初中数学竞赛专题选讲《函数的图象》.doc
初中数学竞赛专题选讲函数的图象初中数学竞赛专题选讲函数的图象一、内容提要一、内容提要1.函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量 x 为横坐标和以它的函数 y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数 y=f(x)的图象.例如 一次函数 y=kx+b(k,b 是常数，k 0)的图象是一条直线 l.1l 上的任一点 p0(x0,y0)的坐标，适合等式 y=kx+b,即 y0=kx0+b；2若 y1=kx1+b，则点 p1(x1,y1)在直线 l 上.2.方程的图象：我们把 y=kx+b 看作是关于 x,y 的 二元一次方程 kxy+b=0,那么直线 l 就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程 ax+by+c=0(a,b,c 是常数，a0,b0)叫做 直线方程.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.例如：二元二次方程 y=ax2+bx+c(a0)(即二次函数)的图象是抛物线；二元分式方程 y=xk(k0)(即反比例函数)的图象是双曲线.3.函数的图象能直观地反映自变量 x 与函数 y 的对应规律.例如：1由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；2由图象的上升，下降反映函数 y 是随 x 的增大而增大(或减小)；3函数 y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示 y0,y0,f(x)0 的解集和方程 f(x)=0 的解.4两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等4.画函数图象一般是：应先确定自变量的取值范围.要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式.二、例题二、例题例 1.右图是二次函数 y=ax2+bx+c(a0)，试决定 a,b,c 及 b24ac 的符号.解：抛物线开口向下，a0 且 a0.抛物线与纵轴的交点在正半轴上，截距 c0.抛物线与横轴有两个交点，b24ac0.例 2.已知：抛物线 f：y=(x2)2+5.试写出把 f 向左平行移动 2 个单位后，所得的曲线 f1的方程；以及 f 关于 x 轴对称的曲线 f2的方程.画出 f1和 f2的略图，并求：（1）x 的值什么范围，曲线 f1和 f2都是下降的；（2）x 的值在什么范围，曲线 f1和 f2围成一个封闭图形；（3）求在 f1和 f2围成封闭图形上，平行于 y 轴的线段的长度的最大值.（19801980 年福建省中招试题年福建省中招试题）解：f1：y=x2+5(由顶点横坐标变化确定的)，f2：y=(x2)25(由开口方向相反确定的).（1）当 x0 时，f1下降，当 x2 时，f2下降，当 0 x2 时，曲线 f1和 f2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组.5)2(522xyxy，x22x3=0.x=1；或 x=3.当1x 3 时，曲线 f1和 f2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于 y 轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.在区间 1x 3 内，设 f1上的点 P1(x,y1),f2上的点 P2(x,y2)，求 y1y2的最大值，可用配方法：y1y2(x2+5)(x2)252x2+4x+62(x1)2+8.20，y1y2有最大值.当 x=1 时，y1y2的值最大是 8.即线段长度的最大值是 8.例 3.画函数 y=21xx的图象.解：自变量 x 的取值范围是全体实数，下面分区讨论：当 x1时，y=(x+1)(x2)=2x+1；当1 x2 时，y=x+1(x2)=3；当 x 2 时，y=x+1+x2=2x1.即 y=21xx=).2(12)21(3)1(12xxxxx；x x2 21 12 23 3y=y=2x+12x+1(x1)5 53 3y=3y=3(1x2)3 33 3y=2xy=2x1 1(x2)3 35 5画函数 y=21xx的图象如下图：例 4.画方程x2+y2=1 的图象，m 表示不超过 m 的最大整数.(1985(1985 年徐州市初中数学竞赛题年徐州市初中数学竞赛题).).解：x20，且y2=1x20，x21.0 x21.m 表示不超过 m 的最大整数，当x2=0 x=00 x1.当x2=1x=).21(1)01(1xx，自变量 x 的取值范围是：1x2.如图阴影部分的四个正方形，就是所求方程的图象.只包括各正方形左、下边界，不包括各正方形右、上边界.例 5.直线 y=x+m 与双曲线 y=xm在第一象限相交点 A，SRtAOB=3.1求 m 的值；x1x00 x11x2x101x2101y2=1x2010y0110y0y11y01y20y0,那么 y=kx+k 中，当 k0 时，直线上升且在 y 轴上的截距为正.所以应选(D)；注意到 y=12xx 中，当 x=0 和 x=1 时 y 有最大值 1，故选(A).三、练习三、练习1.填空：1横坐标为2 的点的集合，记作直线，纵轴记作直线，横轴记作直线，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线，经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程.点 P（x,y）关于横轴的对称点 P1的坐标是（），点 P 关于原点的对称点 P2的坐标是（）.f：y=3(x2)2+5,关于横轴对称的抛物线 f1记作f 关于原点对称的抛物线 f2记作.4A（1，3）关于直线 y=x 的对称点 A，的坐标是（）.点 B（2，3）关于直线 y=x 的对称点 B，的坐标是（）.2.根据图象位置判断指定的常数的符号1直线 y=kx+b 经过二、一、四象限，则 k,b 的符号是2抛物线 y=ax2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a_,ab2_,b_,c_,b24ac_,abac442_aacbb242_3.选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数 px+qy+r=0 的图象，下列条件正确的是（）.（A）p=q,r=0.(B)p=q,r=0.(C)p=q,r=1.(D)p=q,r=1.（2）下图（2）是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（）（A）a+b+c=0.（B）a+b+c0.（D）a+b+c 值不定.(1)（3）二次函数 y=a(x+m)2+n 中，a0,m0,n0它的图象（）(4)两个一次函数 y=mx+ny=nx+m 且 mn0,那么它们在同一坐标系内的图象大致为（）（D）（5）在同一坐标系内，y=ax+b 与 y=ax2+b 的图象大体位置是（）(6)已知函数 y+ax+b 和 y=ax2+bx+c 那么它们的图象是（）（19831983 年福建省初中数学竞赛题年福建省初中数学竞赛题）4.画下列函数的图象y=xx2；y=2x；y=(x)2；y=x.5.有 m 部同样的机器，同时开始工作，需要 m 小时完成某项任务.设由 x 部机器完成某一任务，求所需的时间 y(小时)与机器台数 x(x 为小于 m 的整数)的函数关系，并画出当 m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象.2 yx；y=x22|x|3.7.这是一张追及图看图回答：谁追及谁？谁早出发，早几小时？甲、乙在这段路程速度各多少？追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？分别列出甲、乙两人的路程 y甲，y乙和时间 x 的函数关系的解析式.8.如图，抛物线 L1：y=ax2+2bx+c 和抛物线 L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.判断哪条抛物线经过 A、B、C 三点，说明理由；.求出点 B 和点 C 的横坐标；-55105-5201510152025234甲乙S公里t小时.若 ABBC，OCOD，求 a,b,c 的值.9.坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)，试在二次函数 y=5910102xx的图象上找出满足 yx的所有整点(x,y),并说明理由.(1995(1995 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)（8 8）练习题参考答案练习题参考答案1.x=2,x=0,y=0,y=x,y=x；(x,y),(x,y)；-1CBDA1y=3(x2)25,y=3(x+2)25(3，1)，(3，2)2.k0.正，负，正，负，负，正，负.3.(A)，(B)，(B)，(C)，(D)，(C)4.x0，图象不以过原点；y0；x0；y0.5.y=xm2(x 是正整数 xm=5).6.（如图）7.乙 追 及 甲；甲 先 1 小 时；时 速 甲 4、乙 5 千 米；乙用 4 小时追上甲先走的 4 千米y甲=4x,y乙=5x8.由图象 a,a+1 异号，L2过 A，B，C 三点.3，1.31，0，31.9.(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(3，3)，(6，6).由 x2x+1810 x.当 x0 时，x2x+1810 x,x211x+180,(x2)(x9)0，2x9,这时，有 4 个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；当 x0 时，x2x+1810 x,x29x+180，（x+6）(x+3)0，6x3,这时有两个整数点：(3，3)，(6，6).
