甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题.doc
兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试试题数学（理科）说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1抛物线 的准线方程是() A BCD2若双曲线的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为() A B C D3“ ”是“方程 表示椭圆”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4右图是抛物线形拱桥，当水面在位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽( )米 A B C D5椭圆的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2若，成等比数列，则此椭圆的离心率为() A BC D 6若两点 ， ，当|取最小值时， 的值等于() A19 B C D7已知命题p: ，,命题q: ,则() A命题pq是假命题 B命题pq是真命题 C命题p()是真命题 D命题p()是假命题8设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：与C1的一个交点，则cosF1PF2的值是() A B C D9已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则ABF2的周长的最小值为() A7 B8 C9D1010正方体 的棱长为1，O是底面 的中心，则O到平面 的距离为() A B C D11已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点， 若 ,则（ ） A B C D12过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点,使得 ，若这样的直线有且仅有两条,则该双曲线的离心率e的取值范围是() A B C D 第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.给定下列命题：“ ”是“ ”的充分不必要条件；“若sin，则”；“若 ，则 且y0”的逆否命题；命题“ ，使 ”的否定.其中真命题的序号是.14已知 ， ， ,若 共面，则 _.15. 已知A是双曲线C:的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线于P，Q两点，若APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围是. 16. 已知点C（2，2），直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于B点，M为线段AB的中点，则点M的轨迹方程为_.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题10分）给出两个命题：命题甲：关于 的不等式 的解集为 ，命题乙：函数 为增函数分别求出符合下列条件的实数 的范围.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.18 （本小题12分）已知三棱锥SABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC，SA3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.19 （本小题12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，B B1 的中点，AA1ACCBAB =2. (1)求证：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值.20 （本小题12分）已知椭圆C：的离心率e，A，B是椭圆C上两点，N(3，1)是线段AB的中点.（1）求直线AB的方程；（2）若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.21.（本小题12分）已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正实数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有· <0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.22（本小题12分）已知椭圆C： ，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，）， P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1） 求椭圆C的方程；（2） 设直线不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：过定点.兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试答案数学（理科）一、 选择题：（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DDBBACCCDADB二、 填空题：（每小题5分，共20分）13.14.15.（1,2）16.x+y-2=0三、 解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题10分）解析：甲命题为真时，(a1)24a20，即a或a1.2分乙命题为真时，2 a2a1，即a1或a.4分(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，a的取值范围是.7分(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，a1，甲假乙真时，1a<，甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为.10分21 （本小题12分）解析：(1)建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)(，1,0)，(，1，3)，(0,2，3).6分(2)设面SBC的法向量为则令y3，则z2，x，设AB与面SBC所成的角为，则.12分22 （本小题满分12分）解析：(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB，得ACBC.4分以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，(1,1,0)，(0,2,1)，设是平面A1CD的法向量，则可取同理，设是平面A1CE的法向量，则可取从而，故.即二面角DA1CE的正弦值为.12分23 （本小题12分） 解析：(1)离心率e，设椭圆C：x23y2a2(a0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为yk(x3)1，代入x23y2a2，整理得(3k21)x26k(3k1)x3(3k1)2a20.4a2(3k21)3(3k1)20，且，由N(3，1)是线段AB的中点，得解得k1，代入得a212，直线AB的方程为y1(x3)，即xy40.6分(2)圆心N(3，1)到直线的距离,.当时方程即，解得.椭圆方程为.12分21.（本小题12分） 解析:(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足： (x0).化简得y24x(x0).4分(2)设过点M(m，0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，·0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等价于·y1y210y1y210.由式，不等式等价于m26m14t2.对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即32m32.由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·0，且m的取值范围是(32，32).12分22（本小题12分） 解析:（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此 ，解得故C的方程为.4分（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2,如果l与x轴垂直，设l:x=t,由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（），（t，）则,得t=2，不符合题设.从而可设l: ，将代入得由题设可知设A（x1，y1），B（x2，y2），则，而由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）.12分
