2022届高考数学一轮复习解题思维7高考中圆锥曲线解答题的提分策略作业试题含解析新人教版202106302209.docx
解题思维解题思维 7 7高考中圆锥曲线解答题的提分策略高考中圆锥曲线解答题的提分策略1.2021 蓉城名校联考,12 分已知椭圆 C1:?2?2+?2?2=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,上、下顶点分别为 B1,B2,且|A1B1|=2 5,离心率 e=32.(1)求椭圆 C1的方程;(2)点是圆 C2:(x-2)2+(y-3)2=1 上一点,射线 OP 与椭圆 C1交于点 M,直线 A1M,A2M,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3,求k1k2k3的取值范围.2.2021 安徽宣城调研,12 分已知抛物线 C:y2=2px(0pb0)的长轴长为 4,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,且F1AF2=60,O 为坐标原点.(1)求椭圆 C 的方程.(2)设点 M,N 为椭圆 C 上的两个动点,若?t?=0,问:点 O 到直线 MN 的距离 d 是否为定值?若是,求出 d 的值;若不是,请说明理由.4.2021 湖北荆门模拟,12 分如图 7-1 所示,点 P(0,-1)是椭圆 C1:?2?2+?2?2=1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4 的直径,l1,l2是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1交圆 C2于点 A,B,l2交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程;(2)当ABD 的面积最大时,求直线 l1的方程.图 7-1答案解题思维 7高考中圆锥曲线解答题的提分策略1.(1)在椭圆 C1:?2?2+?2?2=1(ab0)中,|A1B1|=2 5,a2+b2=20,又 e=?=32,且 a2=b2+c2,解得 a=4,b=2,椭圆 C1的方程为?216+?24=1.(4 分)(2)设 M(x0,y0),由题意可得?0216+?024=1,且点 M 在第一象限,于是?02-16=-4?02,k1=?0?0+4,k2=?0?0-4,故 k1k2=?02?02-16.将代入上式,可得 k1k2=-14.(8 分)直线 MP(即 OP)的方程为 y=k3x,则圆心(2,3)到直线 MP 的距离不大于 1,即|2?3-3|1+?321,即(2k3-3)21+?32,解得6-2 33k36+2 33,(11 分)故 k1k2k3的取值范围是-3+36,3-36.(12 分)2.(1)由题意得 Q(8?,4),准线方程为 x=-?2,由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,可得8?+?2=5,解得 p=2 或p=8(舍去),所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.(4 分)(2)由题意设直线 AB 的方程为 x=my+b,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线 AB 与抛物线的方程,得?=?+?,?2=4?,整理可得y2-4my-4b=0,则=16m2+16b0,y1+y2=4m,y1y2=-4b.(6 分)由(1)可得 Q(4,4),易知 x14,x24,则 k1k2=?1-4?1-4?2-4?2-4=-2,即(y1-4)(y2-4)=-2(x1-4)(x2-4),即(y1-4)(y2-4)=-2(my1+b-4)(my2+b-4),整理可得(1+2m2)y1y2+(2mb-8m-4)(y1+y2)+2b2-16b+48=0,(8 分)将 y1+y2=4m,y1y2=-4b 代入,可得 b2-10b+24=16m2+8m,即(b-5)2=(1+4m)2,(10 分)所以 b-5=1+4m 或 b-5=-1-4m,即 b=6+4m 或 b=4-4m.当 b=6+4m 时,直线 AB 的方程为 x=my+6+4m,即 x-6-m(y+4)=0,根据?-6=0,?+4=0,可得?=6,?=-4,此时直线 AB 恒过定点(6,-4).当 b=4-4m 时,直线 AB 的方程为 x=my+4-4m,即 x-4-m(y-4)=0,根据?-4=0,?-4=0,可得?=4,?=4,此时直线 AB 恒过定点(4,4).由题意可得直线 AB 不过点 Q(4,4),所以直线 AB 恒过定点(6,-4).(12 分)3.(1)设椭圆 C 的半焦距为 c.由已知可得 2a=4,解得 a=2.(1 分)因为F1AF2=60,所以在 RtOAF2中,OAF2=30,|OA|=b,|OF2|=c,|AF2|=a=2,所以 cosOAF2=?=32,解得 b=3.(3 分)所以椭圆 C 的方程为?24+?23=1.(4 分)(2)当直线 MN 的斜率不存在时,MNx 轴.由?t?=0 可得 OMON.结合椭圆的对称性,可设 M(x,x),N(x,-x),则 d=|x|.(5 分)将点 M(x,x)代入椭圆 C 的方程,得?24+?23=1,解得 x=2 217,所以 d=2 217.(6 分)当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y=kx+m,此时点 O 到直线 MN 的距离 d=|?|1+?2,即 d2=?21+?2.(7 分)设 M(x1,y1),N(x2,y2),由?=?+?,?24+?23=1,可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0,得 m24,k2=t-4,所以 S=8 4(?-4)+3?=84?-13?2=8-13(1?-213)2+4138413=16 1313,当且仅当 t=132,即 k2=52,k=102时取等号.又16 13132 3,故所求直线 l1的方程为 y=102x-1.(12 分)解法二(利用基本不等式求最值)令 3+4?2=t,则 t 3,k2=14(t2-3),S=8?4+14(?2-3)=32?13+?2=32?+13?322?13?=322 13=16 1313,当且仅当 t=13?,即 t=13,k2=52,k=102时取等号.又16 13132 3,故所求直线 l1的方程为 y=102x-1.(12 分)
