2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与四边形综合（一） .docx

中考典型解答题专题练习：二次函数与四边形综合（一）1. 如图，已知 ABC 中，BC=a，BC 边上的高 AH=；矩形 DEFG 的顶点 D，E 在边 BC 上，顶点 G，F 分别在 AB，AC 边上设矩形的边 DE 的长为 x，面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域 2. 如图，二次函数 y=x2+2mx+m24 的图象与 x 轴的负半轴相交于 A，B 两点（点 A 在左侧），一次函数 y=2x+b 的图象经过点 B，与 y 轴相交于点 C（1）求 A，B 两点的坐标（可用含 m 的代数式表示）；（2）如果平行四边形 ABCD 的顶点 D 在上述二次函数的图象上，求 m 的值 3. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C0,3，顶点 D 的坐标为 1,4（1）求抛物线的解析式；（2）在 y 轴上找一点 E，使得 EAC 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标；（3）点 P 是 x 轴上的动点，点 Q 是抛物线上的动点，是否存在点 P，Q，使得以点 P，Q，B，D 为顶点，BD 为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点 P，Q 坐标；若不存在，请说明理由 4. 如图，把两个全等的等腰直角三角板 ABC 和 EFG（其直角边长均为 4）叠放在一起（如图（1），且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合，现将三角板 EFG 绕点 O 按顺时针方向旋转（旋转角 满足条件：0<<90），四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图（2）（1）在上述旋转过程中，BH 与 CK 有怎样的数量关系?四边形 CHGK 的面积有何变化?证明你发现的结论（2）连接 HK，在上述旋转过程中，设 BH=x，GKH 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使 GKH 的面积恰好等于 ABC 面积的 516?若存在，求出此时 x 的值；若不存在，说明理由 5. 已知抛物线 y=x124 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C 顶点为点 D，求四边形 ABDC 的面积 6. 某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为 40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 60m，设三间饲养室合计长 xm，总占地面积为 ym2（1）求 y 关于 x 的函数表达式和自变量的取值范围（2）x 为何值时，三间饲养室占地总面积最大?最大为多少? 7. 如图，对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，AD，其中 A 点坐标 1,0（1）求抛物线的解析式；（2）直线 y=32x3 与抛物线交于点 C，D，与 x 轴交于点 E，求 ACD 的面积；（3）在直线 CD 下方抛物线上有一点 Q，过 Q 作 QPy 轴交直线 CD 于点 P，四边形 PQBE 为平行四边形，求点 Q 的坐标 8. 在直角坐标系 xOy 中（如图），抛物线 y=ax22ax3a0 与 x 轴交于点 A1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C（1）求该抛物线的开口方向、顶点 D 的坐标；（2）求证：CBD=ACO；（3）已知点 M 在 x 轴上，点 N 在该抛物线的对称轴上，如果以点 C，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 N 的坐标 9. 在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C，顶点 D 的坐标为 1,4（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图 1，若点 P 在抛物线上且满足 PCB=CBD，求点 P 的坐标；（3）如图 2，M 是直线 BC 上一个动点，过点 M 作 MNx 轴交抛物线于点 N，Q 是直线 AC 上一个动点，当 QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点 M 及其对应点 Q 的坐标 10. 如图，抛物线 y=ax223x+ca0 过点 O0,0 和 A6,0点 B 是抛物线的顶点，点 D 是 x 轴下方抛物线上的一点，连接 OB，OD（1）求抛物线的解析式；（2）如图，当 BOD=30 时，求点 D 的坐标；（3）如图，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交 x 轴于点 C，交线段 OD 于点 E，点 F 是线段 OB 上的动点（点 F 不与点 O 和点 B 重合），连接 EF，将 BEF 沿 EF 折叠，点 B 的对应点为点 B，EFB 与 OBE 的重叠部分为 EFG，在坐标平面内是否存在一点 H，使以点 E，F，G，H 为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点 H 的坐标，若不存在，请说明理由 11. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A1,0，点 C0,3，且 OB=OC（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点 D，E 是在直线 x=1 上的两个动点，且 DE=1，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE 的周长的最小值（3）点 P 为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分，求点 P 的坐标 12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，批物线 y=x24x+aa<0 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 E，F 两点（点 E 在点 F 的右侧），顶点为 M直线 y=23xa 与 x 轴、 y 轴分别交于 B，C 两点，与直线 AM 交于点 D（1）求抛物线的对称轴（2）在 y 轴右侧的抛物线上存在点 P，使得以 P，A，C，D 为顶点的四边形是平行四边形，求 a 的值（3）如图，过抛物线顶点 M 作 MNx 轴于 N，连接 ME，点 Q 为抛物线上任意一点，过点 Q 作 QGx 轴于 G，连接 QE当 a=5 时，是否存在点 Q，使得以 Q，E，G 为顶点的三角形与 MNE 相似（不含全等）?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 13. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax+1x9 经过 A，B 两点，四边形 OABC 矩形，已知点 A 坐标为 0,6（1）求抛物线解析式；（2）点 E 在线段 AC 上移动（不与 C 重合），过点 E 作 EFBE，交 x 轴于点 F请判断 BEEF 的值是否变化；若不变，求出它的值；若变化，请说明理由（3）在（2）的条件下，若 E 在直线 AC 上移动，当点 E 关于直线 BF 的对称点 E 在抛物线对称轴上时，请求出 BE 的长度 14. 如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与一直线相交于 A1,0，C2,3 两点，与 y 轴交于点 N其顶点为 D（1）抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；（3）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 APC 的面积的最大值 15. 如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A3,0，B1,0，交 y 轴于点 C，点 Pm,0 是 x 轴上的一动点，PMx 轴，交直线 AC 于点 M，交抛物线于点 N（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点 P 仅在线段 AO 上运动，如图，求线段 MN 的最大值；若点 P 在 x 轴上运动，则在 y 轴上是否存在点 Q，使以 M，N，C，Q 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 16. 如图，二次函数 y=x2+3x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 B4,0，另一个交点为 A，且与 y 轴相交于 C 点（1）m 的值为  ，C 点坐标是  ，   ；（2）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 M，使得它与 B，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时 M 点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P 为抛物线上一点，它关于直线 BC 的对称点为 Q当四边形 PBQC 为菱形时，求点 P 的坐标；点 P 的横坐标为 t0<t<4，当 t 为何值时，四边形 PBQC 的面积最大，请说明理由 17. 如图，抛物线 y=ax2+bx3 交 y 轴于点 C，直线 l 为抛物线的对称轴，点 P 在第三象限且为抛物线的顶点P 到 x 轴的距离为 103，到 y 轴的距离为 1点 C 关于直线 l 的对称点为 A，连接 AC 交直线 l 于 B（1）求抛物线的表达式；（2）直线 y=34x+m 与抛物线在第一象限内交于点 D，与 y 轴交于点 F，连接 BD 交 y 轴于点 E，且 DE:BE=4:1求直线 y=34x+m 的表达式；（3）若 N 为平面直角坐标系内的点，在直线 y=34x+m 上是否存在点 M，使得以点 O，F，M，N 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=34x+6 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，P，Q 分别是线段 OB，AB 上的两个动点，点 P 从 O 出发一每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，同时 Q 从 B 出发，以每秒 5 个单位的速度向终点 A 运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为 t 秒（1）求出点 Q 的坐标（用 t 的代数式表示）；（2）若 C 为 OA 的中点，连接 PQ，CQ，以 PQ，CQ 为邻边作平行四边形 PQCD是否存在时间 t，使得坐标轴刚好将平行四边形 PQCD 的面积分为 1:5 的两个部分，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由直接写出整个运动过程中，四边形 PQCD 对角线 DQ 的取值范围   19. 定义：对于抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0），若 b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线例如：y=x2x+1 是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式（2）将黄金抛物线 y=x2x+1 沿对称轴向下平移 3 个单位直接写出平移后的新抛物线的解析式新抛物线如图所示，与 x 轴交于 A，B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于 C，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点，连接 PO，PC，并把 POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边形 POPC 为菱形?若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由当直线 BC 下方的抛物线上动点 P 运动到什么位置时，四边形 OBPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 OBPC 的最大面积 20. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 1,1，1,2，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足为 D，C，得到正方形 ABCD，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，点 P 为第一象限内抛物线上一点（不与点 A 重合），过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足为 E，F，设点 P 的横坐标为 m，矩形 PFOE 与正方形 ABCD 重叠部分图形的周长为 l（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式；（2）当矩形 PFOE 的面积被抛物线的对称轴平分时，求 m 的值；（3）当 m<2 时，求 l 与 m 之间的函数关系式；（4）设线段 BD 与矩形 PFOE 的边交于点 Q，当 FDQ 为等腰直角三角形时，求 m 的取值范围答案1. 矩形的一边 DE=x，另一边 EF=ax ，所求函数的解析式为 y=ax2+x，定义域为 0<x<a2. （1） A2m,0，B2m,0    （2） m 的值为 83. （1） 因为抛物线的顶点为 1,4，所以设抛物线的解析式为 y=ax124，将点 C0,3 代入抛物线 y=ax124 中，得 a4=3，所以 a=1，所以抛物线的解析式为 y=x124=x22x3；    （2） 满足所有条件的点 E 的坐标为 0,3，0,3+10，0,310，0,43【解析】由（1）知，抛物线的解析式为 y=x22x3，令 y=0，则 x22x3=0，所以 x=1 或 x=3，所以 A1,0，B3,0，所以 AC=OA2+OC2=12+32=10，设点 E0,m，则 AE=m2+1， CE=m+3，因为 ACE 是等腰三角形，所以当 AC=AE 时，10=m2+1，所以 m=3 或 m=3（点 C 的纵坐标，舍去），所以 E0,3，当 AC=CE 时，10=m+3，所以 m=3±10，所以 E0,3+10 或 0,310，当 AE=CE 时，m2+1=m+3，所以 m=43，所以 E0,43，即满足所有条件的点 E 的坐标为 0,3，0,3+10，0,310，0,43    （3） 如图，存在，所以 D1,4所以将线段 BD 向上平移 4 个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点 B 的对应点落在抛物线上，这样便存在点 Q，此时点 D 的对应点就是点 P，点 Q 的纵坐标为 4，设 Qt,4，将点 Q 的坐标代入抛物线 y=x22x3 中得 t22t3=4，解得 t=1+22 或 t=122，所以 Q1+22,4 或 Q122,4，分别过点 D，Q，Q 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，G，G，因为抛物线 y=x22x3 与 x 轴的右边的交点 B 的坐标为 3,0，且 D1,4，所以 FB=PG=31=2，所以点 P 的横坐标为 1+222=1+22 或 1222=122，即 P1+22,0，Q1+22,4 或 P122,0，Q122,44. （1） ACG=B=45，BGH 与 CGK 均为 CGH 的余角，CG=BG， BGHCGK BH=CK，SBGH=SCGK S四边形CHGK=SCHG+SCGK=12SABC=12×12×4×4=4. 因此，在上述旋转过程中，BH=CK，四边形 CHGK 的面积不变，值为 4    （2） AC=BC=4，BH=x，CH=4x，CK=x， SGKH=S四边形CHGKSCHK，故 y=412x4x， y=12x22x+40<x<4    （3） 令 12x22x+4=516×8，解得 x1=1，x2=3，即当 x=1 或 x=3 时，GHK 的面积均等于 ABC 面积的 5165. 96. （1） 根据题意得 y=x1460x=14x2+15x，自变量的取值范围为：0<x40    （2） 因为 y=14x2+15x=14x302+225，所以当 x=30 时，三间饲养室占地总面积最大，最大为 225m27. （1） 抛物线的对称轴 x=1， 1=b2， b=2， y=x22x+c 经过点 A1,0， 1+2+c=0， c=3， 抛物线的解析式为 y=x22x3    （2） 由 y=x22x3,y=32x3, 解得 x=0,y=3 或 x=72,y=94, D72,94， 直线 CD 交 x 轴于 E2,0， SACD=SAEC+SAED=12×3×94+12×3×3=638.    （3） 设 Qm,m22m3 四边形 PQBE 是平行四边形， PQBE，PQ=BE， P23m243m,m22m3， PQ=73m23m2，由题意 B3,0，E2,0， BE=1， 73m23m2=1，解得 m=12或3（舍弃）， Q12,1548. （1） 由题意，得 a+2a3=0解得 a=1 抛物线的表达式为 y=x22x3 抛物线的开口方向向下，D1,4    （2） 由题意和（1），可得 C0,3，B3,0 AO=1，CO=3 AOCO=13 BC=32，CD=2，BD=25 BC2+CD2=20=BD2 BCD 是直角三角形，其中 BCD=90又 CDBC=232=13， AOCO=CDBC又 AOC=BCD=90， AOCBCD CBD=ACO    （3） N1,1 或 N1,1 或 N1,7【解析】有两种情况考虑： 1 当 CD 是平行四边形的边时，得 N1,1 或 N1,1； 2 当 CD 是平行四边形的对角线时，得 N1,7综合 1，2，当以点 C，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，N1,1 或 N1,1 或 N1,79. （1） y=x22x3【解析】 顶点 D 的坐标为 1,4， 设抛物线的解析式为 y=ax124，将点 A1,0 代入，得 0=a1124，解得：a=1， y=x124=x22x3， 该抛物线的解析式为 y=x22x3    （2） 抛物线对称轴为直线 x=1，A1,0， B3,0，设直线 BD 解析式为 y=kx+e， B3,0，D1,4， 3k+e=0,k+e=4, 解得：k=2,e=6, 直线 BD 解析式为 y=2x6，过点 C 作 CP1BD，交抛物线于点 P1，设直线 CP1 的解析式为 y=2x+d，将 C0,3 代入，得 3=2×0+d，解得：d=3， 直线 CP1 的解析式为 y=2x3，结合抛物线 y=x22x3，可得 x22x3=2x3，解得：x1=0（舍），x2=4，故 P14,5，过点 B 作 y 轴平行线，过点 C 作 x 轴平行线交于点 G， OB=OC，BOC=OBG=OCG=90， 四边形 OBGC 是正方形，设 CP1 与 x 轴交于点 E，则 2x3=0，解得：x=32， E32,0，在 x 轴下方作 BCF=BCE 交 BG 于点 F， 四边形 OBGC 是正方形， OC=OG=BG=3，COE=G=90，OCB=GCB=45， OCBBCE=GCBBCF，即 OCE=GCF， OCEGCFASA， FG=OE=32， BF=BGFG=332=32， F3,32，设直线 CF 解析式为 y=k1x+e1， C0,3，F3,32， e1=3,3k1+e1=32, 解得：k1=12,e1=3, 直线 CF 解析式为 y=12x3，结合抛物线 y=x22x3，可得 x22x3=12x3，解得：x1=0（舍），x2=52， P252,74综上所述，符合条件的 P 点坐标为：P14,5，P252,74；    （3） M1133,43，Q1139,43； M253,43，Q259,43； M35,2，Q35,12； M42,1，Q40,3； M57,4，Q57,18； M61,2，Q60,3【解析】设直线 AC 解析式为 y=m1x+n1，直线 BC 解析式为 y=m2x+n2， A1,0，C0,3， m1+n1=0,n1=3, 解得：m1=3,n1=3, 直线 AC 解析式为 y=3x3， B3,0，C0,3， 3m2+n2=0,n2=3, 解得：m2=1,n2=3, 直线 BC 解析式为 y=x3，设 Mt,t3，则 Nt,t22t3， MN=t22t3t3=t23t当 QMN 是以 NQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时 NMQ=90，MN=MQ，如图 2， MQx 轴， Q13t,t3， t23t=t13t， t23t=±43t，解得：t=0（舍）或 t=133 或 t=53， M1133,43，Q1139,43；M253,43，Q259,43；当 QMN 是以 MQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时 MNQ=90，MN=NQ，如图 3， NQx 轴， Qt2+2t3,t22t3， NQ=tt2+2t3=13t2+t， t23t=13t2+t，解得：t=0（舍）或 t=5 或 t=2， M35,2，Q35,12；M42,1，Q40,3；当 QMN 是以 MN 为斜边的等腰直角三角形时，此时 MQN=90，MQ=NQ，如图 4，过点 Q 作 QHMN 于 H，则 MH=HN， Ht,t2t62， Qt2+t6,t2t62， QH=tt2+t6=16t2+5t， MQ=NQ， MN=2QH， t23t=2×16t2+5t，解得：t=7或1， M57,4，Q57,18；M61,2，Q60,3；综上所述，点 M 及其对应点 Q 的坐标为： M1133,43，Q1139,43； M253,43，Q259,43； M35,2，Q35,12； M42,1，Q40,3； M57,4，Q57,18； M61,2，Q60,310. （1） 把点 O0,0 和 A6,0 代入 y=ax223x+c 中，得到 c=0,36a123+c=0, 解得 a=33,c=0, 抛物线的解析式为 y=33x223x      （2） 如答图中，设抛物线的对称轴交 x 轴于 M，与 OD 交于点 N y=33x223x=33x3233， 顶点 B3,33，M3,0， OM=3，BM=33， tanMOB=BMOM=3， MOB=60， BOD=30， MON=MOBBOD=30， MN=OMtan30=3， N3,3， 直线 ON 的解析式为 y=33x，由 y=33x,y=33x223x, 解得 x=0,y=0 或 x=5,y=533, D5,533      （3） 32,32 或 52,332 或 72,332【解析】如答图中，当 EFG=90 时，点 H 在第一象限，此时 G，B，O 重合，F32,332，E3,3，可得 H32,32如答图中，当 EGF=90 时，点 H 在对称轴右侧，可得 H72,332如答图中，当 FGE=90 时，点 H 在对称轴左侧，点 B 在对称轴上，可得 H52,332综上所述，满足条件的点 H 的坐标为 32,32 或 52,332 或 72,33211. （1） OB=OC， 点 B3,0，设抛物线的表达式为： y=ax+1x3=ax22x3=ax22ax3a 将点 C0,3 代入得 3a=3，解得 a=1，故抛物线的表达式为 y=x2+2x+3 函数的对称轴为：x=22×1=1；      （2） 四边形 ACDE 的周长 =AC+DE+CD+AE，其中 AC=10，DE=1 ，故 CD+AE 最小时，周长最小取点 C 关于直线 x=1 的对称点 C2,3，如答图 1 则 CD=CD，取点 A1,1，则 AD=AE，故：CD+AE=AD+DC，则当 A，D，C 三点共线时， CD+AE=AD+DC 最小，周长也最小， AC=2+12+312=13 四边形 ACDE 的周长的最小值 =AC+DE+CD+AE=10+1+AD+DC=10+1+AC=10+1+13；      （3） 如答图 2，设直线 CP 交 x 轴于点 E，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分，又 SPCB:SPCA=12EB×ycyp:12AE×ycyp=BE:AE， BE:AE=3:5或5:3， AE+BE=AB=4， AE=52或32，即点 E 的坐标为 32,0 或 12,0，将点 E 的坐标代入一次函数表达式： y=kx+3 ，解得：k=6 或 2 ，故直线 CP 的表达式为：y=2x+3 或 y=6x+3 联立并解得：x=4,y=5, 或 x=0,y=3,（不合题意，舍去），联立并解得：x=8,y=45, 或 x=0,y=3,（不合题意，已舍去），故点 P 的坐标为 4,5 或 8,4512. （1） y=x24x+a=x22+a4， 抛物线的对称轴为直线 x=2      （2） 由 y=x22+a4 得：A0,a，M2,a4，由 y=23xa 得 C0,a，设直线 AM 的解析式为 y=kx+a，将 M2,a4 代入 y=kx+a 中，得 2k+a=a4，解得 k=2，直线 AM 的解析式为 y=2x+a，联立方程组得 y=2x+a,y=23xa, 解得 x=34a,y=12a. D34a,12a， a<0， 点 D 在第二象限，又点 A 与点 C 关于原点对称， AC 是以 P，A，C，D 为顶点的平行四边形的对角线，则点 P 与点 D 关于原点对称，即 P34a,12a，将点 P34a,12a 代入抛物线 y=x24x+a，解得 a=569 或 a=0（舍去）， a=569      （3） 存在理由如下：当 a=5 时，y=x24x5=x229，此时 M2,9，令 y=0，即 x229=0，解得 x1=1，x2=5， 点 F1,0，E5,0， EN=FN=3，MN=9，设点 Qm,m24m5，则 Gm,0， EG=m5QG=m24m5，又 QEG 与 MNE 都是直角三角形，且 MNE=QGE=90，如图所示，需分两种情况进行讨论：）当 EGQG=ENMN=39=13 时，即 m24m5m5=13，解得 m=2 或 m=4 或 m=5（舍去）；当 m=2 时点 Q 与点 M 重合，不符合题意，舍去，当 m=4 时，此时 Q 坐标为点 Q14,27；）当 QGEG=ENMN=39=13 时，即 m24m5m5=13，解得 m=23 或 m=43 或 m=5（舍去），当 m=23 时，Q 坐标为点 Q223,179，当 m=43 时，Q 坐标为点 Q343,199，综上所述，点 Q 的坐标为 4,27 或 23,179，或 43,19913. （1） 将 A0,6 代入 y=ax+1x9，得：a=23 抛物线解析式为 y=23x+1x9，整理得：y=23x2+163x+6      （2） BEEF 的值不变如图所示：过点 E 作 DGAB 交 AB 于点 D，交 x 轴于点 G 四边形 OABC 为矩形， DGOC，BD=GC， BEEF， DEB+GEF=90， GEF+EFG=90， DEB=EFG又 EDB=EGF=90， BDEEGF， BEEF=BDEG BEEF=CGGE=OCAO将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=6， OA=6由 A0,6，抛物线对称轴为直线 x=4，得 B8,6， OC=6 BEEF=43      （3） 过点 E 作 PQx，FPPQ，CQPQ易证 FPEBQE可知 QE=4， FP=3则 CQ=3，BQ=9， BE=BE=9714. （1） 由抛物线 y=x2+bx+c 过点 A1,0 及 C2,3 得， 1b+c=0,4+2b+c=3, 解得 b=2,c=3, 故抛物线为 y=x2+2x+3；又设直线为 y=kx+n 过点 A1,0 及 C2,3，得 k+n=0,2k+n=3, 解得 k=1,n=1, 故直线 AC 为 y=x+1      （2） y=x2+2x+3=x12+4， D1,4，当 x=1 时，y=x+1=2， B1,2， 点 E 在直线 AC 上，设 Ex,x+1如图 2，当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方，则 Fx,x+3， F 在抛物线上， x+3=x2+2x+3，解得，x=0 或 x=1（舍去）， E0,1；当点 E 在线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方，则 Fx,x1， F 在抛物线上， x1=x2+2x+3，解得 x=1172 或 x=1+172， E1172,3172或1+172,3+172，综上，满足条件的点 E 的坐标为 0,1 或 1172,3172 或 1+172,3+172      （3） 方法一：如图 3，过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q，交 x 轴于点 H；过点 C 作 CGx 轴于点 G，设 Qx,x+1，则 Px,x2+2x+3， PQ=x2+2x+3x+1=x2+x+2, 又 SAPC=SAPQ+SCPQ=12PQAG=12x2+x+2×3=32x122+278, 面积的最大值为 278【解析】方法二：过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q，交 x 轴于点 H；过点 C 作 CGx 轴于点 G，如图 3，设 Qx,x+1，则 Px,x2+2x+3，又 SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=12x+1x2+2x+3+12x2+2x+3+32x12×3×3=32x2+32x+3=32x122+278, APC 的面积的最大值为 27815. （1） 把 A3,0，B1,0 代入 y=x2+bx+c 中，得 93b+c=0,1+b+c=0, 解得 b=2,c=3, y=x2+2x3      （2） 设直线 AC 的表达式为 y=kx+b，把 A3,0，C0,3 代入 y=kx+b 得 b=3,3k+b=0, 解得 k=1,b=3, y=x3， 点 Pm,0 是 x 轴上的一动点，且 PMx 轴， Mm,m3，Nm,m2+2m3， MN=m3m2+2m3=m23m=m+322+94， a=1<0， 此函数有最大值又 点 P 在线段 OA 上运动，且 3<32<0， 当 m=32 时，MN 有最大值 94满足条件的点 Q 的坐标为 0,321 或 0,1 或 0,321【解析】如图 21 中，当点 M 在线段 AC 上，MN=MC，四边形 MNQC 是菱形时， MN=m23m，MC=2m， m23m=2m，解得 m=3+2或0（舍弃）， MN=322， CQ=MN=322， OQ=32+1， Q0,321，如图 22 中，当 NC 是菱形的对角线时，四边形 MNCQ 是正方形，此时 CN=MN=CQ=2，可得 Q0,1，如图 23 中，当点 M 在 CA 延长线上时，MN=CM，四边形 MNQC 是菱形时，则有：m2+3m=2m，解得 m=32或0（舍弃）， MN=CQ=32+2， OQ=CQOC=321， Q0,321，综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为 0,321 或 0,1 或 0,32116. （1） 4；0；4【解析】将 B4,0 代入 y=x2+3x+m，解得，m=4， 二次函数解析式为 y=x2+3x+4，令 x=0，得 y=4， C0,4      （2） 存在，理由：过点 M 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，由点 B，C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：y=x+4，设点 Mx,x2+3x+4，则点 Hx,x+4， BCM 的面积 S=SMHC+SMHB=12MN×OB=12×4×x2+3x+4+x4=2x2+8x. 2<0，故 S 有最大值，此时 x=2，故点 M2,6      （3） 如图 2， 点 P 在抛物线上， 设 Pm,m2+3m+4，当四边形 PBQC 是菱形时，点 P 在线段 BC 的垂直平分线上， B4,0，C0,4， 线段 BC 的垂直平分线的解析式为 y=x， m=m2+3m+4， m=1±5， P1+5,1+5 或