二次函数与一元二次方程课件人教版数学 九年级上册.pptx

人教版数学 九年级上册,第二十二章 二次函数,22.2 二次函数与一元二次方程,以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 h = 20t - 5t 2（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？ 如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？ 为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？,导入新知,1.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.,学习目标,如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2，考虑以下问题：,新知一 二次函数与一元二次方程的关系,合作探究,（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？,15,1,3,当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.,解：15=20t-5t2, t2-4t+3=0, 解得t1=1,t2=3.,你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？,（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？,你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？,20,4,20=20t-5t2,t2-4t+4=0,解得t1=t2=2.,故当球飞行2秒时，它的高度为20米.,h=20t-5t2,解：,（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？,你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?,20.5,解：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 4.10,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.,h=20t-5t2,（4）球从飞出到落地要用多少时间？,0=20t-5t2,t2-4t=0,解得t1=0,t2=4.,当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.,即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.,h=20t-5t2,解：小球飞出时和落地时的高度均为0m，,从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?,一般地，当y取定值且a0时，二次函数为一元二次方程.,如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.,二次函数与一元二次方程关系密切,例如，已知二次函数y = x24x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程x24x=3（即x24x+3=0）,反过来，解方程x24x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x24x+3 的值为0，求自变量x的值,已知二次函数中因变量的值，求自变量的值,解一元二次方程,二次函数与一元二次方程的关系（1）,例 已知二次函数 y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 2x2-3x-4=1 . 反之，解一元二次方程 2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数y=2x2-3x-5的函数值为0时自变量x的值.,解之得：x1=-1，x2=2.5,二次函数与一元二次方程的关系,典例精析,二次函数y=x2-3x+2 ，当 x=1 时，y= ;当y=0时，x= .,抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为;与x轴的交点坐标为.,0,1或2,(0,-1),(0.5,0)和（-0.5,0）,巩固练习,【思考】观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.,新知二 利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况,合作探究,二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？,无公共点,先画出函数图象：,公共点的函数值为 .,0,对应一元二次方程的根是多少？,x1 =-2，,x2 =1.,x1 =x2 =3.,方程无解,有两个不等的实根,有两个相等的实根,没有实数根,由上述问题，你可以得到什么结论呢？,方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.,有两个不等实根有两个相等实根没有根,有两个交点有一个交点没有交点, 0, = 0, 0,一元二次方程ax2+bx+c = 0 的根,抛物线 y=ax2+bx+c与x轴,若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则,b2 4ac 0.,= b2 4ac,二次函数与一元二次方程的关系（2）, 0, =0, 0,o,x,y, = b2 4ac,y=ax2+bx+c,那么a0时呢？,a0,观察图象，完成下表：,0个,1个,2个,x2-x+1=0无解,3,x2-6x+9=0，x1=x2=3,-2, 1,x2+x-2=0，x1=-2,x2=1,y,x,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,有两个重合的交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系,例1 已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值,解：(1)证明：m0，-(m2)24m2m24m48m(m2)2. (m2)20， 0，因此抛物线与x轴总有两个交点；,（2）令y=0，则（x-1）（mx-2）=0，即x-1=0或mx-2=0，解得x1=1,x2= .当m为正整数1或2时，x2的值为整数，因为当m为2时， =0，抛物线与x轴只有一个交点，所以正整数m的值为1.,利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定字母的值（范围）,典例精析,已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ,k-1且k0,巩固练习,例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？,二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用,典例精析,解： 由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.,（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？,（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？,解：由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.,解：由抛物线的表达式得即因为 所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.,（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？,一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.,如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所示的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？,解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0，解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去).答：水流的落地点D到A的距离是5m.,A,B,O,D,巩固练习,求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.,分析：一元二次方程 x-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.,新知三 利用二次函数求一元二次方程的近似解,合作探究,解：画出函数 y=x-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.,求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.,先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：,观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1-0.4.同理可得另一近似值为x22.4.,利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.,(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；,(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);,(3)确定方程2x2+x-15=0的解;,由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1-3,x22.5.,一元二次方程的图象解法,根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2+bx+c =0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3 x 3.23 B. 3.23 x 3.24 C. 3.24 x 3.25 D. 3.25 x 3.26,C,巩固练习,1.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一元二次方程ax2bxc0的近似根为()Ax12.1，x20.1 Bx12.5，x20.5Cx12.9，x20.9 Dx13，x21,B,课堂练习,2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；,-1,3. 一元二次方程 3x2+x10=0的两个根是x1=2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+x10与x轴的交点坐标是 .,(-2，0) ( ，0),4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ）A.x轴上方 B.第一、二、三象限C.x轴下方 D.第二、三、四象限,A,5. 二次函数ykx26x3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()Ak3 Bk3且k0Ck3 Dk3且k0,D,6. 已知函数y(k3)x2x1的图象与x轴有交点，求k的取值范围,解：当k3时，函数y2x1是一次函数一次函数y2x1与x轴有一个交点，k3；当k3时，y(k3)x22x1是二次函数二次函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，b24ac0. b24ac224(k3)4k16，4k160.k4且k3.综上所述，k的取值范围是k4.,0,0,0,x1 ; x2,x1 =x2 ,没有实数根,xx2,x x1的任意实数,任意实数,x1xx2,无解,无解,归纳新知,B,C,课后练习,3关于x的二次函数y(k2)x22x1与x轴有交点，则k的取值范围是( )Ak3 Bk3且k2Ck3 Dk2,B,C,5(2020宁夏)若二次函数yx22xk的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_,k1,6根据下列表格的对应值，判断方程ax2bxc0(a0，a，b，c为常数)一个解的范围是( )A.2x2.23 B2.23x2.24C2.24x2.25 D2.25x2.26,C,7利用二次函数的图象估计一元二次方程x22x10的近似根(精确到0.1),解：方程x22x10的根是函数yx22x1与x轴交点的横坐标作出二次函数yx22x1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在1和0之间，另一个在2和3之间先求1和0之间的根，当x0时，y10，当x1时，y20，这个根在1，0之间取1，0的平均数0.5，得y0.250，这个根在0.5，0之间取0.5，0的平均数0.25，得y0.437 50，这个根在0.5，0.25之间取0.5，0.25的平均数0.375，得y0.109 3750，这个根在0.5，0.375之间再取0.5，0.375的平均数0.437 5，得y0.066 406 250，这个根在0.437 5，0.375之间结果精确到0.1，x0.4是方程的一个近似根，同理，x2.4是方程的另一个近似根,8二次函数yx2x2的图象如图所示，则函数值y0时x的取值范围是( )Ax1 Bx2C1x2 Dx1或x2,C,9如图，过点(0，1)且平行于x轴的直线与二次函数yax2bxc(a0)图象的交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax2bxc10的解集为( )Ax1 B1x3Cx1或x3 Dx3,C,10抛物线yax2bxc的图象如图所示，则关于x的方程ax2bxc20的根的情况是( )A.有两个不等的实数根B有两个异号的实数根C有两个相等的实数根D没有实数根,C,11若关于x的函数y(a1)x24x2a的图象与x轴只有一个交点，则a的值为_.,1或1或2,12(2020武汉)抛物线yax2bxc(a，b，c为常数，a0)经过A(2，0)，B(4，0)两点，下列四个结论：一元二次方程ax2bxc0的根为x12，x24；若点C(5，y1)，D(，y2)在该抛物线上，则y1y2；对于任意实数t，总有at2btab；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2bxcp(p为常数，p0)的根为整数，则p的值只有两个其中正确的结论是_(填写序号),13二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题(1)写出方程ax2bxc0的两个根；(2)写出不等式ax2bxc0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2bxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围解：(1)x11，x23(2)1x3(3)x2(4)k2,15已知关于x的一元二次方程mx2(15m)x50(m0).(1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；(2)若抛物线ymx2(15m)x5与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且|x1x2|6，求m的值；(3)若m0，点P(a，b)与Q(an，b)在(2)中的抛物线上(点P，Q不重合)，求代数式4a2n28n的值,再 见,