5.3.1函数的单调性(2)导学案- (人教A版 高二 选择性必修第二册).docx
5.3.1函数的单调性(2) 导学案 1掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤2探究函数增减的快慢与导数的关系 3.学会处理含参函数的单调性问题 重点：导数判断函数的单调性的一般步骤难点： 含参函数的单调性问题1.函数f (x)的单调性与导函数f (x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf (x)：f (x)的正负f (x)的单调性f (x)0单调递_f (x)0单调递_增 ;减 2判断函数yf (x)的单调性第1步：确定函数的_；第2步：求出导数f (x)的_；第3步：用f (x)的_将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f (x)在各区间上的_，由此得出函数yf (x)在定义域内的单调性定义域 ;零点 ;零点 ;正负 3.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数yf (x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大_比较“_”(向上或向下)越小_比较“_”(向上或向下)快;陡峭 ;慢;平缓 探究1. 形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。例3. 求函数fx=13x3-12x2-2x+1的单调区间.如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？用解不等式法求单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f(x)；(3)解不等式f(x)0(或f(x)0)，并写出解集；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.跟踪训练1.求下列函数的单调区间：(1)f (x)3x22ln x；(2)f (x)x2ex.探究2：研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间0,+上增长快慢的情况.例4.设x>0,fx=lnx,gx=1-1x,两个函数的图像如图所示。判断fx,gx的图像与C1,C2之间的对应关系。例5. 设g(x)ln xax2(a2)x，a0，试讨论函数g(x)的单调性利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；(4)在不同的参数范围内，解不等式f(x)0和f(x)0，确定函数f(x)的单调区间.跟踪训练2试求函数f (x)kxln x的单调区间1求函数f(x)的单调区间2.已知函数f (x)x3ax1为单调递增函数，求实数a的取值范围3已知函数f (x)ae2x(a2)exx，讨论f (x)的单调性1判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性2利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：(1)区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间(2)区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论参考答案：知识梳理学习过程一、新知探究二、 典例解析例3. 解：函数 fx=13x3-12x2-2x+1 的定义域为R，对f(x)求导，得f'x=x2-x-2 =(x+1)(x-2)令f'x=0,解得：x1=-1,x2=2x1=-1和x2=2把函数定义域划分成三个区间，f'x在各区间上的正负，以及fx的单调性如表所示。所以，f(x)在在 -,-1和(2,+)上单调递增，在 -1,2上单调递减。如图所示如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？跟踪训练1 解(1)f (x)3x22ln x的定义域为(0，)，f (x)6x，由x0，f (x)0，解得x.由x0，f (x)0，解得0x.函数f (x)3x22ln x的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)函数的定义域为D(，)f (x)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)，令f (x)0，由于ex0，x10，x22，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(，0)0(0，2)2(2，)f (x)00f (x)f (0)0f (2)f (x)的单调递减区间为(，0)和(2，)，单调递增区间为(0，2)探究2：分析：研究对数函数y=lnx的导数为y'=1xx0,+，所以y=lnx在区间0,+上单调递增。当x越来越大时，y'=1x越来越小，所以函数y=lnx递增得越来越慢，图像上升得越来越“平缓”.分析：幂函数y=x3的导数为y'=3x2>0x0,+，所以y=x3在区间0,+上单调递增。当x越来越大时，y'=3x2越来越大，所以函数y=x3递增得越来越快，图像上升得越来越“陡峭”.例4. 解：因为fx=lnx,gx=1-1x,所以f'x=1x, g'x=1x2,当x=1时，f'x=g'x=1;当0<x<1时, g'x>f'x>1当x>1时，0<g'x<f'x<1所以，f(x),g(x)在0,+ 上都是增函数。在区间（0,1）上，g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；在区间1,+上 ，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”。所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1。例5. 思路探究先对原函数求导得g(x)(x0)，再对a分类讨论得函数g(x)的单调性(1)当a2时，g(x)0等价于(2x1)0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减；(2)当a2时，g(x)0恒成立，函数g(x)在(0，)上单调递增；(3)当2a0时，g(x)0等价于(2x1)0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减跟踪训练2 解函数f (x)kxln x的定义域为(0，)，f (x)k.当k0时，kx10，f (x)0，则f (x)在(0，)上单调递减当k0时，由f (x)0，得0，解得0x；由f (x)0，得0，解得x.当k0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当k0时，f (x)的单调递减区间为(0，)；当k0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为.达标检测1 解：函数f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x).因为x(，2)(2，)，所以ex>0，(x2)2>0.由f(x)>0得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)<0得x<3，又定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)2.解由已知得f (x)3x2a，因为f (x)在(，)上是单调增函数，所以f (x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立，因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f (x)3x20，f (x)x31在R上是增函数，所以a0.3解f (x)的定义域为(，)，f (x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)若a0，则f (x)0，所以f (x)在(，)上单调递减若a0，则由f (x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f (x)0；当x(ln a，)时，f (x)0.所以f (x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上，当a0时，f (x)在(，)上单调递减；当a0时，f (x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增
