广东省广州市天河区2023届高三一模数学试题含答案.pdf

第 1页，共 8页广东省广州市天河区广东省广州市天河区 2023 届高三一模数学试题届高三一模数学试题一、单选题一、单选题1设集合1,2,3,4,5A，集合24Bx x，则AB（）A1,2B0,1,2C|02xxD|22xx 2已知复数2i1 iz，则z的虚部为（）A32B3i2C32D3i23已知向量(,2)am，(3,6)b，若ab=，则实数 m 的值是（）A4B1C1D44已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占 60%，乙厂产品占 40%，甲厂产品的合格率是 95%，乙厂产品的合格率是 90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（）A0.92B0.93C0.94D0.955已知函数()sin23cos2f xxx的图象向左平移个单位长度后，得到函数()g x的图象，且()g x的图象关于y 轴对称，则|的最小值为（）A12B6C3D5126若数列 na满足111(1)1nnann，则 na的前 2022 项和为（）A12022B12023C20212022D202220237已知一个圆台的母线长 5，且它的内切球的表面积为16，则该圆台的体积为（）A25B843C28D368设1311a，1212b，1113c，则（）AabcBcbaCcabDacb二、多选题二、多选题9下列命题中，正确的命题有（）A已知随机变量 X 服从正态分布2(2,)N且(4)0.9P X，则(02)0.3PXB设随机变量1(20,)2XB，则()5D X C在抛骰子试验中，事件1,2,3,5,6A，事件2,4,5,6B，则3(|)5P A B 第 2页，共 8页D在线性回归模型中，2R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，2R越接近于 1，表示回归的效果越好10已知函数2()e1xf xxx，则下列选项正确的有（）A函数()f x极小值为 1B函数()f x在1,上单调递增C当2,2x 时，函数()f x的最大值为23eD当3ek 时，方程()f xk恰有 3 个不等实根11已知点(0,2)A，(1,1)B，且点P在圆C：22(2)4xy上，C为圆心，则下列结论正确的是（）A|PAPB的最大值为2B以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：0 xyC当PAB最大时，PAB的面积为2DPAB的面积的最大值为212如图，长方体1111ABCDABC D中，2AB，1AD，13AA，点 M 是侧面11ADD A上的一个动点（含边界），P 是棱1CC的中点，则下列结论正确的是（）A当 PM 长度最小时，三棱锥MBDP的体积为12B当 PM 长度最大时，三棱锥MBDP的体积为12C若保持5PM，则点 M 在侧面内运动路径的长度为D若 M 在平面11ADD A内运动，且111MD BB D B，则点 M 的轨迹为圆弧三、填空题三、填空题136(1)(12)xx展开式中2x的系数为_.14若点 P 是曲线2yx=上一动点，则点 P 到直线23yx的最小距离为_.15写出一个周期为2，且在区间(,)6 3 上单调递减的函数解析式_.16设双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，过点1F的直线l分别与双曲线的左、右支交于点A、B，若以AB为直径的圆过点2F，且22AFBF，则该双曲线的离心率为_第 3页，共 8页四、解答题四、解答题17已知公差不为 0 的等差数列 na中，11a，4a是2a和8a的等比中项.(1)求数列 na的通项公式：(2)保持数列na中各项先后顺序不变，在ka与1(1,2,)kak之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列 nb，记 nb的前 n 项和为nT，求20T的值.18在ABC中，内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且满足cossin2BCbaB.(1)求 A；(2)若19a，3BA AC ，AD 是ABC的中线，求 AD 的长.19某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI 作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI 作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了 200 名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用 AI 作业不使用 AI 作业使用 AI 作业不使用 AI 作业基本掌握32285030没有掌握8141226假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取 2 名学生，用表示抽取的 2 名学生中使用“AI 作业”的人数，求的分布列和数学期望；(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI 作业”的学生和一名不使用“AI 作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI 作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI 作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI 作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI 作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差 DX 和 DY 的大小关系.第 4页，共 8页20 如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，60ABC，EA 平面ABCD，/EA BF，22ABAEBF(1)证明：平面EAC 平面EFC；(2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45，求点M到平面BCF的距离.21已知椭圆:C14822yx，直线 l：(0)ykxn k与椭圆C交于,M N两点，且点M位于第一象限.(1)若点A是椭圆C的右顶点，当0n 时，证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；(2)当直线l过椭圆C的右焦点F时，x轴上是否存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.22已知函数()lnf xxax，(R)a.(1)若函数()yf x只有一个零点，求实数 a 的取值所构成的集合；(2)若函数()(1)exf xaxx恒成立，求实数 a 的取值范围.第 5页，共 8页参考答案参考答案1A2C3B4B5A6D7B8B9BD10AC11ABD12ABC13100142 5515()sin(4)6f xx16317解：（1）设数列 na的公差为d，因为4a是2a和8a的等比中项，则2242811137aaaadadad且11a，则1d 或0d（舍）则11111naandnn ，即通项公式nan（2）因为ka与1ka（1k，2，）之间插入2k个 1，所以ka在 nb中对应的项数为1231222222221 2kkknkkk，当4k 时，4222421820kk当5k 时，5222523520kk 所以418ab，535ab，且19201bb，所以1232041 442222142262TS18解：（1）coscos()sin2222BCAA，所以sinsin2AbaB，由正弦定理得：sinsinsinsin2ABAB，sin0B，sinsin2AA，sin2sincos222AAA，0,0,sin0222AAA，得1cos22A，即23A，23A.（2）3BA AC ,cos()3bcA,得6bc，由余弦定理得：2222cos25bcabcA，1()2ADABAC，22221131()(2cos)444ADABACcbbcA，所以312AD，即 AD 的长为312.19 解：（1）依题意，0，1，2，且022040260C C260C59P，112040260C C801C177P，202040260C C192C177P，所以的分布列为：012P26598017719177故 80192121771773E 第 6页，共 8页（2）由题意，易知X服从二项分布41,5XB，4125D Xpp，Y服从二项分布21,3YB，219D Ypp，故DXDY.20（1）证明：取EC的中点G，连接BD交AC于N，连接GN，GF，因为ABCD是菱形，所以ACBD，且N是AC的中点，所以/GN AE且12GNAE，又/AE BF，22AEBF，所以/GN BF且GNBF，所以四边形BNGF是平行四边形，所以/GF BN，又EA 平面ABCD，BN 平面ABCD，所以EABN，又因为ACEAA，,AC EA平面EAC，所以NB 平面EAC，所以GF 平面EAC，又GF 平面EFC，所以平面EFC 平面EAC；（2）解：取CD的中点H，由四边形ABCD是菱形，60ABC，则60ADC，ADC是正三角形，AHCD，AHAB，又AE平面ABCD，所以以A为原点，AH，AB，AE为坐标轴建立空间直角坐标系，设在棱EC上存在点M使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45，则3,1,0D，0,2,0B，3,1,0C，0,0,2E，0,2,1F，0,0,0A，则设 3,1,23,2EMEC ，3,22M，所以33,1,22DM，3,2,22BM ，3,1,0BC ，0,0,1BF ，设平面DBM的一个法向量为(nx，y，)z，则00n DMn BM ，即(33)(1)(22)03(2)(22)0 xyzxyz，令3x，1y，得213,1,1n平面ABCD的法向量可以为0,0,1m，221|21|cos,|22141m nn mmn ，解得34，所以3 3 3 1,44 2M，则31 1,44 2CM 设平面BCF的一个法向量为,ua b c，则00u BCu BF ，即300abc，取1a，得1,3,0u，所以点M到平面BCF的距离34u CMdu .第 7页，共 8页21（1）证明：因为0n，所以直线 l：ykx，联立直线方程和椭圆方程：22280ykxxy，得22(12)80kx，设1122(,),(,)M x yN xy，则有1212280,12xxx xk，所以221212281 2ky yk x xk，又因为(2 2,0)A，所以112 2AMykx，222 2ANykx，所以12122 22 2AMANyykkxx=121212121282 2()8y yy yx xx xxx=2222222228881121281616281212kkkkkkkkk 所以直线AM和AN的斜率之积为定值12；（2）解：假设存在满足题意的点P，设(,0)P m，因为椭圆C的右焦点(2,0)F，所以20kn,即有2nk，所以直线l的方程为(2)yk x.由22(2)280yk xxy，可得2222(12)88(1)0kxk xk，设3344(,),(,)M x yN xy，则有2234342288(1),1 21 2kkxxx xkk；因为点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等，所以PF平分MPN,所以0PMPNkk.即33443434(2)(2)yk xyk xxmxmxmxm=343434(2)()()(2)()()k xxmk xm xxm xm=3434342(2)()4 0()()kx xmxxmxm xm，又因为0k，所以34342(2)()40 x xmxxm，代入2234342288(1),1 21 2kkxxx xkk，即有2416012mk，解得4m.故x轴上存在定点(4,0)P，使得点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等.22解：（1）当0a 时，显然满足题意当0a 时，若函数()yf x只有一个零点，即ln0 xax只有一个根，因为 1 不是方程的根，所以可转化为lnxax只有一个根，即直线ya与函数()lnxg xx（0 x 且1x）的图像只有一个交点.2ln1()lnxg xx，令()0g x，得ex，在0,1和1,e上，第 8页，共 8页()0g x，在e,上，()0g x，所以()g x在0,1和1,e上单调递减，在e,上单调递增.在ex时有极小值(e)eg，()g x图像如图所示：由图可知：若要使直线ya与函数()lnxg xx的图像只有一个交点，则0a 或ea，综上,0ea.（2）()(1)exf xaxx恒成立，等价于(ln)0 xxea xx，令()e(ln)xh xxa xx（0 x），1()(1)e(1)(1)(e)xxah xxaxxx，若0a 时，()(1)0 xh xxe，所以()h x在0,上单调递增，(0)0h，即()0h x，满足(ln)0 xxea xx，若0a 时，则0a，()0h x，所以()h x在0,上单调递增，当0 x时，()h x ，不成立，故0a 不满足题意.若0a 时，令()0h x，exax，00(0,)()0 xh x，00exax，0(0,),()0 xxh x，()h x单调递减，0(,),()0 xxh x，()h x单调递增，只需0min0000()()e(ln)xh xh xxa xx0000e(1ln)0 xxxx即可，001ln0 xx，00ln1xx，令()ln(0)m xxx x1()10m xx，()m x在0,上单调递增，(1)1m，0(0,1x时，00ln1xx，exyx，(1)e0 xyx，所以exyx在0,1上单调递增，e(0,exx，即00e0,exax，综上：0,ea