四川省成都市双流区双流中学2020届高三数学9月月考试题理含解析.doc

-1-四川省成都市双流区双流中学四川省成都市双流区双流中学 20202020 届高三数学届高三数学 9 9 月月考试题月月考试题 理（含理（含解析）解析）第第卷选择题（卷选择题（6060 分）分）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.请将你选择的答案涂到答题卡上请将你选择的答案涂到答题卡上.1.已知复数z满足(1)1zii（i是虚数单位），则z（）A.0B.12C.1D.32【答案】C【解析】【分析】先求出复数 z,再求|z|得解.【详解】由题得21(1)2,|11(1)(1)2iiiziziii 故选：C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合|1Ax yx，2|230,Bx xxxZ，则AB（）A.1,2,3B.1,2C.2D.1【答案】B【解析】【分析】分别求解出集合A和集合B，根据交集定义求得结果.【详解】101Ax xx x，|310,0,1,2BxxxxZ1,2AB本题正确选项：B-2-【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.设函数 241,0log,0 xxf xx x，则 1ff（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】将1x 代入解析式求得 10f，再将0 x 代入解析式即可求得结果.【详解】由题意得：21log 10f 010410fff 本题正确选项：A【点睛】本题考查根据分段函数解析式求解函数值，属于基础题.4.若向量a，b是非零向量，则“abab”是“a，b夹角为2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可【详解】2222|2|20ababababababab，向量a，b是非零向量，0ababa，b夹角为2“abab”是“a，b夹角为2”的充要条件故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）-3-A.322B.644C.164D.16【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可知几何体为一个长方体切掉14个圆柱，分别计算长方体和14个圆柱的体积，作差得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个长方体切掉14个圆柱长方体体积：12 2 416V ；14个圆柱的体积：221144V几何体体积：1216VVV本题正确选项：D【点睛】本题考查几何体体积的求解问题，关键是能够通过三视图准确还原几何体.6.函数 xefxx的图像的大致形状是（）A.B.C.D.【答案】C-4-【解析】【分析】利用导数研究 fx的单调性，可排除,B D；根据0 x 时 fx的符号可排除A，从而得到结果.【详解】由题意得：210 xxefxxx当,0 x，和0,1时，0fx；当1,x时，0fx f x在,1，0,1上单调递减，在1,上单调递增，可排除,B D当0 x 时，0f x 恒成立，可排除A本题正确选项：C【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是能够通过导数的知识求得函数的单调性，再结合特殊位置的符号进行排除；易错点是忽略函数定义域的要求.7.设随机变量(1,1)XN，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）注：若2(,)XN，则()0.6826PX，(22)0.9544PX.A.6038B.6587C.7028D.7539【答案】B【解析】分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算详解：1,1XN，112，68.26%PX（），0268.26%PX（），-5-则1234.13%PX（），阴影部分的面积为0.6587正方形ABCD中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 6587故选 D点睛：本题考查了正态分布、几何概型，正确理解正态分布的定义是解题的关键，属于中档题8.为了配平化学方程式22aFeSbO点燃232cFe OdSO，某人设计了一个如图所示的程序框图，则处应分别填入（）A.ac，323cdb，2ccB.ac，322cdb，1ccC.2ac，322cdb，2ccD.2ac，322cdb，1cc【答案】D【解析】【分析】比较方程的两边，由元素守恒可得,a b c的数量关系-6-【详解】结合元素守恒易知2ac，322cdb，1cc.【点睛】本题考查程序框图，考查推理论证能力.9.若双曲线222210,0 xyabab的两条渐近线所成的锐角为60，则双曲线的离心率为（）A.2 33B.2C.2 33或 2D.63或3【答案】C【解析】【分析】根据渐近线倾斜角与斜率的关系可得ba的值，根据双曲线,a b c的关系可求得离心率.【详解】设斜率为正的渐近线的倾斜角为则3tantan303o或tantan 9030tan603ooo即33ba或3ba2222113caea 或222213caea 解得：2 33e 或2本题正确选项：C【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到双曲线渐近线的斜率问题；易错点是忽略两渐近线的夹角可能是倾斜角的二倍，也可能是倾斜角余角的二倍.10.若函数 sinxf xexa在区间,2 2 上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.2,B.1,C.1,D.2,【答案】B-7-【解析】【分析】将问题转化为 0fx在,2 2 上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化为2sin04xa在,2 2 上 恒 成 立；利 用 正 弦 型 函 数 值 域 求 法 可 求 得2sin1,24xaaa ，则只需10a-+即可，解不等式求得结果.【详解】由题意得：sincos2sin4xxxfxexaexexa fx在,2 2 上单调递增 0fx在,2 2 上恒成立又0 xe 2sin04xa在,2 2 上恒成立当,2 2x 时，3,444x 2sin,142x 2sin1,24xaaa 10a，解得：1,a本题正确选项：B【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.11.已知球O的半径为4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为2，则此矩形的最大面积为（）A.12B.18C.24D.30【答案】C【解析】【分析】推导出BD43，当ABAD时，矩形ABCD的面积最大，此时AB2+AD22AB248，由此能求出此矩形的最大面积-8-【详解】球O的半径为 4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为 2，221422BD 23，BD43，22,482SABAD ABADABAD由不等式性质得到得到：当ABAD时，矩形ABCD的面积最大，此时AB2+AD2DB248，解得AB2AD224，此矩形的最大面积SAB224故选：C【点睛】本题考查矩形的最大面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12.定义在0,上的函数 f x满足：当02x时，22f xxx；当2x 时，32f xf x.记函数 f x的极大值点从小到大依次记为12,na aa并记相应的极大值为12,nb bb则1 1222020aba ba b的值为（）A.2019 31B.1919 31C.1920 31D.2020 31【答案】A【解析】【分析】确定函数极大值点及极大值求得21nan.1,3nnb，再求和即可【详解】由题当当0 x2时，22f x2xx11,x 极大值点为 1，极大值为 1-9-当x2时，f x3f x2.则极大值点形成首项为 1 公差为 2 的等差数列，极大值形成首项为 1 公比为 3 的等比数列故21nan.1,3nnb,故121 3nn na bn设S=12191 12220201 1 3 35 339 3a ba ba b3S=12201 33 339 3两式相减得-2S=1+2(1219333)-192020203 1 331239 3238 31 3 S=2019 31故选：A【点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定na及nb的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题第第卷非选择题（卷非选择题（9090 分）分）本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第 13-2113-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-222-23 3题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，将答案填在答题卡相应横线上）分，将答案填在答题卡相应横线上）13.若实数x，y满足240100 xyxy，则zxy的最大值为_.【答案】3【解析】【分析】由约束条件画出可行域，将问题转化为直线yxz 在y轴截距最大值的求解问题；通过平移yxz 可知过A时，截距最大，代入A点坐标即可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：-10-当zxy取最大值时，直线yxz 在y轴截距最大平移直线yx 可知，当yxz 过图中A点时，在y轴截距最大又1,2Amax1 23z 本题正确结果：3【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y轴截距的最值问题的求解，通过图象平移找到最优解.14.二项式831()2xx的展开式的常数项是_【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1 项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式831()2xx的展开式的通项公式为8 483318811C()()C22rrrrrrrTxxx,令8403r得2r=，故所求的常数项为2821C=7.2点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r 项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第1r 项，由特定项得出r值，最后求出特定项的系数.15.已知aR，命题p：1,2x，20 xa，命题q：x R，2220 xaxa，-11-若命题pq为真命题，则实数a的取值范围是_【答案】2a 或1a【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题p为1a，根据一元二次方程有解化简命题q为2a 或1a，再根据且命题的性质可得结果.【详解】若命题p：“1,2x，20 xa”为真；则10a，解得：1a，若命题q：“x R，2220 xaxa”为真，则244 20aa，解得：2a 或1a，若命题“pq”是真命题，则2a ，或1a，故答案为：2a 或1a【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.16.已知点0,1A，抛物线2:0C yax a的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，,与抛物线C的准线相交于点N，若:1:2FMMN，则实数a的值为_【答案】4 33【解析】【分析】过M作抛物线的准线的垂线且垂足为K，连接MK，由抛物线的定义得MFMK，由|:|1:2FMMN，得|:|3:1KNKM，利用斜率得 a 的方程求解即可【详解】依题意得焦点F的坐标为,04a，-12-过M作抛物线的准线的垂线且垂足为K，连接MK，由抛物线的定义知MFMK，因为|:|1:2FMMN，所以|:|3:1KNKM，又0 1404FNkaa，N|3|FKNkKM ，所以43a，解得4 33a.故答案为4 33【点睛】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，熟记定义，准确转化题意是关键，是基础题三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsinsinsinABabCB c 1求A；2已知2a，ABC的面积为3,2ABC求的周长【答案】（1）3；（2）2+10【解析】【分析】（1）在ABC中，由正弦定理及题设条件，化简得1cos2A，即可求解。（2）由题意，根据题设条件，列出方程，求的2bc，得到10bc，即可求解周长。【详解】（1）在ABC中，由正弦定理及已知得ababcb c，化简得222bcabc，2221cos22bcaAbc，所以3A.（2）因为222bcabc，所以243bcbc，又ABC的面积为13sin22bcA，则2bc，-13-则10bc，所以ABC的周长为210.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到18.已知三棱柱111ABCABC中，12ABACAA，侧面11ABB A 底面ABC，D是BC的中点，160B BAo，1B DAB.（）求证：ACAB；（）求二面角1CADB的余弦值.【答案】（）详见解析（）155【解析】【分析】（）取AB中点O，连接OD，1BO；结合等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可知AB 平面1BOD；由线面垂直性质可知ABOD；根据三角形中位线知识可知/ODAC，从而证得结论；（）以O为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用二面角的空间向量求法即可求得结果.【详解】（）取AB中点O，连接OD，1BO-14-在1AB B中，1ABB B，160B BAo1AB B是等边三角形1BOAB又1B DAB，111BOB DB，11,BO B D 平面1BODAB平面1BODOD 平面1BODABOD,O D分别为,AB BC中点/ODACACAB故ABOD，又/ODAC，所以ACAB.（）以O为坐标原点，分别以1,OB OD OB方向为,x y z轴建立如下空间直角坐标系：如图所示，令12ABACAA，则1,2,0C，1,0,0A，0,1,0D，1,0,0B，10,0,3B.11,0,3BB ，0,2,0AC，1,1,0AD，1111,2,3ACACCCACBB 设平面1ADC的法向量为,mx y z10230m ADxym ACxyz ，令1x，则1y ，3z 1,1,3m又平面ADB的法向量为0,0,1n，315cos,51 1 3m n -15-又二面角1CADB为钝二面角二面角1CADB的余弦值为：155【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；证明线线垂直的常用解法是通过证明线面垂直关系，利用线面垂直的性质得到所证的线线垂直，属于常考题型.19.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100 位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这 100位居民的网购消费金额均在区间0,30内，按0,5，5,10，10,15，15,20，20,25，25,30分成 6 组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在 20 千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男女合计网购迷20非网购迷45合计100（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不.影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624-16-乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.附：观测值公式：22abcdadbcKabcdacbd 临界值表：20P Kk0.010.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)中位数估计为 17.5 千元.(2)见解析；(3)73【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2)由直方图知，网购消费金额在 20 千元以上的频数为0.35 10035，得“网购迷”共有 35 人，列出列联表计算2K即可得出结论；(3)设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X，Y，据题意得12,2XB，22,3YB，计算()(Y)E XE，由XY，即可求解【详解】（1）在直方图中，从左至右前 3 个小矩形的面积之和为(0.01 0.020.04)50.35，后 2 个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35，所以中位数位于区间15,20内.设直方图的面积平分线为15x，则0.060.50.350.15x，得2.5x，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为 17.5 千元.（2）由直方图知，网购消费金额在 20 千元以上的频数为0.35 10035，所以“网购迷”共有 35 人，由列联表知，其中女性有 20 人，则男性有 15 人.-17-所以补全的列联表如下：男女合计网购迷152035非网购迷452065合计6040100因为22100(45 20 15 20)6006.5935.02460 40 35 6591K，查表得25.0240.025P K，所以有 97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23.设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X，Y，据题意，12,2XB，22,3YB.所以1()212E X，24()233E Y.因为XY，则7()()()3EE XE Y，所以的数学期望为73.【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线60 xy相切，过点4,0P的直线l与椭圆C相交于,A B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）若原点O在以线段AB为直径的圆内，求直线l的斜率k的取值范围.【答案】(1)22143xy(2)33,55k【解析】【分析】-18-（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出 a、b 的值，代入椭圆方程即可；（2）联立直线与椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围【详解】解（1）由12cea可得2243ab，又22634,31 1bab.故椭圆的方程为22143xy.（2）由题意知直线l方程为(4)yk x.联立224143yk xxy得2222433264120kxk xk.由2222324 4364120kkk ，得214k.设1122,A x yB xy，则22121222326412,4343kkxxx xkk.222121212124 4416y yk xk xk x xkxxk.Q原点O在以线段AB为直径的圆外，222121212121416OA OBx xy ykx xkxxk 222222264123214164343kkkkkkk28725043k，由，解得3355k.当原点O在以线段AB为直径的圆外时，直线l的斜率33,55k.【点睛】本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题21.已知函数 2ln1fxxax，（aR）.（）若函数 fx有且只有一个零点，求实数a的取值范围；-19-（）设 21xg xexexfx，若 0g x，若函数对1,x恒成立，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数，2.71828e）【答案】（）,02U（）0,【解析】【分析】（）首先确定函数定义域为0,，求出导数；当0a 时，可知函数单调递增，根据 10f可知满足题意；当0a 时，可求得导函数的零点；当零点12a可知满足题意；当12a或12a结合函数的单调性和零点存在性定理可判断出存在不止一个零点，不满足题意；综合上述情况得到结果；（）当0a 时，可知 0gx，得到 10g xg，满足题意；当0a 时，根据 gx符号可知 gx单调递增，由零点存在性定理可验证出01,lnxea，使 得00gx，从 而 得 到 g x在01,x上 单 调 递 减，则 010g xg，不满足题意，从而得到结果.【详解】（）由题意得：fx定义域为0,，则 2220axafxxxxx当0a 时，0fx恒成立 f x在0,上单调递增又 10f f x有唯一零点，即0a 满足题意当0a 时当0,2ax时，0fx；当,2ax时，0fx即 fx在0,2a上单调递减，在,2a上单调递增 minln1222aaafxfa当12a，即2a 时，min10fxf，fx有唯一零点，满足题意-20-当12a，即02a时，102aff又1221 10aaafeee ，且11ae11,2aaxe，使得 110fxf，不符合题意当12a，即2a 时，102aff211ln112ln1f aaaaa aa 设11at ，1 lnh ttt ，则 1110th ttt h t在1,上单调递增 10h th，即10f a又12aa 2,12axa，使得 210f xf，不符合题意综上所述：a的取值范围为：,02U（）由题意得：lnxg xaxeex，则 xagxeex，2xagxex当0a 时，由1,x得：0gx恒成立 g x在1,上单调递增 10g xg即0a 满足题意当0a 时，0gx恒成立 gx在1,上单调递增又 10ga，1 lnln0lnlnaeaageaaeaea01,lnxea，使得00gx当01,xx时，0gx，即 g x在01,x上单调递减 010g xg，则0a 不符合题意综上所述：a的取值范围为：0,【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数零点个数求解参数范围、恒成-21-立问题的求解、零点存在性定理的应用等知识；本题解题的关键是在无法确定零点所在位置时，能够灵活应用零点存在定理找到不满足题意的点，从而使问题得以解决.选考题选考题：共共 1010 分分.请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多选如果多选，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分，作答时请写清题号作答时请写清题号.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为cossinxtyt（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C：2cos，曲线2C：2cos3.（1）求1C与2C交点的直角坐标；（2）若直线l与曲线1C，2C分别相交于异于原点的点M，N，求MN的最大值.【答案】(1)(0,0)，33,22.(2)2.【解析】【分析】(1)先求出1C与2C的直角坐标方程，再解方程组求交点坐标得解；（2）不妨设0，点M，N的极坐标分别为1(,)，2(,)，得到12|2 cos3MN，再利用三角函数的性质求出MN的最大值.【详解】（1）曲线1C的直角坐标方程为222xyx，曲线2C的直角坐标方程为2230 xyxy.由2222230 xyxxyxy解得00 xy或3232xy，故1C与2C交点的直角坐标为(0,0)，33,22.（2）不妨设0，点M，N的极坐标分别为1(,)，2(,)，-22-所以12|2cos2cos3MN|2cos(cos3sin)|cos3sin|2 cos3，所以MN的最大值 2.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查极坐标下两点间的距离的求法和最值的求解，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知关于x的函数()f x|1|xxm（）若()3f x 对所有的xR R 恒成立，求实数m的取值范围；（）若关于x的不等式2()2f mmxx的解集非空，求实数m的取值范围【答案】（）(,42,)（）5(,4【解析】【分析】（）利用绝对值三角不等式求出 f x的最小值1m，解不等式13m即可；（）等价于2min12mmxx，即1124mm，分为18m 和18m 两种情形讨论即可.【详解】（）113f xxxmm，13m 或13m ，2m或4m.故m的取值范围为,42,.（）22f mmxx的解集非空，2min12mmxx，1124mm，当18m 时，1204m，1124mm恒成立，即18m 均符合题意；当18m 时，1204m，10m，-23-不等式1124mm可化为1124mm，解之得1584m.由得，实数m的取值范围为5,4.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，转化与化归思想，属于中档题.