2020考研数一真题解析.pdf
一、选择题(1)【答案】D【解析】 （方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）g(x)则J勹(t)dtrg(t)dt.(A)(/ -l)dt t2dt=气3 (B)ln(l +万）dtrt令dt=气5 (C) f工sint2dt厂rt2dtfc2dt =丘。3(D) J:-cosx /忒臣了dt-I-cosr tidtI:l令dt=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和p(x)在x=O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和p(x)分别是x的m阶和n阶无穷小，则(,-)J(t)dt是x-0时的n(m+ 1)阶无穷小。CA) r C / - 1) dt , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。22. CC)厂sint2 dt, m = 2, n = 1 , 则n(m+ 1) = 3.。1一cos,3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。2故应选(D).(2)【答案】C 【解析】 （方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)= limf(x) = 0. 工-o故应选(C).f(x) -f(O) = lim f(x)j(O) = Jim ;-0 X0 rO X f(x) f(x) lim = lim X = j(0) 0 = 0 工-o,/了.,-oX （方法二）排除法取f(x)= X3, X # 0 ，则limf位）= o, 且1, X = 0 J-0 x3 f(x) x3 lim f(x) = lim _。J了工-o= O,lim一=lim=0 2 2 工-oX r-0 X 但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X= 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x, 则limf(x)= 0, 且f(x)在x=O处可导，但J-0 5 叫2020年考研数学一真题解析2020年考研数学一真题解析排除CD)故应选CC).(3)【答案】Af(x) X 1 lim 2 = lim 2 = lim - #- 0 ,-O X .r-0 X .r-O X 【解析】利用函数z= .I一位，y)在(x。,Yo)处可微的充要条件Jim幻-J.心X -J:t:,y = Q.汇,Jt:,x2 + t:,yZ 因为 f(x,y)在(0 ,0 )处可微，则f(x,y) Bf(O ,O ) r7f(O ,O ) :r y ax ay Jim = 0 ,-酝。_y - O 妇2+ y2 of(O,O ) of(O ,O ) 而n (x,y,f(x,y) = x+y -f釭，y).杠ay有limn (x,y,f位，y)= O , 即JimI n (x,y,f丘y)l= O.r-Q .T 伽。,J xz + yz 户y-0 正确答案选CA).(4)【答案】A,/x2 + y2 解析】由 阿贝尔定理，当IrlZ时，入I, A2为两负实根，f位）= C1e工+C2e甲，当a=Z时，入1=入2=-1,/ (x) = CC1 + C2x)erv4=? v4=? 和当OaZ时，入1,2= (c1cos工+C2sinx)e 2 2 . 不论如上哪种情形，均有f(十,I =) = limf (x) = o,f +=) = limf (x) = 0. 因而工-+oo.r-十OO厂厂+oo+oo0 f (x)釭。/ (x) +af(x)dx =-f (x) lo -af (x) lo= f (0) + af (0) = n + am.(12)【答案】 4e【解析】a2 f f (x,y)有二阶连续偏导，利用一一一a2 f 3或yayax aJ - = xe ,(.ryl . ay 7 2 叮扫x所求主勹主LI= 4e. OXOy CJ.I) 0戒X(I、!)(13) 【答案】矿(a1-4) = e.r/ +xex/ 3归【解析】由 行列式性质恒等变形，例如把2行加到1行，3行加到4行，再把1列的-1倍加到2列，4列的1倍加到3列a O - l l a aO O a 0 0 0 0 a 1 -1 0 a l -1 0 a 2 -1 1 1 a O11 a O = -1 2 a 01 -10 a O O a a O 0 0 a2 a 2 = a 2 a I = a2 (a24) 【评注】基本计算题，解法非常多，也可每列都加到第1列，再消o, (14) 【答案】 2 【解析】xu(牙号），Y= sin X,EX = 0 . Cov (X, Y) = E(XY) -EX EY = E (XY ) = E (Xsin X) = r xsin x 上dx=ff xsin xdx -六三、解答题2 = -(sin :r -:rcos x) I令=1-亢亢J: = 3x2 -y = 0 1 1 (15) 【解】由/ 得驻点为(0 ,0 ) ,(- -几= 24y2 -X = 0 612).可计算A=几= 6x,B = 几 = - 1,C = fy = 48y 判别式t:,. = AC -B2 = 288xy -1. 在(0,0)点处，!:,.=-1 0 且A1 O , 取极小值为I(上上）1612 215 (16) 【分析】 挖去奇点(0 ,0汃用格林公式【解】 取L1: 丘+ yz = e2 (e2足够小），方向为顺时针方向，则I= 乎釭- y2 dx + X + y z dy -釭-Y2 dx + x + y?. dy L+L1 4x2 + y 丘-l-y凸丘+ y 4:rz + y 令P=4x-y、工+ y4xz + yz , Q= 4. 甘+y2计算得aQ抒-4x2 -8xy + y2 妇的(4:rz + yz)z 崎因而I= 0 - 2 (4:ry ) dx+ (:r+ y)dy =了2dxdyE L E JJ 其中D1= (x,y) I 4x2 + y2E勹所以I=今XrcXe:X主=TC. E 2 o, (17) 【分析】 得到和函数的微分方程，解微分方程求出和函数1 n+-【解】 由 阿达玛公式p=lim生旦=lim-主= 1. - a, n-= n + l . 8 2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）参考答案= 幕级数2牛x的收敛半径R=上=1, 所以，当I x I设I f(c) I= M. 若cE (0,1, 由拉格朗日定理知存在t; E (O,c), 使J(t;) = J(c) -f(O)f(c) 、c-0 C 从而有I J) I= -I J(c) I M =-M.C C 若cE0,2,同理存在肛EO ,2汃使从而有I J ) I= j() = f(2)f(c) = -f(c)2-c 2cI Jc) I M =一多M.2-c2-c综上所述，存在扣E(0,2), 使得I f化） lM. II)若cEO,l),则9 M=I f(c) l=I f(c)f(O) I= I j() I C冬Mc由于O cOM = I /Cl) I= If f(x)dx I勹:I /Cx) I cl工M矛盾，则M=O. 原题得证(20 )【韶】 C I)二次型J经正交变换X=Qy化为二次型g. 记二次型f,g的矩阵分别是A和B. 即A= -/,n =勹勹因AB,于是a,; =b,; , I A I = I B I , 即:-勹，:5,又因a 从故a=4,b=l.c II)对二次型f=式4X1X2+ 4式和g=4贞+4劝Y2+ Y, 只要令：；二21即:.:J= _ :Q=o1是正交 矩阵合于所求-1 0 【评注】如求出A的特征向量并单位化构造正交矩阵Qi=3s_ , 经X= Q1z得XTAx=5叶类似构造正交矩阵Qz使yTBy= 5云，即x= Q1z,y = Q2z有z= Q21Y,从而X= Q1Q21Y而得Q= Q1Q21亦可(21)【解】 c I)因a#-0且a不 是A的特征向量于是Aa#-ka,从而a与Aa不共线，即a,Aa线性无关，故P=(a,Aa)可逆或（反证法）若P不可逆，有IP I= I a,Aa I= oa与Aa成比例，于是Aa= ka. 又a#-0知a 是A的特征向址与已知条件矛盾(I) (万法一）由A飞+ Aa-6a= 0有A2a = 6aAaAP= A(a,Aa) = (Aa,A2a) = (Aa, 妞Aa)因P可逆，于是=(a,Aa) 0 6 1 _iJ 0 6 P一!AP=I _l记B= O 6l而IIB-BI=入6=入2土1 -1 -1入+ 1，入6特征值2,3. 于 是A有2个不同特征值从而A可相似对角化（方法二）因A2+ A -6E = (A- 2E) (A+ 3E) = (A+ 3E) (A -2E), 由A2a+ Aa6a= O, 即(A2+ A6E)a = O,于 是(A - 2E) (A+ 3E)a = 0 , 即(A2E)(Aa十3a) = O,即A(Aa十3a)= 2(Aa十3a), 10 2 02 0年全国硕士研究生招生考试数学（一）参考答案由a不是特征向量，有Aa、+ 3a -=I= 0 从而入= 2是A的特征值，类似有入=-3是特征值下略(22)【解】 (l) CX,Y )的 分布函数F(x,y)F(x,y ) = PX1x,Y y = PX, x,X3X1 + (1 -X3)X2y )= PX3 = O) PX, x,X3X1 + O -X,)X2y I X3 = 0) + PX3 = l) PX1x,X,X, +O-X3)X2y I X3 = 1 l 1 =PX, x,X2y I X3 = O +- PX1x,X, y I X3 = 1) 2 2 1 1 = - PX, x,X2y +- PX1x,X1 y ) 2 2 1 1 = -PX, x) PX2y ) +- PX1min (x,y ) 2 2 11 一中釭）趴y )+-趴min (x ,y )2 2 C II)Y的 分布函数氏(y )= PX3X1 + (1-X3)X2y ) = PX3 = O PX3X1 + Cl -X3)Xz y I X3 = O 十PX1 = l PX3X1 + Cl-X3)Xz y I X3 = 1 1 1 = -PX2y I x3 = 0) +- PX, y I x3 = 12 2 1 1 1 1 = - PX2y +- PX1y ) = -中(y )+-趴y )=趴y )2 2 2 2 Y - N(O,l). (23)【解】F(t) = r-e -C令） o, t m-1 ?, Of(x)F(x )厂行） 沪（令），t t=厂f (t)dt= F(t) += = FC+心-FCt)= e -C扩）,t 0.-(宁）,n PT s十t!Ts =PT s十t,Ts=PTs十te PTs PT寸（令）e = e-C宁）+ (令）m(JI)给定tItz, t,似然函数为“ “ L (0) = IIIt,) =订叫勹,_。1 -(五）m-1 , t = m ITe飞）, . m 一e0 0 ;-1 0 i-1 ;-1 nL (0 )=nln m +(m-l)ln t; -mnln 0 ,-1 ;-1 din L (0 ) l 令de=-mn万笘“ ( -m)t7n em+I =0,-+ 工-= 0 。;=J 0,+I 解得矿上t;勹不难验证为最大值n ;-1 最大似然估计值0= 11m t; 0 t0, t 0.
