初中数学竞赛专题选讲《条件等式的证明》.doc
初中数学竞赛专题选讲条件等式的证明初中数学竞赛专题选讲条件等式的证明一、内容提要一、内容提要1.恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.例如：a+b=b+a，(a+b)2=a2+2ab+b2，xx4=xx42(x0)，(a)2=a(在实数范围内 a0)，nna=a(在实数范围内 n 为正奇数).都是恒等式.只含常数的等式是恒等式的特例.如：32=1，32321.2.条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式.方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).3.证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式.4.证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法(见第 20 讲)以外，要特别注意如何把已知的条件用上.一般有以下几种：1用已知的条件直接代入(即等量代换).2变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形).3引入参数后代入(包括换元).5.分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变.二、例题二、例题例 1.已知：azyx,bxzy,cyxz且 x+y+z0.求证：1111ccbbaa.分析：设法化为同分母，轮换式可先代入一式，其余的可用同型式用已知直接代入.证明：zyxxzyxzyxaa11.根据 轮换式的性质，得ccbbaa111=1zyxzzyxyzyxx.例 2.已知：cbacba1111.求证：12121212)(1111nnnncbacba(n 是整数).分析：先把已知变形，找出 a,b,c 之间的关系.证明：由已知，去分母，得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0.(a+b)(b+c)(c+a)=0.a=b，或 b=c，或 c=a.n 是整数，2n+1 是奇数.当 a=b 时，左边=12121212111)(1nnnnccbb；右边=12)(1ncbb=121nc.即 a=b 时，等式成立.同理可证：当 b=c 和 c=a 时，等式也成立.12121212)(1111nnnncbacba(n 为整数).例 3.已知：ax3=by3=cz3,1111zyx.求证：3222czbyax333cba.证明：设 ax3=by3=cz3=k.(引入参数)那么 ax2=xk,by2=yk,cz2=zk.代入左边，得：左边=333)111(kzyxkzkykxk；而且 a=3xk,b=3yk,c=3zk.代入右边，得：右边=333333zkykxk(zyx111)3k=3k.3222czbyax333cba.例 4.已知：abc 0，方程(acbc)x2+(bcab)x+(abac)=0 有两个相等实根.求证：bcab1111分析：要等式bcab1111成立，必须且只须 acbc=abac.证明：方程有两个相等的实数根，=0.即(bcab)24(acbc)(abac)=0.(bcab+acac)2+4(bcac)(abac)=0，(添项 acac)(bcac)(abac)2+4(bcac)(abac)=0.(bcac)+(abac)2=0.bcac+abac=0.acbc=abac.abc0，两边都除以 abc,得，bcab1111.例 5.已知：a+accbb111，abc.求证：a2b2c2=1.证明：由已知 ab=bc11=bccb,a b，即 ab0，bc=bacb.根据轮换式性质，得同型式：ca=cbac,ab=acba.abbcca=acbabacbcbac.a2b2c2=1.三、练习三、练习1.已知：abc=1.求证：1111ccacbbcbaaba2.已知：x=baba,y=cbcb,z=acac.求证：(1+x)(1+y)(1+z)=(1x)(1y)(1z).3.已知：(aybx)2+(bzcy)2+(cxaz)2=0.求证：czbyax.4.已知：cbba.求证：(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).5.已知：zxycyzxbxyza222.求证：a+b+c=0.6.已知：bbacaacbccba，a+b+c 0.求证：8)()(abcaccbba.7.已知：1949x2=1988y2且111yx，x0,y0.求证：1988194919881949yx.8.已知：x=abba2，且 a0,b0,0b1).求证：bxaxaxaxa1.10.求证：321420+321420=411.已知：azyx，bxzy，cyxz.求证：1111ccbbaa.12.已知：a+b+c=0,a2+b2+c2=0,a3+b3+c3=0.求证：a4+b4+c4=0.练习题参考答案练习题参考答案1.化为同分母 ab+a+1,并设为 k,则 bc+b+1=ak,ca+c+1=ck.6.由已知得，kbacacbcba，则 k=28.由已知得，1+x2=abba4)(2,注意 a+b09.把左边分母有理化10.左边被开方数配方(a+2)2b可得 a=2,b=14.用反比，合比.12.0.
