2004考研数一真题解析.pdf

一、填空题一、填空题(1)【答案】 y =x 1【详解】方法 方法 1：因为直线 x +y =1的斜率k1 =1，所以与其垂直的直线的斜率k2 满足121k k ，所以21k ，即21k ，曲 线lnyx上 与 直 线1 yx垂 直 的 切 线 方 程 的 斜 率 为 1 ， 即11)(lnxxy，得1x ，把1x 代入lnyx，得切点坐标为)0 , 1 (，根据点斜式公式得所求切线方程为：) 1(10 xy，即1 xy方法方法 2： 本题也可先设切点为)ln,(00 xx， 曲线lnyx过此切点的导数为1100 xyxx，得10 x， 所以切点为00(,ln)1,0 xx， 由此可知所求切线方程为) 1(10 xy，即1 xy.(2)【答案答案】2)(ln21x【详解】 先求出)(xf 的表达式，再积分即可.方法方法 1：令tex，则txln，1xet，于是有tttfln)(，即.ln)(xxxf两边积分得2ln1( )lnln(ln )2xf xdxxdxxCx.利用初始条件(1)0f, 代入上式：21(1)(ln1)02fCC，即0C ，故所求函数为( )f x=2)(ln21x.方法方法 2：由lnxxe，所以xxxeef)(lnlnxxxxeeee，所以.ln)(xxxf下同.(3)【答案】23【详解】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析L为正向圆周222 yx在第一象限中的部分，用参数式可表示为.20:,sin2,cos2yx于是2Lxdyydx202cos2sin2 2sin2cosdd20 2cos2cos2 2sin2sin d2222222002cos4sin2 cossin2sindd2222200022sin22sinddd 220021 cos2d222000131cos22sin2222d3133sinsin002222(4)【答案】221xcxcy【详解】 欧拉方程的求解有固定方法， 作变量代换tex 化为常系数线性齐次微分方程即可.令tex ，有1ln ,dttxdxx，则1dydy dtdydxdt dxx dt，221d yddydxdxx dt211dyddyd uvvduudvxdtx dxdt 211dyddydtxdtx dtdtdx 2222222111dyd yd ydyxdtxdtxdtdt 代入原方程：222211420d ydydyxxyxdtdtx dt，整理得02322ydtdydtyd，此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为2320rr，所以特征根为：121,2rr ，12rr，所以02322ydtdydtyd的通解为1221212rtr tttyc ec ec ec e又因为tex ，所以2211,tteexx，代入上式得212122.ttccyc ec exx(5)【答案】91【详解】方法方法 1：已知等式两边同时右乘A，得*2ABA ABA AA，由伴随矩阵的运算规律：*A AAAA E，有2AB AB AA，而210120001A 3321( 1)12 22 1 1 3，于是有ABAB 63，移项、合并有ABEA)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(36 )363AE BAE BA，而36AE2101003 1206 0100010016306000303600603000030060033 303( 1)( 3)( 3) 3 330 27，故所求行列式为B33627AAE19方法方法 2：由题设条件*2ABABAE，得*2ABABA*(2 )AE BAE由方阵乘积行的列式的性质： 矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有*(2 )21AE BAAE B AE其中210120001A 3 321( 1)12 22 1 1 3；由伴随矩阵行列式的公式：若A是n阶矩阵，则1nAA.所以，3 12AAA=9 ； 又0102100001AE1210( 1)01 =1.故1192BAE A.(6)【答案】e1【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.指数分布的概率密度为,0( )00 xexf xx若若，其方差21DX.于是，由一维概率计算公式，( )bXaP aXbfx dx，有DXXP=dxeXPx11=11xee二、选择题二、选择题(7)【答案】 (B)【详解】方法方法 1：20220000tantan2limlimlim0coscosxxxxxtdtxxxt dt洛必达，则是的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又2323000001sinsin2limlimlim2 tantanxxxxxxt dtxxxtdt洛必达201lim4xxx 等价无穷小替换，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).方法方法 2：用kx(当0 x 时)去比较.2201000coscoslimlimlim,xkkkxxxt dtxxxkx洛欲使上式极限存在但不为 0，应取1k ，有22000000lim coscoslimlim1limxxxxttxxx，所以(当 0 x时)与x同阶.2011300000tantan222limlimlimlimlimxkkkkkxxxxxtdtxxxxxxkxkxkx洛欲使上式极限存在但不为 0，应取3k , 有33 20002tan2tan2limlimlim333xxxxxxxx，所以(当 0 x时)与3x同阶.313132222011100000sinsinlimlimlimlimlim,222xkkkkkxxxxxt dtxxxxxxxkxkxkx洛欲使上式极限存在但不为 0，应取2k , 有22 1001limlim2 24xxxxx，所以(当 0 x时)与2x同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是, , ，选(B).(8)【答案】 (C)【详解】函数( )f x只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知0)0()(lim)0(0 xfxffx根据极限的保号性，知存在0，当), 0()0 ,(x时，有0)0()(xfxf.即当)0 ,(x时，0 x ，有( )(0)f xf；而当), 0(x时，0 x 有( )(0)f xf.(9)【答案】 (B)【详解】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项.方法方法 1：排除法. 取11 ln1nann，则nnnalim=0，又1111 ln11pnpnnp收敛，当发散，当， 所以 1111 ln1nnnann发散， 排除 A， D；又取nnan1，因为p级数1111pnpnp收敛，当发散，当，则级数111nnnan n收敛，但221limlimlimnnnnn annn n ，排除(C), 故应选(B).方法方法 2：证明(B)正确.lim0nnna,即lim1nnan.因为11nn发散，由比较判别法的极限形式知，1nna也发散，故应选(B).(10)【答案】(B)【详解】在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:)()()()()()()(xbxaxaxafxbxbfdttf否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上.方法方法 1：交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有t，其他地方不出现t由由ttydxxfdytF1)()(知：1yxtyt，交换积分次序11xtyx，得ttydxxfdytF1)()(= txtdxxxfdxdyxf111) 1)()(于是，) 1)()(ttftF，从而有)2()2(fF，故应选(B).方法方法 2：设( )( )xf x，于是1( )( )ttyF tdyf x dx11( )( )ttttyydyx dxdydx1( )( )tty dy1( )(1)( )tt ty dy 所以( )( )(1)( )( )( )(1),F tt tttf t t 所以(2)(2)Ff，选(B).(11)【答案】(D)【详解】由题设，将A的第 1 列与第 2 列交换，即12010100001AEAB，将B的第 2 列加到第 3 列，即100010100011011100011100.001001001001BAAAQ故011100001Q，应选(D).(12)【答案】(A)【详解】 方法方法 1： 由矩阵秩的重要公式： 若A为nm矩阵，B为np矩阵， 如果0AB ，则( )( )r Ar Bn设A为nm矩阵，B为sn矩阵，由0AB 知，( )( )r Ar Bn，其中n是矩阵A的列数，也是B的行数因A为非零矩阵，故( )1r A ，因( )( )r Ar Bn，从而( )1r Bnn ，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B的行向量组线性相关.因B为非零矩阵，故( )1r B ，因( )( )r Ar Bn，从而( )1r Ann ，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A的列向量组线性相关.故应选(A).方法方法 2：设A为nm矩阵，B为sn矩阵，将B按列分块，由0AB 得，12,0,0,1,2, .siABAAis 因B是非零矩阵，故存在0i，使得0iA. 即齐次线性方程组0Ax 有非零解. 由齐次线性方程组0Ax 有非零解的充要条件( )r An, 知( )r An. 所以A的列向量组线性相关.又()0TTTABB A，将TA按列分块，得12,0,0,1,2,.TTTTTTTTmiB ABBim因A是非零矩阵，故存在0Ti，使得0TTiB，即齐次线性方程组0Bx 有非零解. 由齐次线性方程组0Bx 有非零解的充要条件，知TB的列向量组线性相关，由TB是由B行列互换得到的，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).方法方法 3：设(),ijm nAa()ijn sBb,将A按列分块，记12nAAAA由0AB 11121212221212ssnnnnsbbbbbbAAAbbb111111,0nnsnsnb Ab Ab Ab A(1)由 于0B , 所 以 至 少 有 一 个0ijb (1,1injs ), 又 由 (1) 知 ,11220jjijinjnb Ab Ab Ab A, 所以12,mAAA线性相关. 即A的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m个向量12,nmR ，有m个不全为零的数12,mk kkR，使11220mmkkk成立，则称12,m 线性相关.)又将B按行分块，记12nBBBB, 同样，0AB 11121121222212nnmmmnnaaaBaaaBaaaB111122121122221122nnnnmmmnna Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba B0由于0A ,则至少存在一个0ija (1,1imjn ), 使11220iiijjinna Ba Ba Ba B,由向量组线性相关的定义知，12,mBBB线性相关, 即B的行向量组线性相关，故应选(A).方法方法 4：用排除法.取满足题设条件的,A B.取001000,10010001AB，有00100100,10001ABA的行向量组，列向量组均线性相关，但B的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.又取110100,00000100AB，有1101000000100AB，A的行向量组线性无关，B的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).(13)【答案】C【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何0 x 有12P XxP XxP Xx .或直接利用图形求解.方法方法 1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，uXP，于是211xXPxXPxXPxXPxXP即有21 xXP，可见根据分位点的定义有21 ux，故应选(C).方法方法 2：Oxy( )f xP Xu图 1图 2如图 1 所示题设条件. 图 2 显示中间阴影部分面积，P Xx.两端各余面积12，所以12P Xu，答案应选(C).(14)【答案】A.【详解】由于随机变量) 1(,21nXXXn独立同分布，所以必有：2, (,)0, ijijCov XXij又222111()nnniiiiiiiiDa Xa D XaOxyP Xx12( )f x下面求1(, )Cov X Y和1()D XY.而11,niiYXn故本题的关键是将Y中的1X分离出来，再用独立性来计算.对于选项(A)：1111112111(, )(,)(,)(,)nniiiiCov X YCov XXCov X XCov X Xnnn11DXn21n所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算. 可以看本题(C),(D)选项.因为X与Y独立时，有 ()D XYD XD Y. 所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：22211222111(1)1()()nnnnD XYDXXXnnnnn=222233nnnnn，222222111) 1()111()(nnnnXnXnXnnDYXDn=.222222nnnnn所以本题选 (A)三、解答题三、解答题(15)【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法方法 1：因为函数 2lnf xx在2 , ,a be e上连续，且在, a b内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数 2lnf xx在 , a b上应用拉格朗日中值定理，得22222lnlnlnln,bababaeabe 下证：22ln4e.设tttln)(， 则2ln1)(ttt， 当te时，1 ln1 ln0te ， 即, 0)( t所以)(t单调减少，又因为2e，所以)()(2e，即2222lnlneee，得22ln4e故)(4lnln222abeab.方法方法 2：利用单调性， 设xexx224ln)(，证( )x在区间2, e e内严格单调增即可.24ln2)(exxx，(222222ln444()20eeeeee，)2ln12)(xxx ,当xe时，1ln1 ln0 xe ，, 0)( x故)(x单调减少， 从而当2exe时，2( )()0 xe，即当2exe时，)(x单调增加.因此当2exe时，)()(ab，即aeabeb22224ln4ln，故)(4lnln222abeab.方法方法 3：设2224( )lnln()xxaxae, 则2ln4( )2xxxe，21ln( )2xxx,xe时,1ln1 ln0 xe ，得( )0 x，( )x在2( ,)e e上单调减少, 从而当2exe时,22244( )()0 xeee，( )x在2( ,)e e上单调增加. 从而当2eaxbe时,( )( )0 xa.( )0b，即2224lnln()babae.(16)【详解】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.方法方法 1：由题设，飞机质量9000mkg，着陆时的水平速度hkmv/7000. 从飞机接触跑道开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为( )x t，速度为( )v t，则0)0(,)0(0 xvv.根据牛顿第二定律，得kvdtdvm. 又dxdvvdtdxdxdvdtdv.由以上两式得dvkmdx，积分得.)(Cvkmtx由于0)0(,)0(0 xvv，所以0(0)0.mxvCk 故得0vkmC ，从而).()(0tvvkmtx当0)(tv时，).(05. 1100 . 67009000)(60kmkmvtx所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.方法方法 2： 根据牛顿第二定律，得kvdtdvm,分离变量：dvkdtvm ，两端积分得：1lnkvtCm ，通解：tmkCev，代入初始条件00vvt，解得0vC ，故.)(0tmkevtv飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v ，对应地t . 于是由dxvdt，有000000( )1.05().kkttmmmvmvxv t dtv edtekmkk或由 0ktmdxv tv edt，知) 1()(000tmkttmkemkvdtevtx，故最长距离为当t时，).(05. 1)(0kmmkvtx方法方法 3：由kvdtdvm，dxvdt，化为x对t的求导，得dtdxkdtxdm22, 变形为022dtdxmkdtxd，0(0)(0), (0)0vxv x其特征方程为02mk，解之得mk21, 0，故.21tmkeCCx由2000000,ktmttttkCdxxvevdtm ，得,021kmvCC于是).1 ()(0tmkekmvtx当t时，).(05. 1)(0kmkmvtx所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.(17)【详解】这是常规题，加、减曲面片高斯公式法，转换投影法，逐个投影法都可用.方法方法 1： 加、 减曲面片高斯公式. 取1为xoy平面上被圆122 yx所围部分的下侧， 记为由与1围成的空间闭区域，则dxdyzdzdxydydzxI1) 1(322233133212223(1)x dydzy dzdxzdxdyII由高斯公式：设空间闭区域是由分段光滑的闭曲面所围成，函数, , , ,P x y zQ x y zR x y z在上具有一阶连续偏导数，则有PQRPdydzQdzdxRdxdydvxyz这里3322,2,3(1)PxQyRz，2226,6,6PQRxyzxyz，所以2216()Ixyz dv利用柱面坐标：cossin, 01, 02 ,xryrrdvrdrd dzzz ，有：2216()Ixyz dxdydz=rdzrzdrdr)(620101022221221123200011212122rrzrr zdrrrrdr13246011124346rrr11226记D为1在xoy平面上的投影域22,1Dx y xy，则0z ，0dz ，又1为220(1)zxy的下侧，从而：13322223(1)3 0 1DIx dydzy dzdxzdxdydxdy33Ddxdy(其中Ddxdy为半径为 1 圆的面积，所以11Ddxdy)故1223.III 方法方法 2：用转换投影法：若,zz x y，z对, x y 具有一阶连续偏导数，则,zzdzdxdxdydydzdxdyxy .曲面22221:1,(1),2 ,2zzzxyxyxyxy ，由转换投影公式332223(1)Ix dydzy dzdxzdxdy3322()2()3(1)zzxyzdxdyxy44222443(1)3Dxyxydxdy利用极坐标变换：cos, 01, 02 ,sinxrrdxdyrdrdyr ，所以21444422004cos4sin3(1)3Idrrrrdr21545453004cos4sin3(2)drrrrdr24404413( cossin)6622d2222222004cossin2cossin6dd222041 2cossin26d22220041cossin 2263dd 20411 cos4236d22004112cos4sin433624d 0 或244044( cossin)66d直接利用公式4422003 1cossin4 2 2dd 及224444220000cos4cos4sinsindddd 则2440444 3 1( cossin)2 4666 4 2 2d 所以，原式2 (18)【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性. 而正项级数的敛散性可用比较法判定.零点定理：设函数 f x在闭区间, a b 上连续，且 0f af b，那么在开区间, a b 内至少存在一点，使 0f；单调性：设函数 f x在闭区间, a b 上连续，在, a b 内可导，如果在, a b 内 0fx，那么函数 f x在, a b 上单调增加；比较审敛法：设1nnu和1nnv都是正项级数，且nnuv，若级数1nnv收敛，则级数1nnu收敛.【 证 明 】 记( )1nnfxxnx， 则( )nfx是 连 续 函 数 ， 由01)0(nf，0) 1 ( nfn，对照连续函数的零点定理知， 方程01 nxxn存在正实数根).1 , 0(nx当0 x 时 ，0)(1nnxxfnn， 可 见)(xfn在), 0 上 单 调 增 加 , 故 方 程01 nxxn存在惟一正实数根.nx由01 nxxn与0nx知nnxxnnn110，故当1时，函数yx单调增，所以)1(0nxn. 而正项级数11nn收敛，所以当1时，级数1nnx收敛.(19) 【分析】根据极值点存在的充分条件：设函数( , )zf x y在点00,xy的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy， 令000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyA fxyB fxyC， 则( , )zf x y在00,xy处是否取得极值的条件如下：(1)20ACB时具有极值，且当0A时有极大值，当0A 时有极小值；(2)20ACB时没有极值；(3)20ACB时，可能有极值，也可能没有极值，需另外讨论.所以对照极值点存在的充分性定理，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点，接下来求函数二阶偏导，确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.求二元隐函数的极值与求二元显函数的极值的有关定理是一样， 差异仅在于求驻点及极值的充分条件时，用到隐函数求偏导数.【详解】因为0182106222zyzyxyx，所以两边对x求导：02262xzzxzyyx，两边对y求导：0222206yzzyzyzyx.根据极值点存在的充分条件，令00zxzy，得303100 xyxyz，故.,3yzyx将上式代入0182106222zyzyxyx，可得3, 3, 9zyx或. 3, 3, 9zyx对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再分别对, x y求偏导数，分别对, x y求偏导数式对x求导：02)(22222222xzzxzxzy，式对x求导：, 02222622yxzzxzyzyxzyxz式对y求导：, 02222622yxzzxzyzyxzyxz式对y求导：02)(22222022222yzzyzyzyyzyz，将3, 3, 9zyx0, 0yzxz代入，于是61)3 , 3 , 9(22xzA，21)3 , 3 , 9(2yxzB，35)3 , 3 , 9(22yzC，故03612 BAC，又061A，从而点(9,3)是( , )z x y的极小值点，极小值为(9,3)3z.类似地，将. 3, 3, 9zyx0, 0yzxz代入，于是22( 9, 3, 3)16zAx ，2( 9, 3, 3)12zBx y ，22( 9, 3, 3)53zCy ，可知03612 BAC，又061A，从而点(-9, -3)是( , )z x y的极大值点，极大值为( 9, 3)3z .(20)【详解】方法方法 1： 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有11112222aaAnnnna 1()(2,)iiin 行行111120000aaaBnaa 对|B是否为零进行讨论：当0a 时，( )1r An ，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A是m n矩阵，齐次方程组0Ax 有非零解的充要条件是( )r An. 故此方程组有非零解，把0a 代入原方程组，得其同解方程组为, 021nxxx( )此时，( )1r A ，故方程组有1nrn个自由未知量. 选23,nx xx为自由未知量，将他们的1n组值(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别代入( )式，得基础解系,)0 , 0 , 1 , 1(1T,)0 , 1 , 0 , 1(2T,) 1 , 0 , 0 , 1(,1Tn于是方程组的通解为,1111nnkkx其中11,nkk 为任意常数.当0a时，对矩阵B作初等行变换，有11112100001aBn ( 1) 12,3iin 行()(1)00022100001n nan ，可知2) 1( nna时，nnAr1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程组也有非零解，把2) 1( nna代入原方程组，其同解方程组为, 0, 03, 0213121nxnxxxxx此时，( )1r An，故方程组有(1)1nrnn个自由未知量.选2x为自由未量，取21x ，由此得基础解系为Tn), 2 , 1 (，于是方程组的通解为kx ，其中k为任意常数.方法方法 2：计算方程组的系数行列式：11112222aaAnnnna 00011110002222000aaannnn 矩阵加法aE+nnnn22221111aEQ，下面求矩阵Q的特征值：11112222EQnnnn11112001(- )(2,3, )00iiinn 行行(1)1112( ) 1000(2,3, )000n niiin列列1(1)2nn n则Q的特征值2) 1(, 0 , 0nn，由性质：若Axx，则()() ,mmkA xkx A xx，因此对任意多项式( )f x，( )( )f A xfx，即( )f是( )f A的特征值.故，A的特征值为(1), ,2n na aa, 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得A行列式.)2) 1(1nannaA由齐次方程组有非零解的判别定理：设A是n阶矩阵，齐次方程组0Ax 有非零解的充要条件是0A. 可知，当0A，即0a 或2) 1( nna时，方程组有非零解.当0a 时，对系数矩阵A作初等行变换，有11112222Annnn 1)(2,)iiin 行 （行1111000000000 ，.故方程组的同解方程组为, 021nxxx此时，( )1r A ，故方程组有1nrn个自由未知量.选23,nx xx为自由未知量，将他们的1n组值(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别代入( )式， 由此得基础解系为,)0 , 0 , 1 , 1(1T,)0 , 1 , 0 , 1(2T,) 1 , 0 , 0 , 1(,1Tn于是方程组的通解为,1111nnkkx其中11,nkk 为任意常数.当2) 1( nna时，11112100001aBn ( 1) 1(2,3)iin 行(1)00022100001n nan ，即00002100001n ，其同解方程组为, 0, 03, 0213121nxnxxxxx此时，( )1r An， 故方程组有(1)1nrnn个自由未知量. 选2x为自由未量，取21x ， 由此得基础解系为Tn), 2 , 1 (， 于是方程组的通解为kx ， 其中k为任意常数.(21)【详解】A的特征多项式为12314315EAa2(2)021114315a 行 （） 行1101(2) 14315a提出行公因数1101( 1) 2(2) 03315a 行行11012(2) 033015a 行行33(2)15a (2)(3)(5)3(1)a2(2)(8183 ).a已知A有一个二重特征值，有两种情况，(1)2就是二重特征值，(2)若2不是二重根，则28183a是一个完全平方(1) 若2是特征方程的二重根，则有, 03181622a解得2a . 由EA2(2)(818 3 ( 2) 2(2)(812)2(2) (6)0求得A的特征值为 2,2,6, 由1232123123EA1231(-1)2,000113000 行倍加到 行行的 倍加到 行，知21EA秩，故2对应的线性无关的特征向量的个数为3 12nr ，等于2的重数. 由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 从而A可相似对角化.(2) 若2不是特征方程的二重根，则a31882为完全平方，从而18316a，解得.32a当32a时，由EA22(2)(818 3 ()3 2(2)(816)2(2)(4)0知A的特征值为 2，4，4，由32341032113EA1133 行行323103000知42EA秩， 故4对应的线性无关的特征向量有321nr, 不等于4的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 知A不可相似对角化.(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强. 通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件， 可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.先确定(, )X Y的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(, )X Y的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I) 由于1()( ) (|)12P ABP A P B A，所以,61)()()(BAPABPBP利用条件概率公式和事件间简单的运算关系，有121)(1, 1ABPYXP，61)()()(0, 1ABPAPBAPYXP，,121)()()(1, 0ABPBPBAPYXP)(1)(0, 0BAPBAPYXP21( )( )()3P AP BP AB (或321216112110, 0YXP)，故(, )X Y的概率分布为YX01032121161121(II),X Y的概率分布分别为21300,10,0,3124P XP XYP XY11111,11,0,6124P XP XYP XY11110,11,1,12126P YP XYP XY21500,01,0.366P YP XYP XY所以,X Y的概率分布为X01Y01P4341P6561由0 1分布的数学期望和方差公式，则61,41EYEX，1334416DX ，1566DY 536,()00111,1E XYP XYP XYP XY 112,故241)(),(EYEXXYEYXCov，从而.1515),(DYDXYXCovXY(23)【分析】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可. 似然函数的定义：121( )( ,; )( ; )nniiLf x xxf x【详解】X的概率密度为11,( ;)1.0,xf xxx(I) 矩估计. 由数学期望的定义：1);(11dxxxdxxxfEX，用样本均值估计期望有EXX，令X1，解得1XX，所以参数的矩估计量为.1XX其中11niiXXn(II) 最大似然估计. 设12,.,nx xx是相应于样本12,.,nXXX的一组观测值，则似然函数为：其他, 0), 2 , 1( 1,)();()(1211nixxxxxfLinnnii当), 2 , 1( 1nixi时，0)(L，( )L与ln ( )L在相同的点取得最大值；所以等式两边取自然对数，得1ln ( )ln(1)lnniiLnx，两边对求导，得niixndLd1ln)(ln，令0)(lndLd，可得niixn1ln，解得的最大似然估计值为：1lnniinx