备战2020年中考数学十大题型专练卷题型10二次函数的综合应用题含解析.docx

1题型题型 1010 二次函数的综合应用题二次函数的综合应用题一、解答题一、解答题1如图，抛物线2yxbxc 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：ykxn与y轴交于点C，与抛物线2yxbxc 的另一个交点为D，已知(1,0)(5,6)AD，P点为抛物线2yxbxc上一动点（不与A、D重合）（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PEx轴交直线l于点E，作/PFy轴交直线l于点F，求PEPF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）234yxx，直线l的表达式为：1yx-；（2）PEPF最大值：18；（3）存在，P的坐标为：(214,314)或(214,314)或(45)，或(4 3)，.【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2）22223412218PEPFPFxxxx（）（），即可求解；（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可【详解】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：056knkn ，解得：11kn ，故直线l的表达式为：1yx-，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：234yxx；（2）直线l的表达式为：1yx，则直线l与x轴的夹角为45，即：则PEPE，2设点P坐标为234xxx（，-）、则点1F xx（，-），22223412218PEPFPFxxxx（）（），2 0，故PEPF有最大值，当2x时，其最大值为 18；（3）5NC，当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为234xxx（，）、则点1M xx（，），由题意得：|5MPyy，即：234|15|xxx，解得214x 或 0 或 4（舍去 0），则点P坐标为(214,314)或(214,314)或45（，）；当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为1,22，设点P坐标为234mmm（，）、则点1M nn（，），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：21m341,2222nmmn，解得：0m或4（舍去 0），故点43P（，）；故点P的坐标为：(214,314)或(214,314)或45（，）或4 3（，）【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系2 已知二次函数2(0)yaxa的图象过点(2,1)，点P（P与 0 不重合）是图象上的一点，直线l过点(0,1)且平行于x轴PMl于点M，点(0,1)F（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；3（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点Q，QNl于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求MRRN的值；（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系【答案】（1）214yx；（2）见解析；（3）1MRRN；（4）点R在以线段PQ为直径的圆上【分析】（1）把点(2,1)代入函数表达式，即可求解；（2）21114yx，即21114,1xyPMy，又222111111014211PFxyyyyyPM,即可求解；（3）证明PMRPFR(SAS)、Rt RFQRt RNQ()HL，即RNFR，即MRFRRN，即可求解；（4）在PQR中，由（3）知PR平分MRF，QR平分FRN，则1()902PRQMRFFRN，即可求解【详解】解：（1）2yax(0)a 的图象过点(2,1)，212a，即14a，214yx；（2）设二次函数的图象上的点11(,)P x y，则1(,1)M x，21114yx，即2114xy，11PMy，4又222111111014211PFxyyyyyPM，即PFPM，点P在线段MF的中垂线上；（3）连接RF，R在线段MF的中垂线上，MRFR，又PMPF，PRPR，PMRPFR(SAS)，90PFRPMR，RFPF，连接RQ，又在Rt RFQ和Rt RNQ中，Q在214yx 的图象上，由（2）结论知QFQN，RQRQ，Rt RFQRt RNQ()HL，即RNFR，即MRFRRN，1MRRN；（4）在PQR中，由（3）知PR平分MRF，QR平分FRN，1()902PRQMRFFRN，点R在以线段PQ为直径的圆上【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（3），证明PMRPFR(SAS)、Rt RFQRRt RNQ()HL是本题解题的关键3如图，抛物线2yaxbxc与x轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC，（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且POB=ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E,求DE的最大值.点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？5【答案】（1）243yxx；（2）点P坐标为(2,1),或3 3(,)2 4或933933(,)48 或933933(,)48；（3）当2tm时，DE最大值为 4，当342m 或342 时，四边形MDNF为矩形.【分析】（1）已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式y=a（x+1）（x+3）；由OC=OB=3 得C（0，-3），代入交点式即求得a=-1（2）由POB=ACB联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得RtPOH，故可过点A在BC边上作垂线AG，构造ACGPOH利用点A、B、C坐标求得AG、CG的长，由相似三角形对应边成比例推出12PHAGOHCG设点P横坐标为p，则OH与PH都能用p表示，但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论得到用p表示OH与PH并代入OH=2PH计算即求得p的值，进而求点P坐标（3）用m表示M、N横纵坐标，把m当常数求直线MN的解析式设D横坐标为t，把x=t代入直线MN解析式得点E纵坐标，D与E纵坐标相减即得到用m、t表示的DE的长，把m当常数，对未知数t进行配方，即得到当t=m+2 时，DE取得最大值由矩形MDNF得MN=DF且MN与DF互相平分，所以E为MN中点，得到点D、E横坐标为m+2由得d=m+2时，DE=4，所以MN=8用两点间距离公式用m表示MN的长，即列得方程求m的值【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（-3，0）设交点式y=a（x+1）（x+3）OC=OB=3，点C在y轴负半轴C（0，-3）把点C代入抛物线解析式得：3a=-3a=-1抛物线解析式为y=-（x+1）（x+3）=-x2-4x-3（2）如图 1，过点A作AGBC于点G，过点P作PHx轴于点H6AGB=AGC=PHO=90ACB=POBACGPOHAGCGPHOHAGPHCGOHOB=OC=3，BOC=90ABC=45，223 2BCOBOCABG是等腰直角三角形222AGBGAB3 222 2CGBCBG12PHAGOHCGOH=2PH设P（p，-p2-4p-3）当p-3 或-1p0 时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数OH=-p，PH=-（-p2-4p-3）=p2+4p+3-p=2（p2+4p+3）解得：12933933,44pp 933933,48P或933933,48 当-3p-1 或p0 时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号p=2（p2+4p+3）7解得：p1=-2，p2=-32P（-2，1）或3 3,2 4综上所述，点P的坐标为(2,1),或3 3(,)2 4或933933(,)48 或933933(,)48；（3）如图 2，x=m+4 时，y=-（m+4）2-4（m+4）-3=-m2-12m-35M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）设直线MN解析式为y=kx+n2243(4)1235kmnmmk mnmm 解得：22843kmnmm 直线MN：y=（-2m-8）x+m2+4m-3设D（t，-t2-4t-3）（mtm+4）DEy轴xE=xD=t，E（t，（-2m-8）t+m2+4m-3）DE=-t2-4t-3-（-2m-8）t+m2+4m-3=-t2+（2m+4）t-m2-4m=-t-（m+2）2+4当t=m+2 时，DE的最大值为 4如图 3，8D、F关于点E对称DE=EF四边形MDNF是矩形MN=DF，且MN与DF互相平分DE=12MN，E为MN中点422DEmmxxm由得当d=m+2 时，DE=4MN=2DE=8（m+4-m）2+-m2-12m-35-（-m2-4m-3）2=82解得：12334,422mm m的值为342 或342 时，四边形MDNF为矩形【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质第（3）题没有图要先根据题意画草图帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算4如图，已知直线AB与抛物线C：2yax2xc相交于1,0A 和点B 2,3两点.9求抛物线C的函数表达式；若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MAMB、为相邻两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时，求此时四边形MANB的面积S及点M的坐标；在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线17y4的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】2yx2x3；当12a，SMANB=2SABM=274，此时1 15M,24；存在.当15F 1,4时，无论x取任何实数，均有PGPF.理由见解析.【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MHx轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图 2，分别过点B，C作直线y=174的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=174的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，20443acac，解得a=-1，c=3，此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；（2）如图 1，过点M作MHx轴于H，交直线AB于K，10将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，023kbkb，解得，k=1，b=1，yAB=x+1，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）=-（a-12）2+94，根据二次函数的性质可知，当a=12时，MK有最大长度94，SAMB最大=SAMK+SBMK=12MKAH+12MK（xB-xH）=12MK（xB-xA）=12943=278，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大=2SAMB最大=2278=274，M（12，154）；（3）存在点F，y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，对称轴为直线x=1，当y=0 时，x1=-1，x2=3，抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图 2，分别过点B，C作直线y=174的垂线，垂足为N，H，11抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=174的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=174-3=54，CF=CH=174，由题意可列：2222225(2 1)(3)417(3 1)4aa，解得，a=154，F（1，154）【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大5如图，抛物线yax2+bx（a0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA2，且OA：AD1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小12值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使ODP中OD边上的高为6 105？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.【答案】（1）y12x24x；（2）四边形MNGF周长最小值为 122；（3）存在点P，P坐标为（6，6）；（4）抛物线平移的距离为 3 个单位长度.【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA2，且OA：AD1：3 得AD6.由于四边形ABCD为矩形，故有ADAB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标.由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式；（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M，作点N关于y轴的对称点点N，得FMFM、GNGN.易得当M、F、G、N在同一直线上时NG+GF+FMMN最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+MN.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M、N、N坐标，即求得答案；（3）因为OD可求，且已知ODP中OD边上的高，故可求ODP的面积.又因为ODP的面积常规求法是过点P作PQ平行y轴交直线OD于点Q，把ODP拆分为OPQ与DPQ的和或差来计算，故存在等量关系.设点P坐标为t，用t表示PQ的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件；（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，-6）.易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，3），由中点坐标公式即求得m的值.【详解】（1）点A在线段OE上，E（8，0），OA2A（2，0）OA：AD1：3AD3OA6四边形ABCD是矩形ADABD（2，6）抛物线yax2+bx经过点D、E4266480abab 解得：124ab 13抛物线的解析式为y12x24x（2）如图 1，作点M关于x轴的对称点M，作点N关于y轴的对称点N，连接FM、GN、MNy12x24x12（x4）28抛物线对称轴为直线x4点C、D在抛物线上，且CDx轴，D（2，6）yCyD6，即点C、D关于直线x4 对称xC4+（4xD）4+426，即C（6，6）ABCD4，B（6，0）AM平分BAD，BADABM90BAM45BMAB4M（6，4）点M、M关于x轴对称，点F在x轴上M（6，4），FMFMN为CD中点N（4，6）点N、N关于y轴对称，点G在y轴上N（4，6），GNGNC四边形MNGFMN+NG+GF+FMMN+NG+GF+FM当M、F、G、N在同一直线上时，NG+GF+FMMN最小C四边形MNGFMN+MN=2222644664462 210 212 2 四边形MNGF周长最小值为 122.14（3）存在点P，使ODP中OD边上的高为6 105.过点P作PQy轴交直线OD于点QD（2，6）OD22262 10，直线OD解析式为y3x设点P坐标为（t，12t24t）（0t8），则点Q（t，3t）如图 2，当 0t2 时，点P在点D左侧PQyQyP3t（12t24t）12t2+tSODPSOPQ+SDPQ12PQxP+12PQ（xDxP）12PQ（xP+xDxP）12PQxDPQ12t2+tODP中OD边上的高h6 105，SODP12ODh12t2+t122106 105方程无解如图 3，当 2t8 时，点P在点D右侧15PQyPyQ12t24t（3t）12t2tSODPSOPQSDPQ12PQxP12PQ（xPxD）12PQ（xPxP+xD）12PQxDPQ12t2t12t2t122106 105解得：t14（舍去），t26P（6，6）综上所述，点P坐标为（6，6）满足使ODP中OD边上的高为6 105.（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、LKL平分矩形ABCD的面积K在线段AB上，L在线段CD上，如图 4K（m，0），L（2+m，-6）连接AC，交KL于点H16SACDS四边形ADLK12S矩形ABCDSAHKSCHLAKLCAHKCHL2AHKCHLSAHSCH=2()KHHL=1，AHCH，KH=HL，即点H为AC中点，也是KL中点H（4，3）m2m42m3抛物线平移的距离为 3 个单位长度.【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式.易错的地方有第（1）题对点D、C、B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明.6如图，在直角坐标系中，直线132yx 与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为1x 的抛物线过,B C两点，且交x轴于另一点A，连接AC（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）211384yxx；（2）点21(3,)8P；（3）点Q的坐标为：(2,3)或(12,12)或(10,12)【分析】（1）y=12x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=6，故点B、C的坐标分别为：（6，0）、（0，3），即可求解；17（2）PH=PGcos=22 5111xx3x35842,即可求解；（3）分点Q在x轴上方、点Q在x轴下方两种情况，分别求解【详解】（1）132yx，令0 x，则3y，令0y，则6x，故点,B C的坐标分别为(6,0)、(0,3)，抛物线的对称轴为1x，则点(4,0)A，则抛物线的表达式为：2(6)(4)(224)ya xxa xx，即243a，解得：18a ，故抛物线的表达式为：211yxx384（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PHBC于点H，将点,B C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：132yx，则HPGCBA，1tantan2OCCBAOB，则2cos5，设点211(,3)84P xxx，则点1(,3)2G xx，则222 511153 5cos(33)58422010PHPGxxxxx 5020，故PH有最小值，此时3x，则点21(3,)8P；（3）当点Q在x轴上方时，则点,Q A B为顶点的三角形与ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点(2,3)Q；当点Q在x轴下方时，18,Q A B为顶点的三角形与ABC相似，则ACBQ AB，当ABCABQ 时，直线BC表达式的k值为12，则直线BQ表达式的k值为12，设直线BQ表达式为：12yxb，将点B的坐标代入上式并解得：直线BQ的表达式为：132yx，联立并解得：6x 或8（舍去 6），故点()Q Q坐标为(8,7)（舍去）；当ABCABQ 时，同理可得：直线BQ的表达式为：3942yx，联立并解得：6x 或10（舍去 6），故点()Q Q坐标为(10,12)，由点的对称性，另外一个点Q的坐标为(12,12)；综上，点Q的坐标为：(2,3)或(12,12)或(10,12)【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏7如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3 与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E19（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MNBD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NHx轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+13PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个22单位得到点Q，连结AQ，把AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0360），得到AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得QQ OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）14 233；（2）存在，Q的坐标（2 55，4 55），（4 55，2 55），（2 55，4 55），（4 55，2 55）【分析】（1）先确定点F的位置，可设点N（m，m2-2m-3），则点F（m，2m-6），可得|NF|=（2m-6）-（m2-2m-3）=-m2+4m-3，根据二次函数的性质得m=b2a时，NF取到最大值，此时HF=2，F（2，-2），在x轴上找一点K（3 24，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J，交y轴于点P，1sin3OCK，直线KC的解析式为：2 23yx，从而得到直线FJ的解析式为：24242yx联立解出点J（22 29,194 29）得FP+13PC的最小值即为FJ的长，且14 2|33FJ,最后得出174 2|33minHFFPPC;（2）由题意可得出点Q（0，-2），A2=5，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”取AQ的中点G，连接OG，则OG=GQ=12AQ=52，此时，AQ0=GOQ，把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度20（0360），得到AOQ，其中边AQ交坐标轴于点G，则用 0G=GQ，分四种情况求解即可.【详解】解：（1）如图 1抛物线yx22x3 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C令y0 解得：x11，x23，令x0，解得：y3，A（1，0），B（3，0），C（0，3）点D为抛物线的顶点，且2244 1(3)41,2244 1bacbaa 4点D的坐标为D（1，4）直线BD的解析式为：y2x6，由题意，可设点N（m，m22m3），则点F（m，2m6）|NF|（2m6）（m22m3）m2+4m3当m2ba2 时，NF取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF2，此时，N（2，3），F（2，2），H（2，0）在x轴上找一点K（3 24，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，sinOCK13，直线KC的解析式为：2 23yx，且点F（2，2），PJ13PC，直线FJ的解析式为：24242yx点J（22 29,194 29）FP+13PC的最小值即为FJ的长，且14 2|33FJ 174 2|33minHFFPPC；21（2）由（1）知，点P（0，422），把点P向上平移22个单位得到点Q点Q（0，2）在RtAOQ中，AOG90，AQ5，取AQ的中点G，连接OG，则OGGQ12AQ52，此时，AQOGOQ把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度（0360），得到AOQ，其中边AQ交坐标轴于点G如图 2G点落在y轴的负半轴，则G（0，52），过点Q作QIx轴交x轴于点I，且GOQQ则IOQOAQOAQ，sinOAQOQAQ252 552 5sin25IQIQIOQOQ，解得：|IO|4 55在RtOIQ中根据勾股定理可得|OI|2 55点Q的坐标为Q（2 55，4 55）；如图 3，22当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q（4 55，2 55）如图 4当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q（2 55，4 55）如图 523当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q（4 55，2 55）综上所述，所有满足条件的点Q的坐标为：（2 55，4 55），（4 55，2 55），（2 55，4 55），（4 55，2 55）【点睛】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能力的培养及直角三角形的中线性质要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系8已知抛物线2yxbxc 的对称轴为直线1x，其图像与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点(0,3)C（1）求b，c的值；（2）直线l与x轴交于点P如图 1，若ly轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线1x 的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值；如图 2，若直线l与线段BC相交于点Q，当PCQCAP时，求直线l的表达式24【答案】（1）23bc；（2）四边形CEDF的面积最大值为94；32yx 【分析】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；（2）由题意先求出D点坐标为（2，3），求出直线AC的解析式，设2(,23)F eee，(,3)E ee，则23EFee，四边形CEDF的面积可表示为12CD EF，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；（3）当PCQCAP时，可得45QCPOAC，ACPBCO，作PHAC于H点，设(,0)P m，可求出PH、CH的长，得到P点坐标，即可得出函数解析式【详解】解：（1）由题意可得：123bc，解得23bc；（2）由题可知(2,3)D，CDEF2CD，令2230yxx，解得：121,3xx,(3,0)A，(1,0)B ACl：3yx 设2(,23)F eee，则(,3)E ee23EFee 221393()224CEDFSCD EFeee 四边形，当32e 时，四边形CEDF的面积最大，最大值为94.由（1）可知45OACOCA 由PCQCAP可得45QCPOAC QCPOCA，ACPBCO，由(1,0)B，(0,3)C可得1tan3BCO1tan3ACP，作PHAC于H点，设(,0)P m，则3APm，252(3)2PHAHm，2(3)2CHm，2(3)12tan32(3)2mPHACPCHm，即3133mm解得32m，3(,0)2Pl：32yx .【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键9如图，已知抛物线(2)(6)ya xx与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan32CAB.设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N.（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，(,0)Q n为x轴上一点，且PQPC.当点P在线段MN(含端点)上运动时，求n的变化范围；当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围.26【答案】（1）1(2)(6)4yxx；（2）748n249316t【分析】（1）由解析式可知点A（-2，0），点B（6,0）根据CAB3tan2COCAOAO，可得OC=3，即点C（0,3），代入解析式即可求a.（2）由解析式求得顶点M(2,4)，设P点坐标为（2，m）（其中 0m4），利用勾股定理将PC、PQ、CQ用含m，n的式子表示，再利用PCQ为直角三角形，可利用勾股定理得PC2+PQ2=CQ2，将含m，n的式子代入整理可得一个关于m，n的二次函数，且 0m4，通过二次函数增减性可求得n取值范围.当n取最大值 4 时，m=4，可得点P（2,4），Q（4,0），故可求得PC=5，PQ=25，CQ=5，利用直角三角形等面积法可求得点P到线段CQ距离由题意求得线段CQ的解析式为：334yx，故可设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：334yxt ，当线段CQ向上平移，使点Q恰好在抛物线上时，线段CQ与抛物线有两个交点，此时可求对应的点Q的纵坐标为，进而求得此时t值，当线段CQ继续向上平移，线段CQ与抛物线只有一个交点时，联解抛物线与CQ的解析式并化简得一元二次方程，有一个交点可知由0，得此时t值，即可解题.【详解】解：（1）根据题意得：(2,0)A,(6,0)B，在Rt AOC中3tan2COCAOAO，且2OA,3CO，(0,3)C,将C点坐标代入(2)(6)ya xx得：14a ，27故抛物线解析式为：1264 yxx；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2,4)，设P点坐标为（2，m）（其中 0m4），则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，PQPC，在RtPCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,即 22+(m-3)2+m2+(n-2)2=32+n2，整理得：n=21342mm=2137228m（0m4），当32m 时，n取得最小值为78；当4m时，n取得最大值为 4，78n4；由知：当n取最大值 4 时，m=4，P（2,4），Q（4,0）则PC=5，PQ=25，CQ=5，设点P到线段CQ距离为h，由1122PCQSCQ hPC PQ，得：2PC PQhCQ故点P到线段CQ距离为2；由可知：当n取最大值 4 时，(4,0)Q，28线段CQ的解析式为：334yx，设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：334yxt ，当线段CQ向上平移，使点Q恰好在抛物线上时，线段CQ与抛物线有两个交点此时对应的点Q的纵坐标为：1(42)(46)34，将(4,3)Q代入334yxt 得：3t，当线段CQ继续向上平移，线段CQ与抛物线只有一个交点时，联解1(2)(6)4334yxxyxt 得：13(2)(6)344xxxt ，化简得：2740 xxt，由49 160t，得4916t，当线段CQ与抛物线有两个交点时，49316t.【点睛】本题考查了二次函数求解析式，锐角三角函数，勾股定理，一次函数的平移，与二次函数的交点情况，解本题的关键是通过建立新的二次函数模型和一元二次方程模型来解题.10如图 1，已知抛物线2yxbxc过点1030AB（，），（，）（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；29（2）设点D是x轴上一点，当()4tanCAOCDO时，求点D的坐标；（3）如图 2抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，BMP和EMN的面积分别为m n、，求m n的最大值【答案】（1）223yxx，顶点C的坐标为-（-1,4）；（2）(19,0)D；（3）mn的最大值为8132.【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入2yxbxc即可求得二次函数的解析式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点H，在Rt CHO中，可求得4tan COH，推出ACOCDO，可证AOCACD，利用相似三角形的性质可求出AD的长度，进一步可求出点D的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；（3）设22232310P aaaP aaaA（，-），（，-），（，）代入ykxb，求出直线PA的解析式，求出点N的坐标，由BPMBPAAONEMNEBOBMNOBMNOSSSSSSS四边形四边形，可推出BPMEMNBPAEBOAONSSSSS，再用含a的代数式表示出来，最终可用函数的思想来求出其最大值【详解】解：（1）由题意把点(1,0),(3,0)代入2yxbxc，得，10930bcbc ，解得23bc-，223yxx 214x-（），此抛物线解析式为：223yxx ，顶点C的坐标为14（，）（2）抛物线顶点14C（，），抛物线对称轴为直线1x，设抛物线对称轴与x轴交于点H，则10H（，），在Rt CHO中，41CHOH，CH4OHtan COH，COHCAOACO，当ACOCDO时，4tanCAOCDOtan COH（），如图 1，当点D在对称轴左侧时，ACOCDOCAOCAO，AOCACD，30ACAOADAC22CHAH2 5,1ACAO，2 51AD2 5，20AD，19OD，(19,0);D当点D在对称轴右侧时，点D关于直线1x的对称点D的坐标为17 0（，），点D的坐标为19 0（，）或17 0（，）；（3）设223P aaa（，-），将22310P aaaA（，-），（，）代入ykxb，得，2230akbaakb，解得，33kaba-，33PAyaxa（）当0 x时，3ya，03Na（，），如图 2，BPMBPAAONEMNEBOBMNOBMNOSSSSSSS四边形四边形，BPMEMNSSBPAEBOAONSSS21114233 31(3)222aaa 2922aa 29812832a，由二次函数的性质知，当98a 时，BPMEMNSS有最大值8132，BMP和EMN的面积分别为m、n，mn的最大值为813231【点睛】考查了用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，用函数思想求极值等，解题关键是能够设出点P坐标，求出含参数的直线PA的解析式，进一步表示出点N坐标11如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为(1,0)（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使PNC的面积是矩形MNHG面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）2yx2x3（2）最大值为 10（3）故点P坐标为：3 15(,)24或33 236 2(,)24 或33 236 2(,)24【分析】（1）二次函数表达式为：214ya x，将点B的坐标代入上式，即可求解；（2）矩形MNHG的周长22222 22223282CMNGMxxxxx，即可求解；（3）2711sin453 2822PNCSPKCDPH，解得：94PHHG，即可求解【详解】（1）二次函数表达式为：214ya x，将点B的坐标代入上式得：044a，解得：1a ，故函数表达式为：223yxx；32（2）设点M的坐标为2,23xxx，则点22,23Nxxx，则222MNxxx，223GMxx，矩形MNHG的周长22222 22223282CMNGMxxxxx，20，故当22bxa，C有最大值，最大值为 10，此时2x，点0,3N与点D重合；（3）PNC的面积是矩形MNHG面积的916，则99272 316168PNCSMNGM，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PHGH，过点P作PKCD于点K，将3,0C、0,3D坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：3yx ，OCOD，45OCDODCPHK，3 2CD，设点2,23P xxx，则点,3H xx，2711sin453 2822PNCSPKCDPH，解得：94PHHG，则292334PHxxx ，解得：32x，故点3 15,24P，33直线n的表达式为：93344yxx ，联立并解得：33 22x，即点P、P的坐标分别为33 236 2,24、33 236 2,24；故点P坐标为：3 15,24或33 236 2,24 或33 236 2,24【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来