高考数学应用性问题教案.doc

数学应用性问题一考题分类与回顾 95、97、2000、2001（文科）函数综合题；96、99、2002、2005年函数与函数模型数列综合；98年与立体几何综合；数列模型99、2001（理科）年数列综合；96、99、2002、2005（理科）年数列与函数综合三角模型2003年与解析几何综合。几何模型98与函数综合；2003年与三角综合；概率统计模型 2004、2005与函数综合。（注：2003年前为全国高考试题，2004、2005为湖南高考试题）二数学建模的说明随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，用这个模型对控制装置作出相应的设置和计算，才能实现有效的过程控制气象工作者为了得到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象台、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立的数学模型生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，就可以分析药物的疗效，有效地指导临床有药城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市的发展规划的决策提供科学根据厂长经理们要是能够根据产品的需要状况、生产条件和成本、贮存费用等信息，筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，一定可以获得更大的经济效益就是在日常活动如访友、采购当中，人们也会谈论找一个数学模型，优化以下出行的路线对于广大的科学技术和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构建立数学模型简称为数学建模数学建模有着非常具体的应用：分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理三数学建模与应用1分析与设计：如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；新型工艺的设计的合理性；建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型98年高考(本小题满分12分)ABabOO2如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2m的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a m，高度为b m。已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60 m2。问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。99年高考如下图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。 输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。轧辊序号1234疵点间距Lk(单位：mm)16002003上海20（本题满分14分） 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. 若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？ 若最大拱高h不小于6米，则应如何设 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1）例题：2002年二月，在一些国家和地区流行的非典型肺炎，曾一度引起社会各界的高度关注，各大医药研究所纷纷加速研制新型药剂，某医药研究所研制的新药A，经过临床实验，对非典有很好的疗效，据微机观察，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t之间符合下面模拟曲线 写出图中表示的含药量 y(微克)与时间t之间的函数关系式y=f(t)；ot (小时) y (微克)6110 据临床测定，如果成人每毫升血液中的含药量不少于4微克，则该药物能抑制其病源生长，但用药量过大会对身体有副作用，假若某病人按规定的剂量服用，第一次服药的时间是7：00，晚上11：00左右就不再服药，问一天中应怎样安排服药时间与次数，才能使治疗效果最佳？解答： 由，第一次服药4小时（即11：00）第二次服药当，当时第一次服药9小时（即16：00）第三次服药；当，当时第一次服药13.5小时（即20：30）第四次服药2预报与决策：生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最小的设备维修方案等等，都要有决策模型的例子2000年高考某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P = f (t)； 写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q = g (t)； 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）海东北岸线xPP1O450y2003年高考（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台 风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10 km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？2004北京春季文科18（本小题满分14分）2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆. 选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点.近地点A距地面200，远地点B距 地面350. 已知地球半径R=6371. 求飞船飞行的椭圆轨道的方程； 飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约 问飞船巡天飞行的平均速度是多少？（结果精确到1）（注：即千米/秒）2005辽宁某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果是相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。 已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲乙产品为一等品的概率；表一概率 工序产品 第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8 已知一件产品的利润如表二所使用分别表示一件甲、乙产品的利润，在的条件下求的分布列及；表二利润 等级产品 一等二等甲5（万元）2.5（万元）乙2.5（万元）1.5（万元） 已知生产一件产品需要的工人数和资金额如表三所示，该工厂有工人40人，可用资金60万元，设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在的条件下，x、y分别为何值时，z=最大？最大值是多少？用量 项目产品 工人（名）资金（万元）甲85乙210解答： ， 52.5P0.680.322.51.5P0.60.4目标函数 z = 3控制与优化：电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提96年高考某地现有耕地10000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)? (粮食单产 = ， 人均粮食占有量 = ）97年高考 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/时. 已知汽车每小时的运输成本( 以元为单位 )由可变部分和固定部分组成： 可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。 把全程运输成本y(元）表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?2004年湖南高考某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元. 该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元. 当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ 设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数 的表达式； 当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价成本）例题：通过研学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师的引入概念和描述问题所用的时间，学生的兴趣激情；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力（f(x)越大，表示接受能力越强）x表示提出和讲授概念的时间（单位：分）可有以下公式： 开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ 开讲5分钟与20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？ 一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解答：当时f(x)递增，递减，开讲后10分钟学生的接受能力最强； f(5)=53.5， f(20)=47；开讲5分钟比20分钟学生的接受能力强一些； f(x)55解得4规划与管理：生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都可以用数学规划模型解决95年高考某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8 £ x £ 14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系： P =1000( x +t 8) ( x ³ 8，t ³0)，当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格， 将市场平衡价格表示为政府补贴的函数, 并求出函数的定义域； 为使市场平衡价格不高于每千克10元, 政府补贴至少为每千克多少元2001理科从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。 设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元写出an，bn的表达式； 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入2002高考 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?2004重庆18（本小题满分12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求： 的概率的分布列及期望E； 停车时最多已通过3个路口的概率。2004江苏19制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和50，可能的最大亏损率分别为30和10。 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解答：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.由题意知目标函数z=x+0.5y.与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大，这里M点是直线和的交点.解方程组 得x=4，y=6此时（万元）. 当x=4，y=6时z取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.95年开始涉及应用题以来，几乎成为每年高考的一个亮点，内容与形式不断改变与更新，涉及经济增长，环境保护，工艺制作，市场规划调控，数学应用已成为高考试题中的热点内容，近几年高考卷面中基本形成选择题、填空题和解答题都采用的局面，基本稳定在两小一大或三小一大，特别强调说明的是在2005年湖南理科卷中出现了前所未有的两小两大共37分的局面，且近五年概率、统计方面的应用题是高考的重点与热点解应用题，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，经过去粗取精、抽象概括、利用数学知识建立数学模型再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后把数学结论返回到实际问题中去一般思路是如下：实际问题 建模 数学问题 数学方法解答 数学结论 回归实际问题雅礼中学高三数学组 2004年12月11