2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第4课时利用导数研究不等式的恒成立问题练习理北师大版.doc

1第第 4 4 课时课时 利用导数研究不等式的恒成立问题利用导数研究不等式的恒成立问题基础题组练1已知函数f(x)x4x，g(x)2xa，若对任意的x112，1，存在x22，3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()Aa1Ba1Ca2Da2解析：选 A.由题意知f(x)minx12，1g(x)min(x2，3)，因为f(x)min5，g(x)min4a，所以 54a，即a1，故选 A.2(2020吉林白山联考)设函数f(x)exx3x3ax，若不等式f(x)0 有正实数解，则实数a的最小值为_解析：原问题等价于存在x(0，)，使得aex(x23x3)，令g(x)ex(x23x3)，x(0，)，则ag(x)min，而g(x)ex(x2x)由g(x)0 可得x(1，)，由g(x)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)x222x12k(x1)成立，求k的取值范围解：(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，)因为f(x)1xa，所以f(1)1a0，所以a1，所以f(x)1x11xx，令f(x)0 得 0 x1，令f(x)1，所以f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)(2)不等式f(x)x222x12k(x1)可化为 lnxx22x12k(x1)令g(x)lnxx22x12k(x1)(x1)，则g(x)1xx1kx2（1k）x1x，令h(x)x2(1k)x1，x1，h(x)的对称轴为x1k2.当1k21 时，即k1，易知h(x)在(1，x0)上是减少的，所以h(x)h(1)1k，若k1，则h(x)0，所以g(x)0，所以g(x)在(1，x0)上是减少的，所以g(x)g(1)0，不合题意若1k0，所以必存在x0使得x(1，x0)时，g(x)0，所以g(x)在(1，x0)上是增加的，所以g(x)g(1)0 恒成立，符合题意当1k21 时，即kh(1)1k0，所以g(x)0，所以g(x)在(1，x0)上是增加的所以g(x)g(1)0 恒成立，符合题意综上，k的取值范围是(，1)6设f(x)xex，g(x)12x2x.(1)令F(x)f(x)g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x21，)，且x1x2，有mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，求实数m的取值范围解：(1)因为F(x)f(x)g(x)xex12x2x，所以F(x)(x1)(ex1)，令F(x)0，解得x1，令F(x)0，解得xx2，有mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，所以mf(x1)g(x1)mf(x2)g(x2)恒成立令h(x)mf(x)g(x)mxex12x2x，x1，)，即只需证h(x)在1，)上是增加的即可故h(x)(x1)(mex1)0 在1，)上恒成立，故m1ex，而1exe，故me，即实数m的取值范围是e，)