2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册不等式及基本不等式重点题型突破含答案.pdf

2022-2023 学年学年高一不等式及基本不等式重点题型突破高一不等式及基本不等式重点题型突破考点一、不等式性质及比较大小考点一、不等式性质及比较大小1下列结论正确的是（）A若acbc，则abB若22ab，则abC若ab，0c，则acbcD若ab，则ab2若0ab，则下列不等式一定成立的是（）A11bbaaB11ababCbaababD22abaabb3设227Ma a，23Naa，则M与N的大小关系是（）AMNBMN=CMND无法确定4下列命题中，是真命题的是（）A如果acbc，那么abB如果22acbc，那么abC如果abcc，那么abD如果,ab cd，那么acbd5已知0,0ab，那么下列不等式中一定成立的是（）A0baBabC2aabD11ab6已知 c1，且 x1cc，yc1c，则 x，y 之间的大小关系是（）AxyBxyCxyDx，y 的关系随 c 而定考点二、利用不等式性质求范围考点二、利用不等式性质求范围7已知13a，25b，则231ab的取值范围为_，2ab的取值范围为_8已知实数x，y满足41xy ，145xy，则9zxy的取值范围是（）A726zzB120zz C415zzD115zz9已知23x，23y，则下列说法正确的是（）A2xy的取值范围为(6,9)B2xy的取值范围为(2,3)Cxy的取值范围为2 3(,)3 2Dxy的取值范围为(4,9)10已知0,1,2,4abab.则42ab的取值范围是（）A1,5B1,6C2,7D2 8,考点三、基本不等式的概念及利用基本不等式比较大小考点三、基本不等式的概念及利用基本不等式比较大小11已知ab，为实数，且0a b，则下列命题错误的是（）A若00ab，则2ababB若2abab，则00ab，C若ab，则2ababD若2abab，则ab12下列不等式恒成立的是（）A12xxB2ababC22222ababD222abab13下列命题中正确的是（）A当1x时，1xx的最小值为2B当0 x时，12xx C当01x时，1xx的最小值为2D当2x时，22 2xx14下列不等式正确的是（）A2232 3xxB224ababC2ababD44aa考点四、直接利用基本不等式求最值考点四、直接利用基本不等式求最值15下列选项正确的是（）A对1,1xxx R的最小值为 1B若0ab，则abba的最大值为2C若0,0ab，则114ababD若正实数,x y满足21xy，则21xy的最小值为 816已知实数0,0 xy满足xyxy，则4xy的最小值为（）A8B9C7D1017已知 x，y 都是正数，若2xy，则14xy的最小值为（）A74B92C134D118已知1a，则21aa的最小值为（）A221aaB2 21C2 2D2 2119已知正实数 a，b 满足26ab，则212ab的最小值为（）A45B43C98D9420若x，y 均为正实数，且21123xyxy，则xy的最小值为_.21已知正数 a，b 满足5ab，则2112ab的最小值为_.考点五、利用基本不等式求最值（有条件型）考点五、利用基本不等式求最值（有条件型）22已知0,0 xy，且24xy，则（）Ax y的最大值为 2B2114xy的最小值为916C4xy的最大值为 8D42xy的最小值为 823若0,0 xy，且26xyxy，则xy的最小值为_24已知2,1ab，且满足21abab，则2ab的最小值为_.25已知正数a，b满足21ab，则（）Aab的最大值为18B224ab的最小值为12C12ab的最小值为 8D1aa的最小值为 226已知正实数ab满足2ab，则21aba的最小值是（）A52B3C2D9227函数233(1)1xxyxx 的最大值为（）A3B2C1D-128设正实数x、y、z满足22430 xxyyz，则xyz的最大值为（）A0B2C1D32921147xxxx的最大值为_.30当0 x 时，函数231xxyx的最小值为（）A2 3B2 31C2 31D4考点六、利用基本不等式解决恒成立问题考点六、利用基本不等式解决恒成立问题31若不等式110abbcca对任意abc恒成立，则实数的取值范围是（）A4，B4，C4，D4，32 若两个正实数x，y满足411xy，且不等式246xymm恒成立，则实数m的取值范围是_33已知0,0ab，若不等式313mabab恒成立，则m的最大值为_34若对任意220,1xxaxx恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A 1,)B3,)C2,3D(,1考点七、不等式和基本不等式的综合应用考点七、不等式和基本不等式的综合应用35下列结论正确的是（）A若ab，则acbcB若ab，则11abC若ab，则acbcD若ab，则22ab36已知正实数x、y满足22xy，则12xy的取值可能为（）A72B113C165D21437下列结论中正确的是（）A若acbc，则abB222ababC函数1(1)1yxxx最小值为3D若6ab，则28ab的最小值为338已知实数0a，0b，1111ab，则4ab的值可能是（）A7B8C9D1039已知ab，且8ab，则222abab的最小值是（）A6B8C14D1640若对任意正数x，不等式22214axx恒成立，则实数a的取值范围为（）A0,B1,4C1,4D1,241下列说法正确的是（）A若2x，则函数11yxx的最小值为 3B若0 x，0y，315xy，则54xy的最小值为 5C若0 x，0y，3xyxy，则 xy 的最小值为 1D若1x，0y，2xy，则121xy的最小值为32 242已知实数 x，y 满足16x，23y，则（）A39xyB13xy C218xyD122xy43若0a，0b 且223abab，则2ab的最小值为_44若正数a，b，满足21ab(1)求ab的最大值；(2)求411ab的最小值参考答案：参考答案：1C【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.【详解】A 选项，acbc，如 2111 ，而21 ，所以 A 选项错误.B 选项，22ab，如2210，而10，所以 B 选项错误.C 选项，,0,0ab abc，则0acbcab c，所以acbc，所以 C 选项正确.D 选项，ab，如12，而12，所以 D 选项错误.故选：C2C【分析】对 A，B，C，D 选项作差与 0 比较即可得出答案.【详解】对于 A，因为0ab，故101(1)bbbaaaa a，即11bbaa，故 A 错误；对于 B，111()1abababab，无法判断，故 B 错误；对于 C，因为0ab，()10baababababab，故 C 正确；对于 D，因为0ab，故2()()02(2)ababa baabbab b，即22abaabb，故 D 错误故选：C3A【分析】利用作差法解出MN的结果，然后与 0 进行比较，即可得到答案【详解】解：因为227Ma a，23Naa，所以 222213247561024MNaaaaaaa，MN，故选：A4B【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案【详解】解：对于 A，如果acbc，0c，那么ab，故 A 错误；对于 B，易得0c，所以20c，所以22acbc化简得ab，故 B 正确；对于 C，如果abcc，0c，那么ab，故 C 错误；对于 D，因为1,0,1,0abcd满足,ab cd，那么0acbd，故 D 错误；故选：B5ACD【分析】由不等式的性质可判断 ACD，由特值法可判断 B【详解】若0a，0b，则0a，则0ba，故 A 成立；ab不一定成立，如5,6ab，故 B 不成立；0a，0b，20aab，故 C 成立，因为0,0ab所以10a，10b，则11ab，成立，故 D 正确，故选：ACD6C【分析】应用作商法比较,1xy的大小关系即可.【详解】由题设，易知 x，y0，又11111xccccycccc ，xy.故选：C.712,113,254【分析】分别根据226a，1536b 可得231ab的取值范围，再根据13a与2425b可得2ab的范围即可.【详解】13a，226a25b，1536b ，122311ab 13a，13a25b，2425b，2111254b，213254ab故答案为：12,1；13,2548B【分析】令mxy，4nxy，可得85933zxynm，再根据,m n的范围求解即可.【详解】令mxy，4nxy，则343nmxnmy，所以85933zxynm 因为41m ，所以5520333m 因为15n，所以8840333n，所以120z.故选：B9ACD【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果.【详解】对于A，因为23x，所以426x，所以2xy的取值范围为(6,9)，故A正确；对于B，因为23x，23y，所以426x，32y ，所以2xy的取值范围为(1,4)，故B不正确；对于C，因为23y，所以11132y，又23x，所以xy的取值范围为2 3(,)3 2，故C正确；对于D，因为23x，23y，所以xy的取值范围为(4,9)，故D正确；故选：ACD.10C【分析】用,ab ab表示42ab，由此求得42ab的取值范围.【详解】因为0,1,2,4abab，且423ababab，而2,4,30,3abab，所以322044ab，即422,7ab.故选：C11C【分析】对于 A，利用基本不等式判断，对于 B，由已知结合完全平方式判断，对于 C，举例判断，对于 D，利用基本不等式判断【详解】对于 A，由基本不等式可知当00ab，时，2abab，当且仅当ab时取等号，所以 A 正确，对于 B，因为2abab，0a b，所以00abab，且20ab，所以00ab，当且仅当ab时取等号，所以 B 正确，对于 C，若1,4ab ，则54222abab，所以 C 错误，对于 D，因为2abab，0a b，所以00abab，且20abab，所以0,0ab，20ab，所以0,0ab且ab，所以 D 正确，故选：C12D【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于 A 选项，当0 x时，不等式显然不成立，故错误；对于 B 选项，2abab成立的条件为0,0ab，故错误；对于 C 选项，当0ab 时，不等式显然不成立，故错误；对于 D 选项，由于22220ababab，故222abab，正确.故选：D13BD【分析】由基本不等式逐项判断即可得解.【详解】对于 A，当1x时，1122xxxx，当且仅当1x 时，等号成立，所以当1x时，12xx，故 A 错误；对于 B，当0 x时，11122xxxxxx ，当且仅当1x时，等号成立，故 B 正确；对于 C，当01x时，1122xxxx，当且仅当1x 时，等号成立，所以当01x时，12xx，故 C 错误；对于 D，当2x时，2222 2xxxx，当且仅当2x 时，等号成立，故 D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14A【解析】根据基本不等式的条件，公式依次判断选项，得到正确答案.【详解】A.2230,0 xx，22223322 3xxxx，等号成立的条件是当且仅当223xx时，即23x.B.当1,1ab时，224abab，故不成立；C.当0,0ab时，2abab，故不成立；D.当0a 时，44aa不成立，只有当0a 时，44aa成立，故不成立.故选：A【点睛】本题考查基本不等式的判断，属于基础概念题型.15BD【分析】根据特殊值 A，由均值不等式判断 BC，根据“1”的技巧及均值不等式判断 D.【详解】对 A，取2x ，1311xx ，故 A 错误；对 B，0ab，则()2()()2abababbababa ，当且仅当ab 时等号成立，故 B 正确；对 C，因为0,0ab，所以112abab，而24abab，故 C 错误；对于 D，212144()(2)4428yxy xxyxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，即11,24xy时等号成立，故 D正确.故选：BD16B【分析】利用基本不等式“1”的代换求4xy的最值，注意等号成立条件.【详解】由题设，111xy，所以11444(4)()5529yxy xxyxyxyxyxy，当且仅当33,2xy时等号成立，所以4xy的最小值为9.故选：B17B【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为2xy，所以1414141 422xyyxxyxyxy因为 x，y 都是正数，由基本不等式有：4424yxyxxyxy，所以141491422yxxyxy，当且仅当2,2,yxxy即2,343xy时取“”故 A，C，D 错误.故选：B18D【分析】配凑后直接利用基本不等式化简求解即可【详解】解：1a，则222112(1)12 21111aaaaaa ，当且仅当211aa 即2 1a 时取等号故选：D19C【分析】利用乘 1 法即得.【详解】26ab，214114122222822abababab4212194 152 482288baba，当且仅当42222baba,即23b，83a 时，取等号.故选：C.2095#1.8【分析】令xyt，则ytx，由21123xyxy得4112232xttx,根据41(22)(32)52232xttxtxttx，得4(32)22552232txxttxttx，再根据基本不等式可求出结果.【详解】令xyt，则ytx，由21123xyxy得211233xtxxtx，即21132xttx，所以412232xttx1，因为0,0 xy，所以220 xt，320tx，所以41(22)(32)52232xttxtxttx，所以4(32)224 152232txxttxttx，所以4(32)224(32)22552422322232txxttxxttxttxxttx，所以59t，即95t，当且仅当65x，35y 时，等号成立.故答案为：95.2134#0.75【分析】结合5ab，将2112ab转化为1211612abab，再结合基本不等式求解即可.【详解】因为5ab，所以21121112111213122212612621262124abababababbaba，当且仅当12ab，即3,2ab时，等号成立.故答案为：34.22ABD【分析】A 选项，由基本不等式直接求出x y的最大值；B 选项，用基本不等式“1”的妙用求解最值；C 选项，用含 y 的式子表达 x，配方后结合 y 的取值范围求最值；D 选项，使用【详解】由242xyxy，所以2xy，当且仅当22xy时等号成立，所以 A 正确；因为2222222111111 51 59244 44 444 4416yxyxxyxyxyxyx y，当且仅当224yxxy，即42 6,33xy时等号成立，所以 B 正确；因为2244482xyyyy，且02y，所以4xy无最大值，所以 C 不正确；24xy，两边平方得：222242422xyxxyyxy，所以248xy，当且仅当22xy时，等号成立，所以 D 正确，故选：ABD233【分析】由已知得412xy，代入xy，然后由基本不等式得最小值【详解】因为26xyxy，所以412xy，4441(2)12(2)13222xyyyyyyy ，当且仅当3,0 xy时，等号成立故答案为：3242 65#52 6【分析】由题意，21abab 13122abaa，故2ab33212(2)522aaaa，结合均值不等式，即得解【详解】2,1ab，且满足21abab，13122abaa，2ab=333212252 22 52 65222aaaaaa，当且仅当32(2)2aa时，2ab的最小值为2 65.故答案为：2 6525ABC【分析】A、B、D 应用基本不等式求最值即可，C 应用基本不等式“1”的代换求最值，注意等号成立条件.【详解】A：由212 2abab，则18ab，当且仅当122ab时等号成立，正确；B：由222(2)1224abab，当且仅当122ab时等号成立，正确；C：由11()(2)42244428ababababbbabaa，当且仅当122ab时等号成立，正确；D：由1122aaaa，当且仅当1a 时等号成立，而21ab且a，0b，所以等号取不到，即12aa，无最小值，错误.故选：ABC26A【分析】由题可得21412ababa，然后利用“乘 1 法”即得.【详解】正实数ab满足2ab，2 2211412babababa，又411411414941522222aba babbabababa，当且仅当4abba，即24,33ab等号成立，2195222aba.故选：A.27D【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；【详解】2233(1)(1)111xxxxyxx1(1)1(1)xx 12 (1)()111xx ，当且仅当1111xx ,即2x 等号成立.故选：D.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.28C【分析】计算得出143xyxyzyx，利用基本不等式可求得xyz的最大值.【详解】因为正实数x、y、z满足22430 xxyyz，则2243zxxyy，则221114434323xyxyxyzxxyyx yyxyx，当且仅当20yx时取等号.故xyz的最大值为1.故选：C.2912【分析】令1xt，0t，则可将原式化为2142422tttt，再利用基本不等式即可求出其最大值.【详解】令1xt，则1xt，0t，所以2221111447(1)4(1)72424222xttxxtttttttt，当且仅当4tt，即2t 时，等号成立.所以21147xxxx的最大值为12.故答案为：12.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式.30B【分析】使用变量分离，将231xxyx化为233311111xxyxxxxx，使用基本不等式解决.【详解】因为0 x，所以23333112112 3 11111xxyxxxxxxx ，当且仅当311xx，即31x 时，等号成立故选：B31A【分析】根据已知条件及分离参数将不等式恒成立转为为minacabbc11，再利用基本不等式即可求解.【详解】由不等式110abbcca对任意abc恒成立转化为minacabbc11，其中abc,即可.,0,0,0,0bcababcabbcabbc，acabbcabbcabbc1111bcabbc ababbcab bc2224当且仅当bcababbc，即2acb时，等号成立，即4，所以实数的取值范围是4，.故选：A.322,8【分析】根据题意，只要2min6(4)mmxy即可，再根据基本不等式中的“1”的妙用，求得min(4)16xy，解不等式26160mm即可得解.【详解】根据题意先求4xy得最小值，由0,0 xy，得414(4)()xyxyxy161644828816yyxxxyxy，所以若要不等式246xymm恒成立，只要2166mm，即26160mm，解得28 m，所以2,8m.故答案为：2,83312【分析】根据将m分离出来，基本不等式求最值即可求解.【详解】由313mabab得31936bamababab又962 9612baab，当且仅当9baab，即当3ab时等号成立，12m，m的最大值为12故答案为：1234C【分析】依题意2max21xaxx，利用基本不等式求出221xxx的最大值，即可得解；【详解】解：因为0 x，所以222221131121xxxxxxx，当且仅当1xx即1x 时取等号，因为221xaxx恒成立，所以23a，即2,3a；故选：C35C【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于 A;若ab，0c 时，则acbc，故 A 错；对于 B;若取1,0ab，则1b无意义，故 B 错；对于 C；根据不等式的可加性可知：若ab，则acbc，故 C 正确；对于 D;若取1,2ab，但22ab,故 D 错；故选：C36D【分析】利用基本不等式求得12xy的最小值判断.【详解】解：因为正实数x、y满足22xy，所以121 122252122yxxyxyyyxx，22952212yxxy，当且仅当22yxxy，即23xy时，等号成立，故选：D37C【分析】根据不等式的性质、基本不等式确定正确选项.【详解】A 选项，若,0acbc c，则ab，A 选项错误.B 选项，根据基本不等式可知222abab，当且仅当ab时等号成立，B 选项错误.C 选项，1,10 xx，111112113111xxxxxx ，当且仅当11,21xxx 时等号成立，C 选项正确.D 选项，当2,8ab 时，6ab，2828028ab，D 选项错误.故选：C38BCD【分析】根据题中条件配凑，再运用“1”的代换与基本不等式求出原式范围即可得到答案.【详解】因为0a，0b，1111ab，所以1141414114114111baababababab 414281baab，当且仅当4111111baabab，即232ab时取等号，所以48ab，可能为 8,9,10.故选：BCD39A【分析】利用基本不等式可求解.【详解】因为8ab，所以222216ababababababab.因为ab，所以0ab，所以16162()8abababab，即28abab，当且仅当4ab时，等号成立，故222abab的最小值是 6.故选：A40B【分析】原不等式即2214axx，再利用基本不等式求得24xx的最大值，可得a的范围【详解】依题意得，当0 x 时，2222144xaxxx恒成立，又因为44xx，当且仅当2x 时取等号，所以，24xx的最大值为12，所以1212a ，解得a的取值范围为1,)4故选：B41D【分析】选项 A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，选项 B：由基本不等式进行判断即可，选项 C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，选项 D：对式子进行变形得到21121xyxy，再利用基本不等式进行判断即可【详解】解：选项 A：11111 2113111yxxxxxx ，当且仅当211x时可以取等号，但题设条件中2x，故函数最小值取不到 3，故 A 错误；选项 B：若0 x，0y，315xy，则131151215 12194 155454191925555xyxyxyxyxyyxyx，当且仅当512xyyx时不等式可取等号，故 B 错误；选项 C：3223 0 xyxyxyxyxy当且仅当xy时取等号，令0 xyt t，223 0tt，解得31t ，即01xy，故 xy 的最大值为 1，故 C 错误；选项 D：2xy，11xy，21211212112 3232 21111xxyyxyxyxyxyxy，当且仅当22yx时取等号，又因为2xy，故222xy时等号成立，即121xy最小值可取到32 2，故 D 正确故选：D42AC【分析】直接由不等式的性质依次判断 4 个选项即可.【详解】由16x，23y，知39xy，218xy，A、C 正确；32y ，故24xy，B 错误；11132y，故133xy，D 错误.故选：AC.436【分析】利用基本不等式可得22232abab，设20 xab，解不等式即可求得结果.【详解】2222abab（当且仅当2ab时取等号），22232abab，设20 xab，则234xx，解得：2x（舍）或6x，即26ab，min26ab.故答案为：6.44(1)18(2)32 2【分析】（1）对21ab直接利用基本不等式，即可得出ab的最大值；（2）将1a看作一个整体，由41142(12)1212ababab，展开后，再利用基本不等式，即可得出答案.（1）因为22 2abab，所以12 2ab，当且仅当2ab时等号成立，所以当12a，14b 时，max18ab（2）41142181(12)632 2121221baabababab，当且仅当811baab时等号成立，当32 2a，21b 时，min4132 21ab