8.4.1 平面-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版2019必修第二册）.docx

8.4.1平 面【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用1.直观想象;2.逻辑推理【自主学习】一平面1.概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：平；无限延展，没有边界；没有厚薄2.画法(1)我们常用矩形的直观图，即 表示平面(2)当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 ；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 3.表示法：我们常用希腊字母 等表示平面，如平面 、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，如 ，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如 或 二文字语言与符号语言的对应关系：文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点A在直线l上点A在直线l外点A在平面内点A在平面外直线l在平面内直线l在平面外直线l，m相交于点A平面，相交于直线l三平面的基本性质及应用基本事实内容图形符号作用基本事实1过不在一条直线上的三个点， 一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据基本事实2如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在 Al，Bl，且A，Bl既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 P且Pl，且Pl判定两平面相交的依据判定点在直线上三个推论：推论1 ，有且只有一个平面.推论2 ，有且只有一个平面.推论3 ，有且只有一个平面.【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“×”)(1)平面是处处平的面 ()(2)平面是无限延展的 ()(3)平面的形状是平行四边形 ()(4)一个平面的厚度可以是0.001 cm. ()2.用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()AAl，lBAl，lCAl，lDAl，l3（多选）如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可以记为()A平面MN B平面NQPC平面 D平面MNPQ【经典例题】题型一 三种语言的相互转化点拨：三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”.例1 用符号语言表示下面语句，并画出图形：（1）三个平面、相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC.（2）点A，B在平面内，直线a与平面交于点C，点C不在直线AB上【跟踪训练】1 根据图，填入相应的符号：A_平面ABC，A_平面BCD，BD_平面ABC，平面ABC平面ACD_；题型二 点线共面问题点拨：在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.例2 已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.【跟踪训练】2如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.题型三 三点共线问题 点拨：证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上例3 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线【跟踪训练】3已知ABC在平面外，ABP，ACR，BCQ，如图.求证：P、Q、R三点共线.题型四 三线共点问题点拨：证明三线共点的思路(1)首先说明两条直线共面且交于一点(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点例4 如图，已知空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF：FCDG：GA1：2. 求证：直线EF、BD、HG交于一点【跟踪训练】4 如图，已知平面， ， 且l. 设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD. 求证：AB，CD，l共点(相交于一点). 【当堂达标】1.下列说法正确的是()A镜面是一个平面 B一个平面长10 m，宽5 mC一个平面的面积是另一个平面面积的2倍 D所有的平面都是无限延展的2.若一直线a在平面内，则正确的图形是()3.如果点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，则可以表示为()AAa，a，BBAa，a，BCAa，a，BDAa，a，B4.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(B)AA，B，C，D四点中必有三点共线 BA，B，C，D四点中不存在三点共线C直线AB与CD相交 D直线AB与CD平行5.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是1或4.6.不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定_个平面7.如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，求证：点P在直线DE上【课堂小结】1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个基本事实的作用，体会先部分再整体的思想【参考答案】【自主学习】平行四边形 横向 竖向 ， 平面ABCD 平面AC 平面BDAl A l lmA Al A l l有且只有 两个点 这个平面内 公共直线 经过一条直线和这条直线外一点 经过两条相交直线 经过两条平行直线【小试牛刀】1.(1)(2)(3)×(4)×2.B3.BCD解析：表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A【经典例题】例1 解 (1)符号语言表示：P，PA，PB，PC.图形表示：(2)用符号表示：A，B，aC，CAB，如图【跟踪训练】1 AC例2 证明如图所示.由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设alA，blB，A，B，且Al，Bl，l.即过a，b，l有且只有一个平面.【跟踪训练】2 证明PQa，PQ 与 a 确定一个平面.直线a，点 P.Pb，b，P.又a，与重合PQ.例3 证明EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理O平面BCD，即O(平面ABD平面BCD)，OBD，即B，D，O三点共线【跟踪训练】3 解析：证法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上.P、Q、R三点共线.证法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B面APR，C面APR，BC面APR.又Q面APR，Q，QPR.P、Q、R三点共线.例4 证明：连接EH、FG.E、H分别为BC、AB的中点，EHAC.DFFC12，DGGA12，FGAC，FGAC，EHFG且EHFG，E、F、G，H四点共面且EF不平行于GH.EF与GH相交设EFGHO，则OGH，OEF.GH平面ABD，EF平面BCD，O平面ABD，O平面BCD.平面ABD平面BCDBD，OBD，即直线EF、BD、HG交于一点【跟踪训练】4 证明因为梯形ABCD中，ADBC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰所以AB，CD必定相交于一点. 设ABCDM. 又因为AB，CD，所以M，M. 所以M.又因为l，所以Ml.即AB，CD，l共点(相交于一点). 【当堂达标】1.D解析：镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确，故选D2.A 解析：选项B、C中直线a在平面外，选项D中直线a与平面相交，选项A中直线a在平面内3.B 解析：点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，表示为Aa，a，B.4.B 解析：两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.5.1或4 解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面6. 3解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面，直线b，c确定平面，直线a，c确定平面，共3个平面7.证明因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.所以点P在直线DE上