初中数学竞赛专题选讲《“或者”与“并且”》.doc
初中数学竞赛专题选讲初中数学竞赛专题选讲“或者或者”与与“并且并且”一、内容提要一、内容提要1.“或者”与“并且”的词义是清楚的，区别也是明显的.例如：1正整数 a 是 3 或 5 的倍数，那么 a=3,5,6,9,10,12,15；如果正整数 b 是 3 的倍数且是 5 的倍数，那么 b=15，30，45，60，.在正整数中，设 3 的倍数的集合为 P，5 的倍数集合为 Q，那么：a 是 P 和 Q 两个集合中的所有元素，而 b 是这两个集合中的公共元素.12yx，是方程 x+y=1 的一个解.这里的大括号表示“并且”即当x=2 并且 y=1 时，等式 x+y=1 成立.12yx，等价于 x=2 并且 y=1.记作12yxx=2 并且 y=1.x=2,x=2 是方程 x24=0 的两个解.即当 x=2 或者 x=2 时，等式 x24=0 成立.x=2 或 x=2可记作x=2.即 x=2x=2 或 x=2.2.用“或者”与“并且”表示命题的等价命题.x4x4 或 x=4.4x4 且 x4.44xx，.x 2x2 或 x2.x2x2 且 x222xxx2或2 x2(实数 x 记在数轴上)如图：2023.判断带有“或者”词义的命题的真假：第一种，命题结论带有“或者”的.例如：5命题 32，读作 3 大于 2 或等于 2，它是真命题.因为“3 大于 2”，“3 等于 2”两个命题，用“或者”连结，只要有一个成立，就是真命题.命题“如果 a=0,那么 a20”，也是真命题，因为这个命题等价于：若 a=0,则 a20 或 a2=0，两个结论，用“或者”连结，有一个成立即可.第二种，命题的题设出现“或者”的.例如7命题“如果a0，则a2=0”.读作如果a=0或a0,则a2=0.它是假命题因为命题的两个题设都使结论成立是不可能的.这个命题等价于：若 a=0,则 a2=0 且若 a0，则 a2=0.两个命题要同时成立才是真命题.8方程和方程组的解：方程(xa)(xb)=0，同解于 xa=0 或者 xb=0.方程组.00bxax，同解于 xa=0 并且 xb=0.9不等式和不等式组的解集：不等式组.00bxax，等价于 x+a0 并且 x+b0.不等式(x+a)(x+b)0 等价于；，00bxax或者.00bxax，二、例题二、例题例 1.写出下列命题的等价命题：实数 a,b,c 都不为零；实数 a,b,c 不都为零；x=3 且 y2；.044xx，解：.a,b,c 都不为零.a0 且 b0 且 c0.000cbaabc0.a,b,c 不都为零a,b,c 中至少有一个不为零.a0 或 b0 或 c0.不是 a,b,c 都等于零.a2+b2+c20.x=3 且 y223yx2233yyxx或或；，23yx或；，23yx或；，23yx或.23yx，.044xx，0044xxxx或；，044xxx或.044xxx，例 2.解方程组.64222yxx，解：由 x2=4，得 x=2.把 x=2.代入 4y2=6，得 y=2.原方程组的解是.22yx，即原方程组有四个解：；，22yx；，22yx；，22yx.22yx，例 3.已知：a,b,c 是ABC 的三边，试按下列条件判定三边之间的大小关系：（ab）(bc)=0；（ab）2+(bc)2=0.解：当 ab=0 或 bc=0 时，等式成立.a,b,c 三边的大小关系是：a=b；或 b=c；或 a=b=c.当（ab）20 且(bc)20 时，等式成立.00cbba，a,b,c 三边的大小关系是：a=b=c.例 4.x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？xx31；x41.解：xx31有意义.0301xx，.31xx，这个不等式组的解集，是1x3.当1x3 时，xx31有意义.x41有意义.040 xx，.160 xx，这个不等式组的解集，是：x0 且 x16.016即当 0 x16 或 x16 时，x41有意 义.例 5.绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.根据上述定义，解不等式：x5；y3.解：x5，就是表示 x 的点离开原点的距离小于 5.（如图）即x5 且 x5.x5 的解集是5x5.505y3，就是表示 y 的点离开原点的距离大于 3.（如图）303即 y3.y3 的解集，是；y3.例 6.已知：方程0221xtx无解.求：t 的值.（19871987 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题）解：去分母，得 x+2+t(x 2)=0.整理为关于 x 的一次方程，(t+1)x=2(t1).当.0)1(201tt，时，原方程无解.解这个方程组，得：t=1；当 x=2或 x=-2 时原方程也无解.（这是增根）.分别以 x=2，x=2 代入方程(t+1)x=2(t1).当 x=2，t 无解；当 x=2 时，t=0.综上所述，当 t=1或 t=0时，方程0221xtx无解.三、练习三、练习1.填空：1当 a=时，)3)(11aa（没有意义.2当 x时，912x有意义.3当 x时，31xx在实数范围内有意义.4当整数 b=_时，b3的值是整数.5方程 x+y=2的正整数解是，非负整数解是.6平面内不重合的两条直线的位置关系有.7经过一点有一条只有一条直线和已知直线垂直.2.用“或者”或“并且”连接词写出下列命题的等价命题x0.a3.3x2.3.用含有“或者”或“并且”的连接词叙述下列命题，并判断其真假.如果 x2=16，那么 x=4.如果 a=3，那么a=3.如果 x=0，那么 x20.如果 y 0，那么 y20.如果x4，那么4x0；2x 1b2能得出 ab,那么 a,b 应满足什么条件？(1989(1989 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题)9.ABC 中ABC 且 2C=5A，那么B 的取值范围是什么？(1989(1989 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题)10.a,b,c 三实数不都是零，可表示为()(A)a+b+c 0.(B)abc0.(C)a2+b2+c20.(D)ab+bc+ca 0.11.已知最简根式 aba 2与ba7是同类根式，那么应满足条件的 a,b 的值是.(19891989 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题)12.12.方程x=ax+2 有一个负数根且没有正数根，那么 a 的取值范围是_._.(1987(1987 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)练习题参考答案练习题参考答案1.-1 或 33 且-3 x1 且 x31 或-1 或 3 或-3x=1 且y=1；2x0 或 x0a-3 或-3a33 只有假命题42 或-33x65 有 4 个解6.2x57.0a-109.40B7510.(C)11.a=3 且 b=112.大于或等于 1.
