全国通用2016高考数学二轮复习大题规范天天练第二周综合限时练.doc

1星期六星期六(综合限时练综合限时练)20162016 年年_月月_日日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80 分钟)1(本小题满分 12 分)已知等差数列an的各项互不相等，前两项的和为 10，设m m(a1，a3)，n n(a3，a7)，且m mn n.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnan24n，其前n项和是Tn，求Tn79.解(1)因为向量m m(a1，a3)，n n(a3，a7)，且m mn n，所以a1a7a230，即a1a7a23.依题意，可设等差数列an的公差为d(d0)，则有2a1d10，a1（a16d）（a12d）2.解得d2，a14或d0，a15(舍去)故所求an2n2.(2)由(1)知an2n22(n1)，所以bn2（n1）24nn14n，所以Tn214131424143(n1)14n，则14Tn21423143n14n(n1)14n1，两式相减，得34Tn214114214314n(n1)14n1141414n1114(n1)14n171273n314n1，整理得Tn793n7914n，故Tn79.2(本小题满分 12 分)某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件的利润与该产品首次出现故障的时间有关，某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为 2 年现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取 50 件，统计数据如下：品牌甲乙2首次出现故障时间x(年)0 x11x2x20 x2x2数量(件)2345545每件利润(百元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的家电均能售出，记生产一件甲品牌的利润为X1，生产一件乙品牌家电的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的家电若从经济从效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的家电？说明理由解(1)设“甲、乙品牌家电至少有一件首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)14550455019100.(2)依题意，得X1的分布列为X1123P0.040.060.9X2的分布列为X21.82.9P0.10.9(3)由(2)得E(X1)10.0420.0630.92.86(百元)，E(X2)1.80.12.90.92.79(百元)因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌家电3(本小题满分 12 分)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1ABAC1，ABAC，M，N，Q分别是CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动(1)证明：无论点P怎样运动，总有AM平面PNQ；(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面PNQ所成的锐二面角为45？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由3(1)证明连接A1Q，AA1AC1，M，Q分别是CC1，AC的中点，AA1QCAM.MACQA1A.MACAQA1QA1AAQA190，即AMA1Q，N，Q分别是BC，AC的中点，NQAB.又ABAC，NQAC.在直三棱柱中，AA1底面ABC，NQAA1.ACAA1A，NQ平面ACC1A1，NQAM.由及NQA1QQ，得AM平面PNQ.(2)解设A1PA1B1(0，1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，M0，1，12，N12，12，0，Q0，12，0.则有NM12，12，12，AA1(0，0，1)，AN12，12，0，A1PA1B1(1，0，0)(，0，0)，APAA1A1P(，0，1)，PNANAP12，12，1.假设存在符合条件的点P，设n n(x，y，z)是平面PMN的一个法向量则n nNM0，n nPN0.由12x12y12z0，12x12yz0得y123x，z223x，令x3，得y12，z22.n n(3，12，22)而由(1)可知，平面PNQ的一个法向量为AM0，1，12，4|cosAM，n n|2|9（12）2（22）211422，化简得 16226190，(*)262416195400，所以方程(*)无解综上所述，不存在点P，使得平面PMN与平面PNQ所成的锐二面角为 45.4(本小题满分 12 分)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的离心率是22，A1，A2是椭圆E的长轴的两个端点(A2位于A1右侧)，B是椭圆在y轴正半轴上的顶点，点F是椭圆E的右焦点，点M是x轴上位于A2右侧的一点，且1|FM|是1|A1M|与1|A2M|的等差中项，|FM|1.(1)求椭圆E的方程以及点M的坐标；(2)是否存在经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点P和Q，使得向量OPOQ与A2B共线？若存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由解(1)设点F(c，0)，M(x，0)(xa)依题意得1|A1M|1|A2M|2|FM|，可得1xa1xa2xc，解得xa2c.依题意|FM|1，即a2ccb2c1，又因为ca22，b2a2c2，所以a 2，bc1.故椭圆的方程是x22y21，点M的坐标是(2，0)(2)由题知，直线l的方程为ykx 2，联立方程ykx 2x22y2112k2x22 2kx10，由直线l与椭圆E交于不同的两点P和Q知8k2412k24k220，k212.令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，OPOQ(x1x2，y1y2)，5x1x24 2k12k2，y2y2k(x1x2)2 22 212k2，OPOQ4 2k12k2，2 212k22 212k2(2k，1)由题知A2(2，0)，B(0，1)，A2B(2，1)要使向量OPOQ与A2B共线，只需 2k 2，k22，但不满足k212，故不存在符合题意的直线l.5(本小题满分 12 分)已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0，)都有 lnx1ex2ex成立(1)解f(x)lnx1，由f(x)0 得，0 x1e，由f(x)0 得x1e，函数f(x)在0，1e 上单调递减，在1e，上单调递增当 0tt21e时，不可能；当 0t1et2，即 0t1e，f(x)minf1e 1e；当1ett2，即t1e，f(x)在t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tlnt，f(x)min1e，0t1e，tlnt，t1e.(2)解原问题可化为a2lnxx3x，设h(x)2lnxx3x(x0)，h(x)（x3）（x1）x2，当 0 x1 时，h(x)0，h(x)在(0，1)上单调递减；当x1 时，h(x)0，h(x)在(1，)上单调递增；6所以h(x)minh(1)4，对一切x0，a4.(3)证明原问题等价于证明xlnxxex2e(x0)，由(1)知f(x)xlnx(x0)的最小值是1e，当且仅当x1e时取等号设(x)xex2e(x0)，(x)1xex，易知(x)取得的最大值等于(1)1e，当且仅当x1 时取到，从而对一切x(0，)都有 lnx1ex2ex成立6请同学从下面所给的三题中选定一题作答A(本小题满分 10 分)选修 4-1：几何证明选讲如图，AB是O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：(1)DEADFA；(2)AB2BEBDAEAC.(1)证明连接AD，因为AB为圆的直径，所以ADB90，又EFAB，EFA90，则A、D、E、F四点共圆，DEADFA.(2)连接BC，由(1)知，BDBEBABF.又ABCAEF，ABAEACAF，即ABAFAEAC，BEBDAEACBABFABAFAB(BFAF)AB2.B(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线C1：x4cost，y3sint(t为参数)，C2：x8cos，y3sin(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(cos2sin)7 距离的最小值解(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：x264y291，C1为圆心是(4，3)，半径是 1 的圆7C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆(2)当t2时，P(4，4)，Q(8cos，3sin)，故M(24cos，232sin)，C3为直线x2y70.M到C3的距离d55|4cos3sin13|，从而当 cos45，sin35时，d取得最小值8 55.C(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲设函数f(x)|x1|x2|.(1)画出函数yf(x)的图象；(2)若不等式|ab|ab|a|f(x)(a0，a、bR R)恒成立，求实数x的范围解(1)f(x)2x3（x2），1（1x2），32x（x1），图象如图所示(2)由|ab|ab|a|f(x)，即f(x)|ab|ab|a|恒成立，只需f(x)|ab|ab|a|min.|ab|ab|a|abab|a|2，f(x)2.解不等式|x1|x2|2，即2x32，x2或 1x2 或32x2，x1，2x52或 1x2 或12x1，12x52.