4.1 指数（学案）-2021-2022学年高一数学教材配套学案+课件+练习（人教A版2019必修第一册）.docx

4.1 指 数 【学习目标】课程标准学科素养1.理解根式的概念及分数指数幂的含义;2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点);3.掌握根式的运算性质和指数幂的运算性质(重点).1.直观想象2.数学运算3.逻辑推理【自主学习】一 n次方根、n次根式1.a的n次方根的定义一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且nN*.2.a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数aRn为偶数±0，)3.根式：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做被开方数二 根式的性质(1) (nN*，且n>1)；(2)( )n (nN*，且n>1)；(3)a(n为大于1的奇数)；(4)|a|(n为大于1的偶数)三分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，nN*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，nN*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 四有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras (a>0，r，sQ)； (2)(ar)s (a>0，r，sQ)；(3)(ab)r (a>0，b>0，rQ)五无理数指数幂一般地，无理数指数幂a(a>0，是无理数)是一个确定的 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂【小试牛刀】思辨解析 (正确的打“”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个()(2)当nN*时，()n都有意义()(3)3.()(4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式()(5)分数指数幂a可以理解为个a相乘()(6)0的任何指数幂都等于0.()【经典例题】题型一根式的化简和运算点拨： 【跟踪训练】1 设3<x<3，求的值题型二根式与分数指数幂的互化点拨：(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.(2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出.例2 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0) ； （3）【跟踪训练】2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：(1)a2； (2)； (3)·； (4)()2·.题型三 分数指数幂的运算点拨：进行指数幂运算时，有根式的，先将根式化成分数指数幂的形式，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的例3 计算下列各式：（1） (2)【跟踪训练】3 计算下列各式 (1)2××； (2)0.1230； (3).题型四 指数幂运算中的条件求值例4 已知aa4，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2.【跟踪训练】4（1）已知a>0，b>0，且abba，b9a，求a的值（2）已知67x27,603y81，求的值【当堂达标】1.以下说法正确的是()A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数C.0的n次方根是0(nN*) D.a的n次方根是2.把根式a化成分数指数幂是()3.(多选)设，且，则下列等式中一定正确的是（ ）A.B.C.D.4.已知4a1，则实数a的取值范围是_5.计算：0.25×4÷20_.6.已知求的值【参考答案】【自主学习】一xna 根指数 二. 0 a 三. 0 没有意义 四.ars ars arbr 五.实数 【小试牛刀】(1)(2)×(3) (4)(5)×(6)×【经典例题】例1 【跟踪训练】1 解：原式|x1|x3|，3<x<3，当3<x<1时，原式(x1)(x3)2x2；当1x<3时，原式(x1)(x3)4.原式例2 解：(1) x25. （2）x-53. （3）x-12y23=1x12y23=1x3y2.【跟踪训练】2 解：(1)原式a2aa2a.(2)原式a.(3)原式a·aaa.(4)原式·(ab3)a·ababab.例 3 解（1）原式8(-1)×(-13)×1+(23)14×214+(213)6×(312)6=2+234+14+22+33=112.（2）5x-23y12-14x-1y12-56x13y-16=5×(-4)×-65×x-23-(-1)-13×y12-12-(-16)=24x0y16=24y16.【跟踪训练】3 解 (1)原式2×3××1221×32×36.(2)原式3×11003100.(3)原式6×a×b6ab.例4 解：(1)将aa4两边平方，得aa1216，故aa114.(2)将aa114两边平方，得a2a22196，故a2a2194.【跟踪训练】4（1） 解a>0，b>0，又abba，(ab)1b=(ba)1ba=baba=(9a)19, a89=919a8=32a=43.（2） 由67x33，得67=33x,由603y81，得603=34y,34y-3x932，2，故2.【当堂达标】1.C 解析：当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当nN*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，无意义，故D错误2.D解析：由题意可知a0，故排除A、B、C选项，选D.3.AD 解析：由指数幂的运算公式可得aman=am+n，anm=amn，所以AD正确，B错误，对于C，当n为奇数时，nan=a，当n为偶数时，nan=a ，所以C错误。4. 解析：|4a1|4a1，4a10，a.5.4 解析：原式×164÷14444.6.解：由x12+x-12=5,两边同时平方得x2x125，整理，得xx123，则有23.