1987考研数学一、二、三真题+答案 .pdf

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 1 页 1987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答数学试题参考解答 数数 学（试卷学（试卷） 一、一、填空题（每小题填空题（每小题 3 分，满分分，满分 15 分分. 只写只写答案答案不写解题过程不写解题过程） (1) 与两直线 112xytzt 及 121121xyz 都平行，且过原点的平面方程是 50 xy (2) 当x 1/ln2；时，函数2xyx取得极小值. (3) 由lnyx与两直线(1)yex及0y 围成图形的面积= 3 / 2 (4) 设 L 为取正向的圆周922 yx，则曲线积分dyxxdxyxyL)4()22(2的值是18 . (5) 已知三维线性空间的一组基底 )1 , 1 ,0(, )1 ,0, 1(, )0, 1 , 1(321，则向量 (2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 ) 二、 （本题满分二、 （本题满分 8 分）分） 求正的常数a与b，使式1sin1lim0220dttatxbxxx成立. 解：解：假若1b ，则根据洛必达法则有 222200011limlim()01sincosxxxtxdtbxxbxatax， 与题设矛盾， 于是1b . 此时22221222000021112limlim()lim()sin1 cosxxxxtxxdtbxxxxaataxax， 即21a，因此4a . 三、 （本题满分三、 （本题满分 7 分）分） (1) 设函数, f g连续可微，( ,),()uf x xy vg xxy，求 ,.uvxx 解：解：1212()uxxyfffy fxxx；()(1)vxxygygxx. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 2 页 (2) 设矩阵A和B满足2ABAB，其中A 301110014，求矩阵B. 解：解：因2ABAB，故2ABBA，即(2 )AE BA， 故1(2 )BAEA522432223. 四、 （本题满分四、 （本题满分 8 分）分） 求微分方程26(9)1yyay的通解.其中常数0a . 解：解：由特征方程3222(9)0rra r，知其特征根根为12,30,3rrai . 故对应齐次方程的通解为33123cossinxxyCC exC ex，其中123,C C C为任意常数. 设原方程的特解为*( )y xAx，代入原方程可得A 219a. 因此，原方程的通解为*33123( )cossinxxy xyyCC exC ex219ax. 五、五、选择题（每小题选择题（每小题 3 分，满分分，满分 12 分）分） (1) 设常数0k ， 则级数21) 1(nnknn （C） (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛与发散与k的值有关. (2) 设)(xf为已知连续函数，tsdxtxftI0)(，0,0st， 则I的值 （D） (A) 依赖于s和t (B) 依赖于s、t、x (C) 依赖于t和x, 不依赖于s (D) 依赖于s, 不依赖于t (3) 设1)()()(lim2axafxfax， 则在点xa处 (B) (A) ( )f x导数存在,0)( af (B) ( )f x取得极大值 (C) ( )f x取得极小值 (D) ( )f x的导数不存在. (4) 设 A 为 n 阶方阵, 且0aA, 而*A是 A 的伴随矩阵， 则*A= (C) (A) a (B) a/1 (C) 1na (D) na 六、 （本题满分六、 （本题满分 10 分）分） 求幂级数1121nnnxn的收敛域，并求其和函数. 解：解：记112nnnuxn，有1112limlim(1)22nnnnnnnnxuxnunx， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 3 页 令12x，知原级数在开区间( 2,2)内每一点都收敛. 又当2x 时，原级数=111111( 2)2( 1)2nnnnnnn，故由莱布尼兹判别法知其收敛； 而当2x 时， 原级数=11111122( 1)2nnnnnnn， 显然发散， 故幂级数的收敛域为)2 , 2. 又记111111( )( )( )22nnnnnxS xxxxS xnn，其中111( )( )2nnxS xn， 有1111( )( )21/2nnxS xx，于是102( )2ln()1/22xdxS xxx， 因此幂级数的和函数为2( )2 ln2S xxx， 2,2)x . 七、 （本题满分七、 （本题满分 10 分）分） 计算曲面积分2(81)2(1)4SIxydydzy dzdxyzdxdy， 其中 s 是曲线 )31 (01yxyz 绕 Y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与 Y 轴 正向的夹角恒大于/2 解解：S的方程为221yxz，记1S：223,()yxz，知1SS为封闭曲面，设其 方向取外侧，所围区域为，则由高斯公式，有 12(81)2(1)4S SIxydydzy dzdxyzdxdy 12(81)2(1)4Sxydydzy dzdxyzdxdy 12102(1)0Sdvy dydz =3212(1 3 )yz xDDdydzdxdzdx 31(1)16234ydy. 八、 （本题满分八、 （本题满分 10 分）分） 设函数)(xf在闭区间0,1上可微，对于0,1上的每个x，函数的值都在开区间(0,1) 内，且1)( xf.证明 在(0,1)内有且仅有一个x，使( )f xx 证证：令( )( )h tf tt，知( )h t在闭区间0,1上连续，又由题设知0( )1f x，于是 有(0)(0)00, (1)(1) 10hfhf . 故由零点定理，在(0,1)内有x，使( )f xx. 假若)(xf在开区间(0,1)内有两个不同的点1x和2x，使得11()f xx，22()f xx， 不妨设12xx，则易见)(xf在闭区间0,1上连续，在(0,1)内可导， 故由拉格朗日定理知，郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 4 页 (0,1) ，使得2121()( )( )f xf xfxx，即( )1f.此与1)( xf矛盾！故在(0,1)内使( )f xx的x只能有一个. 九、 （本题满分九、 （本题满分 8 分）分） 问, a b为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax 有唯一解？无解？有无穷多解？ 并求出无穷多解时的通解. 解：解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得 11110111100122101221()013200101321100010AA bababaa 1 当1a时，系数行列式2(1)0Aa，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解； 2 当1a ，且1b 时，( )3, ( )2r Ar A，( )( )r Ar A，故原方程组无解； 3 当1a ，且1b 时，( )( )24r Ar A，故原方程组有无穷的解. 此时显然有 11110101110122101221()00000000000000000000AA b 可见其通解为：12( 1,1,0,0)(1, 2,1,0)(1, 2,0,1)TTTxcc ，其中12,c c为任意常数. 十、填空题（每小题十、填空题（每小题 2 分，满分分，满分 6 分）分） (1) 在一次试验中事件 A 发生的概率为p，现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为np)1 (1；而事件 A 至多发生一次的概率为1)1() 1(1 nppn. (2) 三个箱子，第一个箱子有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个白球 3 个黑球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个 球为白球的概率为53/120， 已知取出的是白球， 此球属于第二箱的概率是20/53. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 5 页 (3) 已知连续随机变量 X 的密度为1221)(xxexf，则 X 的数学期望为 1 ；X 的方差为 1/2 . 十一、 （本题满分十一、 （本题满分 6 分）分） 设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为 它其0101)(xxfX；000)(yyeyfyY， 求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数( )zf z. 解：解：由题设，(, )X Y的联合密度为01,0( , )( )( )0yXYexyf x yfx fy其 它， 故Z的分布函数2( )()(2)( , )zx y zF zP ZzPXYzf x y dxdy ， 1 当0z 时，2( )00zx y zF zdxdy ，此时( )00zf z； 2 当02z时，200001( )22z yzzzyyyzzF zdye dxe dyye dy，此时 011( )( )(1)22zyzzzfzF ze dye； 3 当2z 时，121220001( )(1)1(1)2zxyx zzzF zdxe dyedxee ，此时 21( )( )(1)2zzzf zF zee 综上所述，Z=2X+Y 的概率密度函数为( )zfz 1221200(1)02(1)2zzzezeez 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 6 页 数数 学（试卷学（试卷） 一、一、 （本题满分（本题满分 15 分）分） 【 同数学、第一题 】 二、 （本题满分二、 （本题满分 14 分）分） (1)（6 分）分）计算定积分2| |2(|).xxx edx 解：解： 因| | xxe是奇函数，| |xx e是偶函数， 故 原式=22| |2002|226.xxx edxxe dxe (2)（8 分）分） 【 同数学、第二题 】 三、 （本题满分三、 （本题满分 7 分）分） 设函数( , , ),yzf u x y uxe，其中f有二阶连续偏导数，求 2.zx y 解：解：121yzufff efxx，2111312123()yyyyzfxefeeffxefx y . 四、四、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 【 同数学、第四题 】 五、五、 （本题满分（本题满分 12 分）分） 【 同数学、第五题 】 六、六、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 【 同数学、第六题 】 七、七、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 【 同数学、第七题 】 八、八、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 【 同数学、第八题 】 九、九、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 【 同数学、第九题 】 十、 （本题满分十、 （本题满分 6 分）分） 设12, 为 n 阶方阵A的特征值，12，而21, xx分别为对应的特征向量，试证明：21xx 不是A的特征向量. 证：证： 假若21xx 是A的特征向量， 设其对应的特征值为3， 则有12312()()A xxxx， 即123 13 2AxAxxx. 又由题设条件知11 1Axx，222Axx，故有 131232()()0 xx.因21, xx是属于不同特征值的特征向量， 所以21, xx线性无关， 从而13，且13，此与12矛盾！因此21xx 不是A的特征向量. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 7 页 数数 学（试卷学（试卷） 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 2 分，满分分，满分 10 分分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） (1) 设)1ln(axy, 其中a为非零常数，则22)1 (,1axayaxay . (2) 曲线yarctgx在横坐标为 1 点处的切线方程是4221xy； 法线方程是4/ )8(2xy. (3) 积分中值定理的条件是( ) , f xa b在闭区间上连续，结论是 , ,( )( )()baa bf x dxfba 使得 (4) 32()1nnnlinen. (5) dxxf)(cxf)(；badxxf)2()2(21)2(21afbf. 二、 （本题满分二、 （本题满分 6 分）分） 求极限 011lim()1xxxe 解：解：200000111111lim()limlimlimlim1(1)222xxxxxxxxxxexexexxex exxx . 三、 （本题满分三、 （本题满分 7 分）分） 设)cos1 (5)sin(5tyttx，求 22,.dy d ydx dx 解：解：因5sin ,5 5cosdydxttdtdt ，5sin )sin5(1 cos1 cosdyttdxtt（0+），故ttdxdycos1sin， 且222sin1()1 cos5(1 cos )d ydtdtdxdttdxt 四、 （本题满分四、 （本题满分 8 分）分） 计算定积分 10arcsinxdxx. 解：解：2211121022000111arcsinarcsin224211xxxxdxxxdxdxxx， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 8 页 令sinxt， 有2212200sincoscos41xtdxtdttx， 因此101arcsin42 48xxdx. 五、五、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 设D是曲线sin1yx与三条直线0 x ,x,0y 围成的曲边梯形.求D绕x轴旋 转一周所生成的旋转体的体积. 解：解：2203(sin1)42Vxdx. 六、六、证明题证明题（本题满分（本题满分 10 分）分） (1)（5 分）分）若( )f x在( , )a b内可导，且导数)(xf 恒大于零，则( )f x在( , )a b内单调增加. 证：证：12,( , )x xa b，不妨设12xx，则( )f x在12,x x上连续，在12( ,)x x内可导， 故由拉格朗日中值定理，12( ,)( , )x xa b ，使得2121()( )( )()f xf xfxx. 由于)(xf 在( , )a b内恒大于零，所以( )0f，又210 xx，因此21()()0f xf x， 即21()( )f xf x，表明( )f x在( , )a b内单调增加. (2)（5 分）分）若( )g x在xc处二阶导数存在，且0)( cg,0)( cg，则( )g c为( )g x 的一个极大值. 证：证： 因( )( )( )lim0 xcg xg cg cxc， 而0)( cg， 故( )lim0 xcg xxc.由极限的保号性， 0，当(, )xcc时，有( )0g xxc，即( )0g x，从而( )g x在(, )cc单增； 当( ,)xc c时，有( )0g xxc，即( )0g x，从而( )g x在(, )cc单减. 又由0)( cg知，xc是( )g x的驻点，因此( )g c为( )g x的一个极大值. 七、 （本题满分七、 （本题满分 10 分）分） 计算不定积分 xbxadx2222cossin ( 其中, a b为不全为零的非负数 ) 解：解： 当0a 时，原式=22211sectanxdxxcbb； 当0b 时， 原式=22211ccotcsxdxxcaa； 当0ab 时，原式=22222(tan )sec11arctan(tan )tan(tan )1adxxdxabxcaaxbababbxb. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 9 页 八、 （本题满分八、 （本题满分 15 分）分） (1)（7 分）分）求微分方程yxdxdyx，满足条件0|2xy的解 解：解：原方程即11dyydxx，故其通解为1121 1()()2dxdxxxyeedxcxcx. 因0|2xy，所以1c .于是所求初值问题的解为xxy12. (2)（8 分）分）求微分方程 xexyyy 2 的通解. 解：解：由特征方程2210rr ，知其特征根根为1,21r. 故对应齐次方程的通解为12()xyCC x e，其中12,C C为任意常数. 设原方程的特解为*( )()xy xe axb，代入原方程可得a 14，b 14. 因此，原方程的通解为*212( )()xy xyyCC x e14(1)xxe. 九、九、选择题（每小题选择题（每小题 4 分，满分分，满分 16 分）分） (1).xexxxfx-,sin)(cos 是 （D） （A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）偶函数 (2). 函数( )sinf xxx (D) （A）当x时为无穷大 （B）当x时有极限 （C）在),(内有界 （D）在),(内无界 (3) 设( )f x在xa处可导，则xxafxafx)()(lim0等于 (B) （A）)(af （B）)(2af （C）0 （D）)2( af (4) 【 同数学、第五（2）题 】 十、十、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 在第一象限内，求曲线12 xy上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成 的面积为最小，并求此最小面积. 解：解： 设切点的横坐标为a， 则切线方程为2(1)2 ()yaa x a， 即221yaxa 故所围面积2312201112(1)(1)224243aaasaxdxaa. 令0s得驻点a 33. 由于3/30as，故所求点的坐标为3 2(, )33，其最小值为3/3as42393. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 10 页 数数 学（试卷学（试卷） 一、判断题（每小题答对得一、判断题（每小题答对得 2 分，答错得分，答错得-1 分，不答得分，不答得 0 分，全题最低分，全题最低 0 分）分） (1) 10limxxe （ ） (2) 4sin0 xxdx （ ） (3) 若级数1nna与1nnb均发散， 则级数1()nnnab必发散 （ ） (4) 假设D是矩阵A的r阶子式，且含D的一切1r 阶子式都等于 0， 那么矩阵A的一切1r 阶子式都等于 0 （ ） (5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 0 （ ） 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 2 分，满分分，满分 10 分分.） (1) 下列函数在其定义域内连续的是 (A) （A） ( )lnsinf xxx （B）0cos0sin)(xxxxxf （C）010001)(xxxxxxf （D）0001)(xxxxf (2) 若函数 f(x)在区间( , )a b内可导，21,xx是区间内任意两点， 且21xx ， 则至少存一点，使得 （C） (A) ( )( )( )(),f bf afbaab. (B) 111( )( )( )(),f bf xfbxxb. (C) 212112()( )( )(),f xf xfxxxx. (D) 222()( )( )(),f xf afxaax. (3) 下列广义积分收敛的是 （C） （A）dxxxeln （B）exxdxln （C）exxdx2)(ln （D）exxdxln (4) 设 A 是 n 阶方阵， 其秩 r n ， 那么在 A 的 n 个行向量中 (A) (A) 必有 r 个行向量线性无关 (B) 任意 r 个行向量线性无关 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 11 页 (C) 任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表示 (5) 若二事件A和B同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则 (C) (A) A 和 B 互不相容（互斥） (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A)=0 或 P(B)=0 三、计算下列各题（每小题三、计算下列各题（每小题 4 分，满分分，满分 16 分）分） (1) 求极限 xxxxe10)1 (lim. 解：解：因 1ln(1)(1)xxexxxxee， 而 ln(1)xxxexex （当0 x ） ， 故 000ln(1)limlimlim1xxxxxxxexeexx， 从而 10lim(1)xxxxee. (2) 已知1111ln22xxy， 求y. 解：解：22ln( 11)ln( 11)yxx，2222222 12 1ln1111xxxxyxx 212xx. (3) 已知 yxyxarctgz，求dz. 解：解：222()()()()()()1()1()xyxy dxdyxy dxdydxyxydzxyxyxyxy22ydxxdyxy (4) 求不定积分dxex12. 解：解：令21xt ，有 2121( 21 1)xtttttxedxe tdttee dtteecxec 四、 （本题满分四、 （本题满分 10 分）分） 考虑函数sinyx )2/0( x，问： (1) t 取何值时，图中阴影部分的面积1s与2s之和21sss最小？(2 ) t 取何值时，21sss最大？ 解：解：因10sinsinsincos1tsttxdxttt， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 12 页 22sin()sincossinsin22tsxdxtttttt， 故122 sin2cossin12ssstttt,(0)2t . 令0s，得s在(0,)2内的驻点4t. 而( )214s，( )122s，(0)1s， 因此 4t时，s最小；0t 时，s最大. 五、 （本题满分五、 （本题满分 6 分）分） 将函数231)(2xxxf 展成x的级数，并指出收敛区间. 解：解：因111111( )(2)(1)121212f xxxxxxx， 而011nnxx，( 1,1)x ， 且 0011( )2212nnnnnxxx，( 2,2)x ， 故1100111( )(1)222nnnnnnnnf xxxx，其收敛区间为( 1,1). 六、 （本题满分六、 （本题满分 5 分）分） 计算二重积分2xDe dxdy， 其中D是第一象限中由直线yx和3xy 围成的封闭区域. 解：解：联立yx和3xy ，可解得两曲线交点的横坐标 0 x 和1x ，于是 222311300()12xxxxDxee dxdydxe dyxx e dx 七、 （本题满分七、 （本题满分 6 分）分） 已知某商品的需求量 x 对价格 P 的弹性为 33p， 而市场对商品的最大需求量为 1 （万件） ，求需求函数. 解：解：由弹性的定义，有33p dxpx dp ，即23dxp dpx ， 于是有 3pxce，c为待定常数. 由题意 0p 时，1x ，故1c ，因此3pxe. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 13 页 八、 （本题满分八、 （本题满分 8 分）分） 解线性方程组 337713343424313214314321xxxxxxxxxxxxx 【123431820160 xxkxx，k 为任意常数】 解：解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有 2143410103101130120831101000167073300000 故原方程组与下方程组同解： 132343826xxxxx ，令30 x ，可得原方程组的特解(3, 8,0,6)T. 又显然原方程组的导出组与下方程组同解： 1323420 xxxxx ，令31x ，可得导出组的基础解系( 1,2,1,0)T . 因此原方程组的通解为：1234( ,)(3, 8,0,6)( 1,2,1,0)TTx x x xk，其中k为任意常数. 九、 （本题满分九、 （本题满分 7 分）分） 设矩阵A和B满足2ABAB，求矩阵B，其中A 423110123. 解：解：因2ABAB，故2ABBA，即(2 )AE BA， 故1(2 )BAEA3862962129 十、 （本题满分十、 （本题满分 6 分）分） 求矩阵A 312014101的实特征值及对应的特征向量. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 14 页 解：解： 令 0EA， 即2(1 ) (45 ) 0,可见矩阵A只有一个实特征值1. 易见，线性方程组()0EA X的基础解系为(0,2,1)T，故A对应于实特征值1的特 征向量为(0,2,1)Tk， （其中k为非零任意常数）. 十一、 （每小题十一、 （每小题 4 分，满分分，满分 8 分）分） (1) 已知随机变量 X 的概率分布为(1)0.2, (2)0.3, (3)0.5P XP XP X，试写出X的分布函数( )F x. 解：解：X的分布函数为( )F x 0,0.2,0.5,1, 332211xxxx. (2) 已知随机变量 Y 的概率密度为000)(2222yyeyfayay, 求随机变量YZ1的数学期望EZ. 解：解：222222220011112( )( )222yyaayEZEf y dyedyedyYyy aaa. 十二、 （本题满分十二、 （本题满分 8 分）分） 设有两箱同种零件.第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装有 30 件，其中18 件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回） ，试求: (1) 先取出的零件是一等品的概率p； (2) 在先取出的零件是一等品的条件下， 第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q. 解：解：设iB 取出的零件为第i箱中的，jA 第j次取出的是一等品，,1,2i j ， 显然12,B B为正概完备事件组，故全概公式得 (1) 11112121 101 182()() ()() ()2 502 305pP AP B P A BP B P A B； (2) 12112121221 10 91 18 17276()() ()() ()2 50 492 30 291421P AAP B P AA BP B P AA B， 于是，由贝叶斯公式得q 12211()690()0.48557()1421P A AqP A AP A. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 15 页 数数 学（试卷学（试卷） 一、判断题（每小题答对得一、判断题（每小题答对得 2 分，答错得分，答错得-1 分，不答得分，不答得 0 分，全题最低分，全题最低 0 分）分） (1) 【 同数学 第一（1）题 】 (2) 【 同数学 第一（2）题 】 (3) 若函数( )f x在区间( , )a b严格单增， 则对区间( , )a b内任何一点x有( )0fx. （ ） (4) 若A为n阶方阵，k为常数，而A和kA为A和kA的行列式，则kAk A. （ ） (5) 【 同数学 第一（5）题 】 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 2 分，满分分，满分 10 分）分） (1) 【 同数学 第二（1）题 】 (2) 【 同数学 第二（2）题 】 (3) 【 同数学 第二（3）题 】 (4) 【 同数学 第二（4）题 】 (5) 对于任二事件A和B，有()P AB (C) (A) ( )( )P AP B (B) ( )( )()P AP BP AB (C) ( )()P AP AB (D) )()()(BAPBPAP 三、计算下列各三、计算下列各题（每小题题（每小题 4 分，满分分，满分 20 分）分） (1) 求极限1ln(1)limxxarctgx. 解：解：11ln(1)lim ln(1)0lim0lim/2xxxxxarctgxarctgx (2) 【 同数学 第三（2）题 】 (3) 【 同数学 第三（3）题 】 (4) 计算定积分dxex12112 解：解：令21xt ，有11121111000021xttttedxetdttee dtee (5) 求不定积分5224xxxdx. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 16 页 解：解：22422221(1)11arctan252(1)242xdxd xxcxxx. 四、 （本题满分四、 （本题满分 10 分）分） 考虑函数2yx，10 x，问： (1) t 取何值时，图中阴影部分的面积(与数学第四题类似)1s与2s之和21sss最小？ (2 ) t 取何值时，21sss最大？ 解：解：132223212041(1)33ttssstx dxx dxt ttt，(01)t 令0s，得(0,1)内的驻点12t . 而11( )24s，1(0)3s，2(1)3s， 因此 12t 时，s最小；1t 时，s最大. 五、五、 （本题满分（本题满分 5 分）分） 【 同数学 第六题 】 六、 （本题满分六、 （本题满分 8 分）分） 设某产品的总成本函数为21( )40032C xxx，而需求函数为xp100，其中x为产量（假定等于需求量）,p为价格. 试求： （1）边际成本； （2）边际收益； （3）边际利润； （4）收益的价格弹性. 解：解： （1）边际成本：( )3MCC xx； （2）收益函数：( )100R xp xx，边际收益50( )MRR xx； （3）利润函数：21( )( )( )100400 32L xR xC xxxx， 边际利润：50( )3MLL xxx ； （4）收益的价格函数：2(100)( )100R xxp， 收益的价格弹性：2222(100)1(100)p dRpR dpp . 七、七、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 【 同数学 第八题 】 八、八、 （本题满分（本题满分 7 分）分） 【 同数学 第九题 】 九、九、 （本题满分（本题满分 6 分）分） 【 同数学 第十题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 17 页 十、十、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 已知随机变量 X 的概率分布为(1)0.2, (2)0.3, (3)0.5P XP XP X， 试写出X的分布函数( )F x， 并求X的数学期望与方差. 解解：X的分布函数为( )F x 0,0.2,0.5,1, 332211xxxx， 1 0.22 0.3 3 0.52.3EX ；222210.220.330.55.9EX 222()5.9 2.30.61DXEXEX 十一、十一、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 【 同数学 第十二题 】