2000考研数学一真题及答案解析.pdf

2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题理工数学一试题 一、 填空题一、 填空题 (1)1202xx dx= . （2）曲面2222321xyz+=在点()1, 2,2的法线方程为 . （3）微分方程30 xyy+=的通解为 . （4）已知方程组12312112323120 xaxax += 无解，则a = . (5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1,9A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P A= . 二、选择题二、选择题 （1） 设( )( ),f xg x是恒大于零得可导函数， 且( ) ( )( )( )0fx g xf x gx， 则当axb （B）( ) ( )( ) ( )f x g af a g x （C）( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b （D）( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a 【 】 （2）设()22221:0 ,S xyzazS+=为S在第一卦限中的部分，则有 （A）14SSxdSxdS= （B）14SSydSxdS= （C）14SSzdSxdS= （D）14SSxyzdSxyzdS= 【 】 （3）设级数1nnu=收敛，则必收敛的级数为 （A）()11.nnnun= （B）21nnu= （C）()2121.nnnuu= (D) ()11.nnnuu+=+ 【 】 （4）设n维列向量组()1,mmn，取逆时针方向. 六、六、设对于半空间0 x 内任意的光滑有向封闭曲面,S都有 ( )( )20,xSxf x dydzxyf x dzdxe zdxdy=? 其中函数( )f x在()0,+内具有连续的一阶导数，且( )0lim1,xf x+=求( )f x. 七、七、求幂级数()1132nnnnxn=+ 的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性. 八、八、 设有一半径为R的球体，0P是此球的表面上的一个定点， 球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比（比例常数0k ） ，求球体的重心位置. 九、九、设函数( )f x在0,上连续，且( )( )000,cos0,f x dxf xxdx=试证：在()0,内至少存在两个不同的点12, ，使( )()120ff=. 十、 （本题满分十、 （本题满分 6 分）分） 设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308A=且113 ,ABABAE=+其中E为 4 阶单位矩阵，求矩阵.B 十一、十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将16熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为nx和ny，记为向量nnxy. （1） 求11nnxy+与nnxy的关系式并写成矩阵形式：1111;nnnnxxAyy+= （2） 验证1241,11 = 是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3） 当111212xy = 时，求11nnxy+. 十二、十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为()01pp= 其中0为未知参数，又设12,nx xx?是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值. 2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、 填空题一、 填空题 (1)1202xx dx= . 【答】 .4 【详解】 ()1122220002111sincos4xx dxxdxxttdt= = （2）曲面2222321xyz+=在点()1, 2,2的法线方程为 . 【答】 122146xyz+=. 【详解】 令 ()222, ,2321F x y zxyz=+， 则有 ()()()()()()1, 2,21, 2,21, 2,21, 2,222,1, 2,248,1, 2,2612.|xyzFxFyFz= = 因此所求法线方程为： 122146xyz+= （3）微分方程30 xyy+=的通解为 . 【答】 212CyCx=+. 【详解】 令py=，则原方程化为 30,ppx+= 其通解为 3.pCx= 因此， 3221122,22CCCyCx dxCxCCx=+= （4）已知方程组12312112323120 xaxax += 无解，则a = . 【答】 -1. 【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有 ()()1211121112112323011011120023100313aaaaaaaa+? 可见。当1a = 时，系数矩阵的秩为 2，而增广矩阵的秩为 3，因此方程组无解. 注意，当3a =时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2，方程组有无穷多解. (5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1,9A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则( )P A= . 【答】 2.3 【详解】 由题设。有 ()()()1,9P ABP ABP AB= 因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立。于是由()()P ABP AB=， 有 ( )( )( )( )P A P BP A P B= 即有 ( )( )( )( )11,P AP BP AP B= 可得 ( )P A=( )P B 从而 ()( ) ( )( )211,9P ABP A P BP A= 解得 ( )P A=2.3 二、选择题二、选择题 （1） 设( )( ),f xg x是恒大于零得可导函数， 且( ) ( )( )( )0fx g xf x gx， 则当axb （B）( ) ( )( ) ( )f x g af a g x （C）( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b （D）( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 由题设知 ( )( )( ) ( )( )( )( )20,f xfx g xf x gxg xgx= 因此当axb 即 ( ) ( )( ) ( )f x g bf b g x， 可见（A）为正确选项. （2）设()22221:0 ,S xyzazS+=为S在第一卦限中的部分，则有 （A）14SSxdSxdS= （B）14SSydSxdS= （C）14SSzdSxdS= （D）14SSxyzdSxyzdS= 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 显然， 待选答案的四个右端均大于零， 而S关于平面0 x =和0y=对称， 因此 （A） 、（B） 、 （D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上,有 1144SSSzdSzdSxdS= （3）设级数1nnu=收敛，则必收敛的级数为 （A）()11.nnnun= （B）21nnu= （C）()2121.nnnuu= (D) ()11.nnnuu+=+ 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 利用级数的性质即知， （D）为正确选项，事实上， （A） 、 （B） 、 （C）三个选项可举反例说明是不正确的.例如： ()211lnnnn=收敛，但()2211lnnnnnunnn=发散，可排除（A） ； ()111nnn=收敛，但2111nnnun=发散，可排除（B） ； ()1111nnn=收敛，但()212111111212nnnnnuunnn=+发散，可排除（c）. （4）设n维列向量组()1,mmn?线性无关，则n维列向量组1,m?线性无关的充分必要条件为 （A） 向量组1,m?可由向量组1,m?线性表示. （B） 向量组1,m?可由向量组1,m?线性表示. （C） 向量组1,m?与向量组1,m?等价. （D） 矩阵()1,mA=?与矩阵()1,mB=?等价. 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 用排除法. （A）为充分但非必要条件：若向量组1,m?可由向量组1,m?线性表示，则一定可推导1,m?线性无关，因为若1,m?线性相关，则()1,mrm，取逆时针方向. 【详解】 2222,44yxPQxyxy=+ 则有 ()()()222224,0,04PyxQx yxyxy=+ 作足够小的椭圆：cos:2sinxtCyt=（0,2,tC取逆时针方向） ，于是由格林公式有 220.4L Cxdyydxxy+=+? 从而有 222222201244LCxdyydxxdyydxIIdtxyxy=+? 六、六、设对于半空间0 x 内任意的光滑有向封闭曲面,S都有 ( )( )20,xSxf x dydzxyf x dzdxe zdxdy=? 其中函数( )f x在()0,+内具有连续的一阶导数，且( )0lim1,xf x+=求( )f x. 【详解】 由题设和高斯公式得 ( )( )( )( )( )220 ,xSxxf x dydzxyf x dzdxe zdxdyxfxf xxf xedV= +? 其中为S围成的有界闭区域，号对应曲面取外侧或内侧，由S的任意性，知 ( )( )( )()20,0 xxfxf xxf xex+= 即 ( )( )()2111,0 xfxf xexxx+= 这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为 ( )()xxef xeCx=+ 由于( )200limlim1,xxxxeCef xx+= 故必有 ()20lim0,xxxeCe+= 即 10C + =，从而1C = 因此 ( )()1 .xxef xex= 七、七、求幂级数()1132nnnnxn=+ 的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性. 【详解】 因为 ()()()()1111213231limlimlim332123 113nnnnnnnnnnnnnaann+ + =+ + + 所以收敛半径为3R =，相应的收敛区间为()3,3 当3x =时，因为( )()311232nnnnn+ ，且11nn=发散，所以原级数在点3x =处发散； 当3x = 时 ， 由 于()()()( )()3211113232nnnnnnnnnn= + + ， 且()11nnn=与( )()12132nnnnn=+ 都收敛. 所以原级数在点3x = 处收敛 . 八、八、 设有一半径为R的球体，0P是此球的表面上的一个定点， 球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比（比例常数0k ） ，求球体的重心位置. 【分析】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点0P作为坐标原点，相应的有两种求解方法. 【详解 1】 用表示球体，以的球心为原点,O射线0OP为正x轴建立直角坐标系，则点0P的坐标为(),0,0R球面的方程为 2222xyzR+= 设的重心位置为(), ,x y z，由对称性，得 0,0,yz= ()()222222x kxRyzdVxkxRyzdV+=+ 而 ()()222223222522000548sin33215RxRyzdVxyzdVR dVddrrdrRR+=+=+= ()()22222236228315xxRyzdVRx dVRxyzdVR+= = += 故 4Rx = . 因此， 球体的重心位置为,0,0 .4R 【详解 2】 用表示所考虑的球体，O表示球心， 以点0P选为原点， 射线0PO为正z轴建立直角坐标系，则球面的方程为 2222xyzRz+= 设的重心位置为(), ,x y z，由对称性，得 0,0,xy= ()()223223kz xyzdVzk xyzdV+=+ 因为 ()2cos22242200054sin32 15RxyzdVddrdrR+= ()2cos222522000672064sincos64 cossin38 3Rz xyzdVddrdrRdR += 故 5.4zR= 因此，球体的重心位置为50,0,4R. 九、九、设函数( )f x在0,上连续，且( )( )000,cos0,f x dxf xxdx=试证：在()0,内至少存在两个不同的点12, ，使( )()120ff=. 【详解】 令( )( )0,F xf t dt=则有( )( )00,FF=又因为 ( )( )( )( )( )000000coscos cossin sin|f xxdxxdF xF xxF xxdxF xxdx=+= 令( )( )0sinG xF xtdt=，则( )( )00,GG= 于是存在()0,，使( )sin0,F=因为当()0,，这样就证明了. ( )( )( )00FFF= 再对( )F x在区间0,，, 上分别用罗尔定理知，至少存在()10,，()2, 使 ( )()120FF= 即 ( )()120ff= 十、 （本题满分十、 （本题满分 6 分）分） 设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308A=且113 ,ABABAE=+其中E为 4 阶单位矩阵，求矩阵.B 【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据题设等式，可先右乘A，再左乘*A，尽量不去计算1.A 【详解 1】 由*,AAA AA E=知1*nAA=，因此有 3*8AA=， 于是 2A = 在等式113 ,ABABAE=+两边先右乘A，再左乘*A，得 *23,BA BA AA B=+= ()*26 ,EABE= 于是 ()11*10006000010006006 261010606003060301BEA= 【详解 2】 2A =（同解 1） ，由*,AAA AA E=，得 ()()11*1000010022101031008820000200 ,2020310044AA AA= 可见AE为逆矩阵. 于是由()13 ,AE BAE=有()13BAEA=，而 ()111000100001000100,2010201043301000344AE= 因此 1000200060000100020006003201020206060431030101000344B= 十一、十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将16熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为nx和ny，记为向量nnxy. （1） 求11nnxy+与nnxy的关系式并写成矩阵形式：1111;nnnnxxAyy+= （2） 验证1241,11 = 是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3） 当111212xy = 时，求11nnxy+. 【详解】 （1）由题意，得 1152 165 63 15 6nnnnnnnxxxyyxy+=+=+ 化简 119210513105nnnnnnxxyyxy+=+=+ 即 119210513105nnnnxxyy+= 可见 92105.13105A= （2）因为行列式 ()1241,5011 = 可见 12, 线性无关. 又 114,1A = 故1为A的特征向量，且相应的特征值11=. 22112,122A=为A的特征向量，且相应的特征值212=. （3）因为 11121111212nnnnnnnnxxxxAAAAyyyy+=? 因此只要计算nA即可. 令 1241,11P = 则由112,P AP=有 112,APP= 于是 1112141411111121144221 51111422nnnnnnnAPP=+=+ 因此 11118321211012322nnnnnxAy+=+ 十二、十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为()01pp= 其中0为未知参数，又设12,nx xx?是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值. 【详解】 似然函数为 ( )()()()12122,1,2,0, niixninexinLL x xx=?其他 当()1,2,ixin=?时，( )0L，取对数，得 ( )()1lnln22.niiLnx= 因为( )ln20,dLnd=所以( )L单调增加. 由于必须满足()1,2,ixin=?，因此当取12,nx xx?中的最小值时，( )L取最大值，所以的最大似然估计值为 ()12min,nx xx=?