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    8.6.2 直线与平面的垂直的性质2课时(解析版).docx

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    8.6.2 直线与平面的垂直的性质2课时(解析版).docx

    8.6.2直线与平面垂直的性质导学案编写:廖云波 初审:谭光垠 终审:谭光垠 廖云波【学习目标】1.记住直线与平面垂直的性质定理,并能应用定理解决有关问题2.会求直线到平面的距离【自主学习】知识点1 直线与平面垂直的性质定理1文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行简记为:若线面垂直,则线线平行2符号语言:ba.3图形语言:知识点2 直线到平面的距离1直线与平面平行,则直线上任意一点到平面的距离都相等,一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点这个到平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离2如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离【合作探究】探究一 线面垂直性质定理的应用【例1】如图,正方体A1B1C1D1­ABCD中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交求证:EFBD1.分析要证明EFBD1,转化为证明EF平面AB1C,BD1平面AB1C.证明如图所示,连接AB1,B1C,BD.因为DD1平面ABCD,AC平面ABCD,所以DD1AC.又ACBD,DD1BDD,所以AC平面BDD1.又BD1平面BDD1,所以ACBD1.同理可证BD1B1C.又ACB1CC,所以BD1平面AB1C.因为EFAC,EFA1D,又A1DB1C,所以EFB1C.又ACB1CC,所以EF平面AB1C.所以EFBD1.归纳总结:若已知一条直线和某个平面垂直,证明这条直线和另一条直线平行,可考虑利用线面垂直的性质定理,证明另一条直线和这个平面垂直,证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质【练习1】如图,四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O平面ABCD,ABAA1.证明:A1C平面BB1D1D.证明:因为A1O平面ABCD,所以A1OBD.又底面ABCD是正方形,所以BDAC,因为ACA1OO,所以BD平面A1OC,所以BDA1C,又OA1是AC的中垂线,所以A1AA1C,且AC2,所以AC2AAA1C2,所以AA1C是直角三角形,所以AA1A1C,又BB1AA1,所以A1CBB1,因为BB1BDB,所以A1C平面BB1D1D.探究二 直线到平面的距离【例2】正方体ABCD­A1B1C1C1,棱长为a,求:(1)直线A1A到平面B1BCC1的距离;(2)直线A1A到平面D1DBB1的距离解(1)A1A平面B1BCC1,A1B1平面B1BCC1,直线A1A到平面B1BCC1的距离等于线段A1B1的长,A1B1a,直线A1A到平面B1BCC1的距离等于a.(2)连接A1C1,B1D1,BD,A1C1与B1D1交于点O1,如图A1A平面D1DBB1.A1O1平面D1DBB1,直线A1A到平面D1DBB1的距离等于线段A1O归纳总结:求直线到平面的距离,前提是该直线和平面平行,在该直线上合理找点,过该点作出平面的垂线,即将线面距离转化为点面距离【练习2】如图,在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB2,AD1,A1A1.(1)证明:直线BC1平行于平面D1AC;(2)求直线BC1到平面D1AC的距离解:(1)证明:因为ABCD­A1B1C1D1为长方体,故ABC1D1,ABC1D1,故四边形ABC1D1为平行四边形,故BC1AD1,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面D1AC.(2)直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离,设为h,考虑三棱锥D1­ABC的体积,以平面ABC为底面,可得V×(×1×2)×1,而AD1C中,ACD1C,AD1,cosACD1,sinACD1,故SAD1C×××.所以,V××h,故h,即直线BC1到平面D1AC的距离为.课后作业A组 基础题一、选择题1下列命题:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;垂直于同一个平面的两条直线互相平行;一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直其中正确的个数是()A0B1 C2D3【答案】D解析:均正确2在空间中,下列命题中正确的是()平行于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行;平行于同一个平面的两条直线互相平行;垂直于同一个平面的两条直线互相平行A BC D【答案】B3已知平面与平面相交,直线m,则()A内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直B内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C内不一定存在直线与m平行,必存在直线与m垂直D内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直【答案】C解析:因为平面与平面相交,直线m,所以m垂直于两平面的交线,所以内不一定存在直线与m平行,必存在直线与m垂直4ABC所在的平面为,直线lAB,lAC,直线mBC,mAC,则直线l,m的位置关系是()A相交B异面 C平行D不确定【答案】C解析:因为lAB,lAC且ABACA,所以l平面ABC.同理可证m平面ABC,所以lm,故选C.5.如图,ADEF的边AF平面ABCD,且AF2,CD3,则CE()A2 B3C. D.【答案】D解析:因为四边形ADEF为平行四边形,所以AF綉DE.因为AF平面ABCD,所以DE平面ABCD.所以DEDC.因为AF2,所以DE2.又CD3,所以CE .6(多选)如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,ABC内接于圆O,且AB为圆O的直径,点M为线段PB的中点以下各命题中,真命题为()ABCPCBOM平面APCC点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D三棱锥M­PAC的体积等于三棱锥P­ABC体积的一半【答案】ABCD解析:因为PA圆O所在的平面,BC圆O所在的平面,所以PABC,而BCAC,PAACA,所以BC平面PAC,而PC平面PAC,所以BCPC,故A正确;因为点M为线段PB的中点,点O为AB的中点,所以OMPA,而OM平面PAC,PA平面PAC,所以OM平面APC,故B正确;因为BC平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长,故C正确;三棱锥M­PAC和三棱锥P­ABC均可以平面PAC为底面,此时M到底面的距离是B到底面距离的一半,故三棱锥M­PAC的体积等于三棱锥P­ABC体积的一半,故D正确二、填空题7长方体ABCD­A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1内,且MNBC于点M,则MN与AA1的位置关系是 【答案】平行解析:如图易知AB平面BCC1B1.又MN平面BCC1B1,ABMN.又MNBC,ABBCB,MN平面ABCD,易知AA1平面ABCD.故AA1MN.8直线a和b在正方体ABCD­A1B1C1D1的两个不同平面内,使ab成立的条件是 .(只填序号即可)a和b垂直于正方体的同一个面;a和b在正方体两个相对的面内,且共面;a和b平行于同一条棱;a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直【答案】解析:为直线与平面垂直的性质定理的应用,为面面平行的性质,为基本事实4的应用,故正确9如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC,则MN与AD1的位置关系为 ;若AMAB,则 .【答案】 平行 解析:ABCD­A1B1C1D1为正方体,CD平面AA1D1D,CDAD1,又四边形AA1D1D为正方形,A1DAD1,AD1平面A1DC,又MN平面A1DC,AD1MN,连接ON,则四边形AMON为平行四边形,AMONAB,故. 三、解答题10如图,三棱柱ABC­A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:B1CAB.(2)若ACAB1,CBB160°,BC1,求三棱柱ABC­A1B1C1的高解:(1)证明:如图,连接BC1,则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)方法1:在平面BB1C1C内作ODBC,垂足为D,连接AD.在平面AOD内作OHAD,垂足为H.如图由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所以OH平面ABC.因为CBB160°,所以CBB1为等边三角形又BC1,可得OD.由于ACAB1,所以OAB1C.由OH·ADOD·OA,且AD,得OH.又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为,故三棱柱ABC­A1B1C1的高为.方法2:由于侧面BB1C1C为菱形,CBB160°,BC1.故B1C1,BO,又ACAB1,则AO,AC,易得AB1,在ABC中,易得AC边上的高h,由VA­BB1CVB1­ABC,得SBB1C·AOSABC·h三棱柱,所以×××·h三棱柱,所以h三棱柱.所以三棱柱ABC­A1B1C1的高为.11.如图,在四棱锥P­ABCD中,PD平面ABCD,PDDCBC2,AB2DC,ABDC,BCD90°.(1)求证:PCBC;(2)求多面体A­PBC的体积解:(1)证明:PD平面ABCD,BC平面ABCD,PDBC.BCD90°,BCCD.PDCDD,BC平面PCD.又PC平面PCD,PCBC.(2)PD平面ABCD,VA­PBCVP­ABC·SABC·PD.ABDC,BCD90°,ABC为直角三角形且ABC为直角PDDCBC2,AB2DC,VA­PBC·SABC·PD×·AB·BC·PD××4×2×2.B组 能力提升一、选择题1在正方体ABCD­A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不重合)平面A1C1,则()AB1Bl BB1BlCB1B与l异面但不垂直 DB1B与l相交但不垂直【答案】B解析:因为B1B平面A1C1,又因为l平面A1C1,所以lB1B.2已知m,n为异面直线,m平面,n平面,直线l满足lm,ln,l,l,则()A且lB且lC与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l【答案】D解析:若,则由m平面,n平面,可得mn,这与m,n是异面直线矛盾,故与相交设直线a,过空间内一点P,作mm,nn,则m与n相交,m与n确定的平面为.因为lm,ln,所以lm,ln,所以l.因为m平面,n平面,所以m平面,n平面,所以am,an,所以a.又因为l,l,所以l与a不重合所以la,综上知,选D.二、填空题3如图所示,在三棱锥P­ABC中,PA平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中DPC,则DE与平面PAC的位置关系是 【答案】平行解析:DE平面ABC,PA平面ABC,DEPA.又DE平面PAC,PA平面PAC,DE平面PAC.三、解答题4如图,在四面体P­ABC中,PA平面ABC,PAAB1,BC,AC2.(1)证明:BC平面PAB.(2)在线段PC上是否存在点D,使得ACBD,若存在,求PD的值,若不存在,请说明理由解:(1)证明:由题知:AB1,BC,AC2.则AB2BC2AC2,所以ABBC,又因为PA平面ABC,所以PABC,因为PAABA,所以BC平面PAB.(2)在线段PC上存在点D,当PD时,使得ACBD.理由如下:如图,在平面ABC内,过点B作BEAC,垂足为E,在平面PAC内,过点E作DEPA,交PC于点D,连接BD,由PA平面ABC,知DE平面ABC,所以DEAC,所以AC平面DBE,又因为BD平面DBE,所以ACBD,在ABC中,BE,所以AE,CE,所以,所以CD,PD.

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