶单位矩阵,矩阵B满足2BABE,则B=.(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布,则max , 1PX Y =.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 3232 分分. . 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求) )(7)设函数( )yf x具有二阶导数,且( )0,( )0fxfx,x为自变量x在0 x处的增量,y与dy分别为( )f x在点0 x处对应的增量与微分,若0 x ,则（）(A)0dxy (B)0ydy (C)0ydy (D)0dyy (8)设( ,)f x y为连续函数,则1400( cos , sin )df rrrdr等于（）(A)22120( ,)xxdxf x y dy(B)221200( ,)xdxf x y dy(C)22120( ,)yydyf x y dx(D)221200( ,)ydyf x y dx(9)若级数1nna收敛,则级数（）(A)1nna收敛(B)1( 1)nnna收敛(C)11nnna a收敛(D)112nnnaa收敛(10)设( ,)f x y与( ,)x y均为可微函数,且1( , )0yx y.已知00(,)xy是( ,)f x y在约束条件( ,)0 x y下的一个极值点,下列选项正确的是（）6(A)若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy(B)若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy(C)若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy(D)若00(,)0 xfxy,则00(,)0yfxy(11)设12,s 均为n维列向量,A是m n矩阵,下列选项正确的是（）(A)若12,s 线性相关,则12,sAAA线性相关(B)若12,s 线性相关,则12,sAAA线性无关(C)若12,s 线性无关,则12,sAAA线性相关(D)若12,s 线性无关,则12,sAAA线性无关.(12)设A为 3 阶矩阵,将A的第 2 行加到第 1 行得B,再将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C,记110010001P,则（）(A)1CP AP(B)1CPAP(C)TCP AP(D)TCPAP(13)设,A B为随机事件,且( )0,(|)1P BP A B,则必有（）(A)()( )P ABP A(B)()( )P ABP B(C)()( )P ABP A(D)()( )P ABP B(14)设随机变量X服从正态分布211(,)N ,Y服从正态分布222(,)N,且12| 1| 1,PXP Y则必有（）(A)12(B)12(C)12(D)12三、解答题三、解答题( (本题共本题共 9 9 小题小题, ,满分满分 9494 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) )(15)(本题满分 10 分)设区域 D=22,1,0 x y xyx,计算二重积分2211DxyIdxdyxy.(16)(本题满分 12 分)设数列 nx满足110,sin1,2,.nxxxn.7求:(1)证明limnxx存在,并求该极限.(2)计算211limnxnxnxx.(17)(本题满分 12 分)将函数 22xf xxx展开成x的幂级数.(18)(本题满分 12 分)设函数 0,f u在内具有二阶导数 且22zfxy满足等式22220zzxy.(1)验证 0fufuu.(2)若 10,11,ff 求函数( )f u的表达式.(19)(本题满分 12 分)设在上半平面,0Dx yy内,函数,f x y是有连续偏导数,且对任意的0t 都有.证明: 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有( , )( , )0Lyf x y dxxf x y dy .8(20)(本题满分 9 分)已知非齐次线性方程组有 3 个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A的秩 2rA；(2)求, a b的值及方程组的通解.(21)(本题满分 9 分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量121,2, 1,0, 1,1TT 是线性方程组0 x A的两个解.(1)求A的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得TQ AQA.(22)(本题满分 9 分)设随机变量X的概率密度为为二维随机变量(, )X Y的分布函数.(1)求Y的概率密度 Yfy.(2)1,42F.(23)(本题满分 9 分)设总体X的概率密度为，其中是未知参数(01),12n,.,XXX为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值12,.,nx xx中小于 1 的个数,求的最大似然估计920052005 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷一、填空题一、填空题( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2424 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) )(1)曲线122xxy的斜渐近线方程为 _.(2)微分方程xxyyxln2满足91) 1 (y的解为_.(3)设函数181261),(222zyxzyxu,单位向量,则)3 , 2, 1(nu=._.(4)设是由锥面22yxz与半球面222yxRz围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则zdxdyydzdxxdydz_.(5)设123, 均为 3 维列向量,记矩阵123(,)A ,123123123(,24,39)B ,如果1A,那么B.(6)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为X, 再从X, 2 , 1中任取一个数,记为Y, 则2YP=_.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 3232 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求) )(7)设函数nnnxxf31lim)(,则( )f x在),(内（）(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设( )F x是连续函数( )f x的一个原函数,NM 表示M的充分必要条件是,N则必有（）(A)( )F x是偶函数( )f x是奇函数(B)( )F x是奇函数( )f x是偶函数(C)( )F x是周期函数( )f x是周期函数(D)( )F x是单调函数( )f x是单调函数(9)设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数,具有一阶导数,则必有（）(A)2222yuxu(B)2222yuxu(C)222yuyxu(D)222xuyxu(10)设有三元方程lne1xzxyzy,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程（）(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数( , )zz x y(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z和( , )zz x y(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )yy x z和( , )zz x y(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z和( , )yy x z10(11)设21,是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12, ,则1,12()A 线性无关的充分必要条件是（）(A)01(B)02(C)01(D)02(12)设A为(2)n n 阶可逆矩阵,交换A的第 1 行与第 2 行得矩阵*.,B A B分别为,A B的伴随矩阵,则（）(A)交换*A的第 1 列与第 2 列得*B(B)交换*A的第 1 行与第 2 行得*B(C)交换*A的第 1 列与第 2 列得*B(D)交换*A的第 1 行与第 2 行得*B(13)设二维随机变量(, )X Y的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件0X与1YX相互独立,则（）(A)0.2,0.3ab(B)0.4,0.1ab(C)0.3,0.2ab(D)0.1,0.4ab(14)设)2(,21nXXXn为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值,2S为样本方差,则（）(A) 1 , 0( NXn(B)22( )nSn(C) 1() 1(ntSXn(D)2122(1)(1,1)niinXFnX三三 、解答题、解答题( (本题共本题共 9 9 小题小题, ,满分满分 9494 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) )(15)(本题满分 11 分)设0, 0,2),(22yxyxyxD,1 22yx 表示不超过221yx 的最大整数. 计算二重积分Ddxdyyxxy.1 22(16)(本题满分 12 分)求幂级数121) 12(11 () 1(nnnxnn的收敛区间与和函数( )f x.(17)(本题满分 11 分)11如图,曲线C的方程为( )yf x,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l与2l分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数( )f x具有三阶连续导数,计算定积分 302.)()(dxxfxx(18)(本题满分 12 分)已知函数( )f x在0,1上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1ff. 证明:(1)存在),1 , 0(使得1)(f.(2)存在两个不同的点) 1 , 0(,使得. 1)()(ff(19)(本题满分 12 分)设函数)(y具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分24( )22Ly dxxydyxy 的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0 x 内的任意分段光滑简单闭曲线,C有24( )202Cy dxxydyxy .(2)求函数)(y的表达式.(20)(本题满分 9 分)已知二次型21232221321)1 (22)1 ()1 (),(xxaxxaxaxxxf的秩为 2.(1)求a的值；(2)求正交变换xyQ,把),(321xxxf化成标准形.(3)求方程),(321xxxf=0 的解.12(21)(本题满分 9 分)已知3阶矩阵A的第一行是cbacba,),(不全为零,矩阵12324636kB(k为常数),且ABO,求线性方程组0 x A的通解.(22)(本题满分 9 分)设二维随机变量(, )X Y的概率密度为( , )f x y 1001,02xyx其它求:(1)(, )X Y的边缘概率密度)(),(yfxfYX.(2)YXZ 2的概率密度).(zfZ(23)(本题满分 9 分)设)2(,21nXXXn为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值,记., 2 , 1,niXXYii求:(1)iY的方差niDYi, 2 , 1,.(2)1Y与nY的协方差1Cov( ,).nY Y1320042004 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷一、填空题一、填空题( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2424 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) )(1)曲线lnyx上与直线1 yx垂直的切线方程为_ .(2)已知(e )exxfx,且(1)0f,则( )f x=_ .(3)设L为正向圆周222 yx在第一象限中的部分,则曲线积分Lydxxdy2的值为_.(4)欧拉方程)0(024222xydxdyxdxydx的通解为_ .(5)设矩阵210120001A,矩阵B满足*2ABABAE,其中*A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B=_ .(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则DXXP= _ .二、选择题二、选择题( (本题共本题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 3232 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求) )(7)把 0 x时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（）(A),(B),(C),(D),(8)设函数( )f x连续,且, 0)0( f则存在0,使得（）(A)( )f x在(0,)内单调增加(B)( )f x在)0 ,(内单调减少(C)对任意的), 0(x有( )(0)f xf(D)对任意的)0 ,(x有( )(0)f xf(9)设1nna为正项级数,下列结论中正确的是（）(A)若nnnalim=0,则级数1nna收敛(B)若存在非零常数,使得nnnalim,则级数1nna发散(C)若级数1nna收敛,则0lim2nnan(D)若级数1nna发散, 则存在非零常数,使得nnnalim14(10)设( )f x为连续函数,ttydxxfdytF1)()(,则)2(F等于（）(A)2 (2)f(B)(2)f(C)(2)f(D) 0(11)设A是 3 阶方阵,将A的第 1 列与第 2 列交换得B,再把B的第 2 列加到第 3 列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为（）(A)101001010(B)100101010(C)110001010(D)100001110(12)设,A B为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有（）(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关(13)设随机变量X服从正态分布(0,1),N对给定的) 10(,数u满足uXP,若 xXP,则x等于（）(A)2u(B)21u(C)21u(D)1u(14)设随机变量) 1(,21nXXXn独立同分布,且其方差为. 02令niiXnY11,则（）(A)21Cov(, )X Yn(B)21Cov(, )X Y(C)212)(nnYXD(D)211)(nnYXD三、解答题三、解答题( (本题共本题共 9 9 小题小题, ,满分满分 9494 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) )(15)(本题满分 12 分)设2eeab,证明2224lnln()ebaba.15(16)(本题满分 11 分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100 . 66k问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分 12 分)计算曲面积分,) 1(322233dxdyzdzdxydydzxI其中是曲面)0(122zyxz的上侧.(18)(本题满分 11 分)设有方程10nxnx ,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根nx,并证明当1时,级数1nnx收敛.(19)(本题满分 12 分)设( , )zz x y是由2226102180 xxyyyzz确定的函数,求( , )zz x y的极值点和极值.(20)(本题满分 9 分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna xxxxa xxnnxnxna x试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.16(21)(本题满分 9 分)设矩阵12314315a A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分 9 分)设,A B为随机事件,且111( ),(|),(|)432P AP B AP A B,令;, 0, 1不发生发生AAX., 0, 1不发生发生BBY求:(1)二维随机变量(, )X Y的概率分布.(2)X和Y的相关系数.XY(23)(本题满分 9 分)设总体X的分布函数为, 1, 1, 0,11),(xxxxF其中未知参数nXXX, 121为来自总体X的简单随机样本,求:(1)的矩估计量.(2)的最大似然估计量1720032003 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷一、填空题一、填空题( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2424 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) )(1)1ln(102)(coslimxxx=.(2)曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是.(3)设)(cos02xnxaxnn,则2a=.(4)从2R的基1211,01 到基1211,12 的过渡矩阵为.(5)设二维随机变量(, )X Y的概率密度为( , )f x y 60 x 01xy其它,则1YXP.(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布) 1 ,(N,从中随机地抽取 16 个零件,得到长度的平均值为 40(cm),则的置信度为 0.95 的置信区间是.(注:标准正态分布函数值.)95. 0)645. 1 (,975. 0)96. 1 (二、二、选择题选择题( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2424 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求) )(1)设函数( )f x在),(内连续,其导函数的图形如图所示,则( )f x有（）(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设,nnncba均为非负数列,且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A)nnba 对任意n成立(B)nncb 对任意n成立(C)极限nnncalim不存在(D)极限nnncblim不存在(3)已知函数( , )f x y在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220, 0yxxyyxfyx,则(A)点(0,0)不是( , )f x y的极值点(B)点(0,0)是( , )f x y的极大值点(C)点(0,0)是( , )f x y的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为( , )f x y的极值点(4)设向量组 I:12,r 可由向量组 II:12,s 线性表示,则（）(A)当sr 时,向量组 II 必线性相关(B)当sr 时,向量组 II 必线性相关(C)当sr 时,向量组 I 必线性相关(D)当sr 时,向量组 I 必线性相关18(5)设有齐次线性方程组0 x A和0 x B,其中,A B均为nm矩阵,现有 4 个命题: 若0 x A的解均是0 x B的解,则秩() A秩( )B 若秩() A秩( )B,则0 x A的解均是0 x B的解 若0 x A与0 x B同解,则秩( ) A秩( )B 若秩( ) A秩( )B, 则0 x A与0 x B同解以上命题中正确的是（）(A)(B)(C)(D)(6)设随机变量21),1)(XYnntX,则（）(A)2( )Yn(B)2(1)Yn(C)( ,1)YF n(D)(1, )YFn三、三、( (本题满分本题满分 1010 分分) )过坐标原点作曲线lnyx的切线,该切线与曲线lnyx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A.(2)求D绕直线ex 旋转一周所得旋转体的体积V.四、四、( (本题满分本题满分 1212 分分) )将函数xxxf2121arctan)(展开成x的幂级数,并求级数012) 1(nnn的和.五五 、( (本题满分本题满分 1010 分分) )已知平面区域0 ,0),(yxyxD,L为D的正向边界.试证:(1)sinsinsinsineeeeyxyxLLxdyydxxdyydx.19(2)sinsin2ee2.yxLxdyydx 六六 、( (本题满分本题满分 1010 分分) )某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k ).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)rr.问(1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m 表示长度单位米.)七七 、( (本题满分本题满分 1212 分分) )设函数( )yy x在),(内具有二阶导数,且)(, 0yxxy是( )yy x的反函数.(1)试将( )xx y所满足的微分方程0)(sin(322dydxxydyxd变换为( )yy x满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(, 0)0(yy的解.八八 、( (本题满分本题满分 1212 分分) )设函数( )f x连续且恒大于零,)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF,ttDdxxfdyxftG12)(22)()()(,其中),()(2222tzyxzyxt,.),()(222tyxyxtD(1)讨论( )F t在区间), 0( 内的单调性.20(2)证明当0t 时,).(2)(tGtF九九 、( (本题满分本题满分 1010 分分) )设矩阵322232223A,010101001P,1*BP A P,求2BE的特征值与特征向量,其中*A为A的伴随矩阵,E为 3 阶单位矩阵.十十 、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )已 知 平 面 上 三 条 不 同 直 线 的 方 程 分 别 为:1l032cbyax,:2l032acybx,:3l032baycx.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为. 0cba十一十一 、( (本题满分本题满分 1010 分分) )已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品,乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数 X 的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二十二 、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设总体X的概率密度为( )f x 2()2e0 x0 xx其中0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本nXXX,21,记).,min(21nXXX(1)求总体X的分布函数( )F x.(2)求统计量的分布函数)(xF.(3)如果用作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.2120022002 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) )(1)exxdx2ln= _.(2)已知函数)(xyy 由方程2e610yxyx ,则(0)y=_.(3)微分方程02 yyy满足初始条件21|, 1|00 xxyy的特解是_.(4)已知实二次型323121232221321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换Pyx 可化为标准型216yf ,则a=_.(5)设随机变量 X 服从正态分布),02）（，（N且二次方程042Xyy无实根的概率为21,则=_.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求) )(1)考虑二元函数),(yxf的四条性质:),(yxf在点),(00yx处连续, ),(yxf在点),(00yx处的两个偏导数连续,),(yxf在点),(00yx处可微, ),(yxf在点),(00yx处的两个偏导数存在.若用“QP ”表示可由性质P推出性质，Q则有:（）(A)(B)(C)(D)(2)设0nu）（, 3 , 2 , 1n,且1limnnun,则级数111)11() 1(nnnnuu（）(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数），在（0)(xfy内有界且可导,则（）(A)当0)(limxfx时,必有0)(limxfx(B)当)(limxfx存在时,必有0)(limxfx(C) 当0)(lim0 xfx时,必有0)(lim0 xfx(D) 当)(lim0 xfx存在时,必有0)(lim0 xfx.(4)设有三张不同平面,其方程为, 3 , 2 , 1,321ibzayaxaiiii它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为（）(5)设21XX 和是 相互 独立 的连 续型 随机 变量 , 它 们的 概 率密 度分 别为)()(21xfxf和, 分 布函 数分 别为22）（）和（xFxF21,则（）(A)(21xfxf）（必为某一随机变量的概率密度(B)(21xfxf）（必为某一随机变量的概率密度(C)(21xFxF）（必为某一随机变量的分布函数 (D)(21xFxF）（必为某一随机变量的分布函数.三、三、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设函数)(xf在0 x 的某邻域具有一阶连续导数,且0)0(, 0)0(ff,若0)0()2()(hfhbfhaf在时是比h高阶的无穷小，,试求ba,的值.四、四、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )已知两曲线)(xfy 与2arctan0extydt在点(0,0)处的切线相同.写出此切线的方程,并求极限)2(limnnfn.五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )计算二重积分22m ax,exyDdxdy,其中10, 10|),(yxyxD.六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设函数)(xf在），（内具有一阶连续导数,L是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线,起点为(ba,),终点为(dc,).记LdyxyfyyxdxxyfyyI, 1)()(1 1222,(1)证明曲线积分I与路径L无关.(2)当cdab 时,求I的值.23七、七、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )(1)验证函数LnxLxxyn)!3(! 99! 66! 31)(3333(x)满足微分方程exyyy.(2)利用（2）的结果求幂级数03)!3(nnnx的和函数.八、八、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为75| ),(22xyyxyxD,小山的高度函数为),(yxhxyyx2275.(1)设),(00yxM为区域D上一点,问),(yxh在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向的方向导数的最大值为),(00yxg,写出),(00yxg的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中),(yxg达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、九、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )已知四阶方阵1234(,)A ,1234, 均为四维列向量,其中234, 线性无关,1232.若1234,求线性方程组x A的通解.十、十、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设,A B为同阶方阵,(1)若,A B相似,证明,A B的特征多项式相等.24(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十十一一、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设维随机变量X的概率密度为., 00,2cos21)(其他xxxf对X独立地重复观察次,用Y表示观察值大于3的次数,求2Y的数学期望.十十一一、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设总体 X 的概率分布为其中)210（是未知参数,利用总体 X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估计值和最大似然估计值.252001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1)设12(sincos )xye CxCx(12,C C为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_.(2)设222zyxr,则 div(gradgradr)2, 2, 1( =_.(3)交换二次积分的积分次序:0112),(ydxyxfdy_.(4)设矩阵A满足240AAE,其中E为单位矩阵,则1()AE=_.(5)设随机变量X的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计2)(XEXP_.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)设函数)(xf在定义域内可导,)(xfy 的图形如右图所示,yOx则)(xfy的图形为(2)设),(yxf在点(0,0)附近有定义,且1)0 , 0(, 3)0 , 0(yxff,则(A)(0,0)|3zddxdy.(B) 曲面),(yxfz 在点(0,0,(0,0)f处的法向量为3,1,1.(C) 曲线0),(yyxfz在点(0,0