四川省成都市青羊区石室中学2020届高三数学上学期10月月考试题文含解析.doc

-1-四川省成都市青羊区石室中学四川省成都市青羊区石室中学 20202020 届高三数学上学期届高三数学上学期 1010 月月考试题月月考试题文（含解析）文（含解析）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合题目要求的题目要求的.1.已知集合|(1)(2)0,|0MxxxNx x，则（）A.NMB.MNC.MND.MNR【答案】B【解析】【分析】求解出集合M，根据子集的判定可得结果.【详解】由题意知：12012Mx xxxx，则MN本题正确选项：B【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.2.已知i为虚数单位，则232019iiii等于（）A.iB.1C.iD.1【答案】D【解析】【分析】利用)ninN（的周期求解.【详解】由于234110iiiiii ，且)ninN（的周期为 4，2019=4 504+3，所以原式=2311iiiii .故选：D【点睛】本题主要考查复数的计算和)ninN（的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.-2-3.已知命题p：,0 x ，22310 xx，命题q：若0 x，则22310 xx，则以下命题正确的为（）A.p的否定为“0,)x，22310 xx”，q的否命题为“若0 x，则22310 xx”B.p的否定为“(,0)x ，22310 xx”，q的否命题为“若0 x，则22310 xx”C.p的否定为“0,)x，22310 xx”，q的否命题为“若0 x，则22310 xx”D.p的否定为“(,0)x ，22310 xx”，q的否命题为“若0 x，则22310 xx”【答案】B【解析】【分析】根据命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。即可选出答案。【详解】p的否定为“(,0)x ，22310 xx”，q的否命题为“若0 x，则22310 xx”故选：B【点睛】本题考查命题的否定与否命题，注意区分命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。属于基础题。4.已知 na是公差为12的等差数列，nS为 na的前n项和.若2a，6a，14a成等比数列，则5S（）A.352B.35C.252D.25【答案】C【解析】-3-【分析】根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,【详解】因为2a，6a，14a成等比数列，所以226214111151133,()()()2222aa aaaaa，因此53112555 42222S ,选 C.【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.5.中国古代数学著作算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等意思是现有松树高 5 尺，竹子高 2 尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的 x5，y2，输出的 n 为 4，则程序框图中的中应填（）A.yxB.yxC.xyD.xy【答案】C【解析】【详解】解：模拟程序的运行，可得x5，y2，n1-4-x152，y4不满足条件，执行循环体，n2，x454，y8，此时，xy，不满足条件，执行循环体，n3，x1358，y16，此时，xy，不满足条件，执行循环体，n4，x40516，y32，此时，xy，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为 4可得程序框图中的中应填xy？故选：C6.设函数2,1(),12xxf xxx，则满足 12ff af a的a的取值范围是（）A.(,0B.0,2C.2,)D.(,02,)【答案】D【解析】【分析】根据 12ff af a得到()1f a，讨论a的范围解得答案.【详解】函数2,1(),12xxf xxx，12ff af a得到()1f a 当1a 时：()21af a解得0a，即0a 当1a 时：()12af a 解得2a，即2a 综上所述：(,02,)a 故答案选 D【点睛】本题考查了分段函数的计算，分类讨论是一个常用的方法.7.若直线24yk x与曲线24yx有两个交点，则k的取值范围是（）-5-A.1,B.31,4 C.3,14D.,1【答案】C【解析】试题分析：曲线24yx可化为，所以图象是以原点为圆心，为半径的圆，且只包括x轴上方的图象，而直线24yk x经过定点，当直线与该半圆相切时刚好有一个交点，可以用圆心到直线的距离等于半径，求出临界值，利用数形结合，慢慢将直线绕定点转动，当直线过圆上的一点时，正好有两个交点，此时的，再转动时仍只有一个交点，所以取值范围为3,14，故选 C.考点：1、直线方程；2、直线与圆的位置关系；3、直线的斜率.8.已知2ln3a，3ln2b，6ce，则a，b，c的大小关系为（）A.acbB.bcaC.c abD.cba【答案】C【解析】【分析】先比较,a b的大小，再比较,a c的大小，进而可得答案【详解】由题得ln9,ln8ab，ab又633ln32ln32(ln3)2ecaeee，设()ln,0f xxex x，则()1exefxxx，当0 xe时，()0,()fxf x单调递减；当xe时，()0,()fxf x单调递增。3e，-6-(3)()ff e，即3ln3ln0eeee，0ca，因此ca，cab故选 C【点睛】本题考查实数大小的比较和考查导数在研究函数中的应用，考查学生对知识的理解掌握水平和分析推理能力，解题的关键是通过通过构造函数并利用函数的单调性解决问题，属于中档题9.已知a（0，2），2sin2=cos2+1，则 sin=A.15B.55C.33D.2 55【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案【详解】2sin2cos21，24sincos2cos.0,cos02 sin0,2sincos ，又22sincos1，2215sin1,sin5 ，又sin0，5sin5，故选 B【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉10.函数2()(1)sinf xxxxx的零点的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】-7-将函数 fx因式分解.利用导数求得函数 sing xxx的单调区间，判断出函数 sing xxx零点个数.由此判断出 fx零点个数.【详解】依题意 1sinf xxxx，故1x 是函数 fx的零点.构造函数 sing xxx，注意到 00g，且 1 cos0gxx，所以 g x在R上递增，只有唯一零点0 x.所以 fx有两个零点1x 或0 x.故选 B.【点睛】本小题主要考查函数零点，考查利用导数研究函数的零点，考查因式分解，属于中档题.11.已知双曲线2222:1xyCab（0,0ab）的焦距为 4，其与抛物线23:3E yx交于,A B两点，O为坐标原点，若OAB为正三角形，则C的离心率为（）A.22B.32C.2D.3【答案】C【解析】【分析】设OAB的边长为2m，则3,Am m，利用A在抛物线上可得1m，把3,1A代入双曲线方程，结合2224abc可求出2ab，从而得到双曲线的离心率.【详解】设OAB的边长为2m，由抛物线和双曲线均关于x轴对称，可设3,3,Am mBmm，又2333mm，故1m，所以3,1A，故22311ab，又2c，即224ab，解得2ab，则2cea故选：C【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,a b c的一个等式关系 而-8-离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,a b c的不等式或不等式组12.已知函数()sin()f xx，其中0，|2，4为()f x的零点：且()4f xf恒成立，()f x在区间,12 24上有最小值无最大值，则的最大值是（）A.11B.13C.15D.17【答案】C【解析】【分析】先根据x4为yf（x）图象的对称轴，4x 为f（x）的零点，判断为正奇数，再结合f（x）在区间12 24，上单调，求得的范围，对选项检验即可【详解】由题意知函数 024fxsinxx，为yf（x）图象的对称轴，4x 为f（x）的零点，214n22，nZ Z，2n+1f（x）在区间12 24，上有最小值无最大值，周期T（2412）8，即28，16要求的最大值，结合选项，先检验15，当15 时，由题意可得415+k，4，函数为yf（x）sin（15x4），在区间12 24，上，15x4（32，38），此时f（x）在x2 时取得最小值，=15 满足题意则的最大值为 15，故选：C【点睛】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.-9-13.已知数列 na满足11a，11lglg2nnaa，则5a _.【答案】100【解析】【分析】根据所给等式，化简变形即可知道数列 na为以 1 为首项10为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式，即可求出答案。【详 解】因 为1111111lglglglglg21022nnnnnnnnaaaaaaaa，又11a.所以数列 na为以 1 为首项,10为公比的等比数列，即4451110100aa q 故填：100【点睛】本题考查等比数列的定义、等比数列的通项，解本题的关键在于：熟练掌握对数的运算性质，将所给等式化简为等比数列的定义形式，属于基础题。14.已知1 12,1,1,2,32 2a ，若幂函数 f xxa为奇函数，且在(0,)上递减，则a _【答案】1【解析】【分析】先根据单调性判断出a的正负，然后根据奇偶性判断出a的可取值.【详解】1 12,1,1,2,32 2a 幂函数 f x在(0,)上递减，0a，即12,1,2a 又因为 f xxa为奇函数，-10-1a 故答案为：1.【点睛】本题考查根据幂函数奇偶性、单调性判断幂指数的取值，难度较易.幂函数中的幂指数大于零时，则幂函数在(0,)递增，若幂指数小于零时，则幂函数在(0,)递减.15.已知球O的内接圆锥体积为23，其底面半径为 1，则球O的表面积为_.【答案】254【解析】【分析】利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于R的方程，即可得解.【详解】由圆锥体积为23，其底面半径为1，设圆锥高为h则221133h，可求得2h 设球半径为R，可得方程：2221RR，解得：54R 25254=164S本题正确结果：254【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.16.已知抛物线C：22(0)ypx p的焦点为F，且F到准线l的距离为 2，直线1l：50 xmy与抛物线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与准线l交于点R，若|3QF，则QRFPRFSS_.【答案】67【解析】【分析】由F到准线l的距离为 2，可求出2p，抛物线C：24yx，(1,0)F，再利用|3QF，Q点的坐标，即可求出直线1l，联立直线1l与抛物线则可求出P点的坐标，再利用-11-=QRFPRFSQRQFSPRPF，即可得出答案。【详解】因为F到准线l的距离为 2，所以2p，抛物线C：24yx，(1,0)F.设11(,)P x y，22(,)Q xy，因为|3QF，即22+1=3=2xx所以22 2y ，代入直线1l：522+2 2502 2mm所以直线1l为：52502 2xy由2252502(25)4 502 24xyyyyx所以124 5y y ，所以124 510yy，152x，所以216712 1=5112QRFPRFSQRQFxSPRPFx-12-故填：67【点睛】本题考查抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、方程思想，属于中档题。三、解答题：共三、解答题：共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，sin2sinCB.（1）求BDCD；（2）若1ADAC，求BC的长【答案】（1）2；（2）3 22.【解析】【分析】（1）在ABD和ACD中运用正弦定理，进行求解即可（2）由sin2sinCB，利用正弦定理可得22ABAC，利用余弦定理求出cos,cosBADCAD，结合BADCAD，建立方程进行求解即可【详解】解：（1）由正弦定理可得在ABD中，sinsinADBDBBAD，在ACD中，sinsinADCDCCAD，又因为BADCAD，sin2sinBDCCDB.（2）sin2sinCB，由正弦定理得22ABAC，设DCx，则2BDx，则222254coscos24ABADBDxBADCADAB AD，2222222ACADCDxAC AD.因为BADCAD，所以2254242xx，解得22x.3 232BCx.【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键-13-18.随着经济的发展，个人收入的提高.自 2018 年 10 月 1 日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除 5000 元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额 3500 元免征额 5000 元级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额税率（%）1不超过 1500元的部分31不超过 3000元的部分32超过 1500 元至 4500 元的部分102超过 3000 元至 12000 元的部分103超过 4500 元至 9000 元的部分203超过 12000 元至 25000 元的部分10（1）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于 8000 元，记x表示总收人，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入（元）3000,50005000,70007000,90009000,1100011000,1300013000,15000人数304010875先从收入在3000,5000及5000,7000的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 2 人作为-14-新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为 7500 元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）调整前y关于x的表达式为0,350035000.03,350050004550000.1,50008000 xyxxxx，调整后y关于x的表达式为0,500050000.03,50008000 xyxx（2）47（3）220 元【解析】【分析】（1）对收入x的范围分类，求出对应的表达式即可。（2）列出 7 人中抽取 2 人共 21 种情况，找出不在同一收入人群的有 12 种结果，问题得解。（3）计算出小红按调整起征点前应纳个税为295元，小红按调整起征点后应纳个税为75元，问题得解。【详解】解：（1）调整前y关于x的表达式为0,350035000.03,350050004550000.1,50008000 xyxxxx，调整后y关于x的表达式为0,500050000.03,50008000 xyxx.（2）由频数分布表可知从3000,5000及5000,7000的人群中按分层抽样抽取 7 人，其中3000,5000中占 3 人，分别记为,A B C，5000,7000中占 4 人，分别记为 1，2，3，4，再从这 7 人中选 2 人的所有组合有：AB，AC，1A，2A，3A，4A，BC，1B，2B，3B，4B，1C，2C，3C，4C，12，13，14，23，24，34，共 21 种情况，其中不在同一收入人群的有：1A，2A，3A，4A，1B，2B，3B，4B，1C，2C，3C，4C，共 12 种，所以所求概率为124217P.（3）由于小红的工资、薪金等税前收入为 7500 元，按调整起征点前应纳个税为1500 3%2500 10%295元；-15-按调整起征点后应纳个税为2500 3%75元，由此可知，调整起征点后应纳个税少交 220 元，即个人的实际收入增加了 220 元，所以小红的实际收入增加了 220 元.【点睛】本题主要考查了分段函数模型及古典概型概率计算，以及分段函数模型应用，考查转化能力及计算能力，属于基础题。19.如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，12ABBCCDAD，G是PB的中点，PAD是等边三角形，平面PAD 平面ABCD.（1）求证：CD 平面GAC；（2）求三棱锥DGAC与三棱锥PABC的体积之比.【答案】（1）见详解；（2）1:1.【解析】【分析】(1)要证线面垂直，需在平面GAC内找两条相交直线，证明它们与CD垂直.(2)分别考虑两个三棱锥的底面积和高的比，再求体积比.【详解】（1）证明：取AD的中点为O，连接OP，OC，OB，设OB交AC于H，连接GH.-16-ADBC，12ABBCCDAD，四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形.OBAC，OBCD.CDAC.PADQV为等边三角形，O为AD中点，POAD.平面PAD 平面ABCD且平面PAD平面ABCDAD，PO 平面PAD且POAD，PO平面ABCD.CD 平面ABCD，POCD.H，G分别为OB，PB的中点，GHPO.GHCD.又GHACH，CD平面GAC.（2）2D GACG ADCG ADCP ABCP ABCG ABCVVVVVV1:122ADCABCSADSBC.【点睛】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算.要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明.求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面.20.已知函数 211exaxxfx（e为自然对数的底数）.（1）讨论函数 fx的单调性；（2）求证：当3 ea 时，对0,x，1f x .【答案】（1）见详解；（2）见详解.【解析】【分析】(1)求出函数 fx的导数，根据其正负讨论单调性，需按a与1的大小分类讨论.(2)要证 1f x ，即证 min1f x，结合(1)中的单调性对()f x的最小值进行分析即可.【详解】（1）21exxaxafx1exxxa，由 0fx得1x 或xa.-17-当1a 时，0fx，函数 fx在,内单调递增.当1a 时，函数 fx在,a，1,内单调递增，在,1a内单调递减.当1a 时，函数 fx在,1，,a 内单调递增，在1,a内单调递减.（2）证明：要证0,x，1f x ，即证0,x，min1f x.由（1）可知，当1a，0,x时，minmin0,f xff a.(0)1f，1eaaf a.设 1eaag a，1a，则 0eaaga，g a在1,单调递增，故 211eg ag ，即 1f a .min=1f x.当1a 时，函数 fx在0,单调递增，min01f xf.当3 e1a 时，由（1）可知，0 x，时，minmin0,1f xff.又 01f，3e3311eeaf，min1f x.综上，当3 ea 时，对0,x，1f x .【点睛】本题考查函数与导数的综合问题，考查分类讨论的数学思想方法.根据含参函数的导数符号求单调性时，往往需要按根的存在性、根的大小进行分类讨论.不等式的恒成立问题，往往通过转化为最值问题来求解.21.已知椭圆C：222210 xyabab过点0,1A，且椭圆的离心率为63()求椭圆C的方程；()斜率为1的直线l交椭圆C于11,M x y，22,N xy两点，且12xx若直线3x 上存在点P，使得PMN是以PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程【答案】()2213xy()y=x-1-18-【解析】【分析】（）由椭圆C：2222xyab1（ab0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为63，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）设直线l的方程为yx+m，P（3，yP），由2213xyyxm，得 4x2+6mx+3m230，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程【详解】（）由题意得2221,6,3.bcaabc解得23a 所以椭圆C的方程为2213xy（）设直线 l 的方程为 y=x+m，3,PPy由2213xyyxm，得2246330 xmxm.令223648480mm，得22m 1232xxm，212314x xm因为PMN是以PMN为顶角的等腰直角三角形，所以NP平行于x轴过M做NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点设点Q的坐标为,QQxy，则2132QMxxxx-19-由方程组12212213231432xxmx xmxx，解得2210mm，即1m 而12 2m ，所以直线l的方程为 y=x-1【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题22.在平面直角坐标系xOy中，圆C：22(4)4xy.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（）求圆心C的极坐标；（）从原点O作圆C的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.【答案】（）4,2（）4sin233【解析】【分析】（）先根据圆的标准方程求出其圆心的直角坐标，再将直角坐标化为极坐标。（）根据题意设出直线，联立直线与圆，即可求出弦的中点轨迹的参数方程，再将参数方程化为极坐标方程即可。【详解】（）因为22(4)4xy，所以圆心(0,4)C所以圆心C的极坐标为4,2（）根据题意知直线斜率不为 0，故设直线为xmy联立直线与圆有2222(4)4(1)8120 xymyyxmy233=6448(1)033mm-20-所以12281yym，121228()1mxxm yym所以弦的中点坐标为1221224=332143321xxmxmmyyym，得到xmy，再代入得：241yxy化简有24xyy将222cos,sinxxyy代入有2cossin4sin，化简得4sin又因为3333m即3cos33sin3所以233所以弦的中点轨迹的极坐标方程为4sin233【点睛】本题考查直角坐标化极坐标，直线与圆的位置关系，弦中点的轨迹方程。直角坐标与极坐标的互化需熟练掌握公式：222cos,sinxxyy；一般求直线与圆锥曲线相交弦中点的轨迹方程，都需设出直线，联立直线与圆锥曲线，利用韦达定理表示出弦中点的坐标，再消参。属于中档题。